1、第 1 页 共 18 页极限求解的方法韩山师范学院 数学教育摘要：数学分析是以极限理论和极限方法为基础，以微积分为主要内容的学科。理解并掌握求极限的方法对学习数学分析有很大的帮助，然而极限的题型技巧性很强。所以要学好极限，应从两个方面着手。1、考察所给的数列或函数是否有极限（极限的存在性问题） ；2、若极限存在，考虑如何计算此极限（极限的计算问题） 。本文总结了几种求极限的一般方法，并结合具体例子对方法加以说明。榜关键词：极限、洛必达法则、泰勒公式、柯西准则、定积分前言：在数学分析中极限的求法有很多种，方法虽然多但却不集中。本文根据所学知识探讨了数学分析中求极限的几种方法和思想，结合具体例子分
2、析了一般极限的求解过程并给出极限求解的方法和技巧。这些方法不能适用于所有极限的求解，但具有一定的代表性。1、利用极限定义验证极限定义 ：设 为数列， 为定数。若对任给的正数 ，总存在正整naa数 ，使得当 时有NN,n则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 的极限，并记作 。naanalimna例 1： 231limn证：利用极限定义证明 ，关键是要对任意 ，求出 ，limna0N第 2 页 共 18 页使得 时有 即可。nNna任给 ，要找 N，使 时，有0，231n即，)12(3n显然，当 较大时，如 ，有2121)()12(3123 22 nnnn因此要使 成立，2当 时，只要n1n即所以，
3、任给 ，取 ，则当 时，有01,2maxNnN312n因此 成立。3lim2n利用极限定义验证极限是极限问题的难点，关键在于对任意给定的正数 的任意性。然而，尽管 有其任意性，但一经给出，就暂时地被确定下来，以便依靠它来求出 N。还有 N 的相应性。一般说，随 的变小而变大，由此常把 写作 ，来强调 是依赖于 的；N() 第 3 页 共 18 页但重要的是 的存在性，而不在于它的值的大小。N2、利用迫敛性来求极限定理 ：设收敛数列 ， 都以 为极限，数列 满足：存在正1nabanc数 当 时有0N0n，nnbc则数列 收敛，且 。ncabnlim例 2：设 ，试求极限 。)2(641531xn
4、 （ nxlim解：利用迫敛性定理求比较复杂数列的极限，应构造适当的不等式，这不仅是判定数列收敛的一种方法，而且也是求极限的一个重要的工具。 127654321654321nnxn 7，11352(21)()46nnx故 ，10xn 0limn由迫敛性得 0lin利用迫敛性求极限关键在于从表达式中通过放大或缩小的方法找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，并且所找出的两个函数必须要收敛于极限值。3、利用极限的四则运算法则求极限定理 ：如果存在 则1 .lim,libann第 4 页 共 18 页;limli)(limbabannnn 若 及 ，则0nb .li/lili babnnn例 3
5、 ：求22lim(341)n解：将 化作我们常见的可求极限的形式，再通过极限的四则运算a法则进行计算。 222li(341)li3li4lim1nnnn223415例 4 ：求2321lim4n解：2233li()915li 724nn 利用极限四则运算法则关键在于每项或每个因子极限存在，一般所给出的不满足条件。因此必须要对变量进行变形，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算、通分化简、化无穷多项的和或积为有限项等恒等变形。4、利用单调有界定理求极限定理 ：在实数系中，有界的单调数列必有极限。1例 5：设 证明其极限存在并求其值。;,21,211 naan证：利用单调有界定理求极限，首先判断
6、所给数列是单调有界的，即用单调有界定理证明数列极限的存在；然后，设所求的极限为一个常数 ，并由相邻两项 与 的关系式两端取极限得一关于 的ana1 a方程；最后解所列的方程并同时利用极限保不等式性求出 ，即位第 5 页 共 18 页所求的极限。由题可知 112aa假设 ，则k1 122kkk a而 ，假设则 1kka故此数列有界，由单调有界定理可知 收敛na令 ，由nlimnna21两边取极限得 2即 或2a0由极限报不等式性得 舍去，故此数列极限存在且极限值为 2.例 6 ：设 ，求极限 。3 2211, axxnn nxlim解：不妨设 （ 的情形同理可证） 。显然0axxxnnn 222
7、1 )(由 ，得2 a，211)( axxnn.,121 aaxnn由 ).,2(01xn故数列 是一个单调减少且有下界的数列，因此收敛。又 ，取极限，并设 ，221axxnn bxnlim得 ，故 ，即 。bban利用单调有界定理求极限关键在于先要证明数列极限的存在，然后第 6 页 共 18 页根据数列的通项递推公式求其极限。5、利用两个重要的极限公式来求极限两个重要的极限公式 ：1；1sinlm0xe)(i注：在利用这两个极限球相应的极限时，一般要对函数做相应的变换。例:7 ：求极限3 .tansilm3xn解：利用重要的极限 及函数极限的运算法则。0i13 200sintascoslli
8、()()nxxx21)sin(c1)in(lim20 xnx例 8：求极限10li().xn解： xnxn1010)2(li)(limxn120)(li12)(120lixxn21()00limlim1()2xnn xA21e第 7 页 共 18 页利用两个重要的极限公式求极限关键在于所给出的函数形式是否符合或经过变形是否符合这两个极限公式。一般常用的方法是换元法和配指数法。6、利用无穷小量的性质求极限无穷小量的性质 1（1）两个（相同类型的）无穷小量之和、差、积仍为无穷小量；（2）无穷小量与有界量的乘机为无穷小量；（3）无穷大量的倒数是无穷小量。例 9：求极限 xn243lim解：当 时分母
9、的极限为 0，而分子的极限不为 0，因此可先求x出所给函数的倒数0423lim43li2nnx利用无穷小量的倒数是无穷大量，故 xnli23例 10：求极限 32sinlx解： )si1(limsil232xxnn 当 时， 为无穷小量，而 为有界量。,2 xsin故 0)sin1(lisil232 xxnn7、利用等价无穷小量代换求极限定理 ：设函数 在 上有定义，且有1 )(,)(xhgf )(0Uo第 8 页 共 18 页).()(0xgxf（1）若 则有,)(lim0Ahfx;lim0Ahx（2）若 则有,)(li0Bfx .)(li0Bgx等价无穷小代换的本质就是用较为简单的无穷小量
10、去代替比较复杂的无穷小量，而将这两个无穷小量之间的差略去不计。当然，前提是它们的差必须是更高阶的无穷小。因此在计算过程中，比较稳妥的做法是保留高阶无穷小量，并时刻留意其演化的进程。例 11 ：求极限3 .tansilm30xx解：用等价无穷小量代换。由于 时， 有,21cos,sinx21)(lim)(limtasinl 3213030 0xxxxx利用等价无穷小量代换求极限，应注意：只有对所求极限式中响成或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。欲利用此方法求极限必须熟练掌握一些常用的等价无穷小量：当 时，0xnxnxxxa 1;)1(;)ln(;1
11、;2cos;arctarcsitsi 8、利用函数的连续性求极限定义 ：设函数 在某 上有定义。若 则称1()fx0()U00lim(),xfx在点 连续。亦可：若对任给的 ，存在 ，使得当()fx0 时有 ，则称函数 在点 连续。0()fx()f0第 9 页 共 18 页首先 在点 连续，不仅要求 在点 有极限，而且要求其极()fx0 ()fx0限值应等于 在 的函数值 ；其次，要求 在某 上fx0()fx0()U（包括点 ）有定义，此时由于当 时总是成立的，所以在极限0 x定义中的“ ”换成了再连续定义中的“ ”；最后0x 0x又可表示为 ，可见 “ 在点 连续”00lim()xf00li
12、m()li)xxf()f0意味着极限运算 与对应的 的可交换性。0lix定理 ：任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数1例 12 ：求极限40li(41)xe解：因函数 在 R 内有定义且连续，而 。)xf 0xR所以 是 的连续点(f于是 0000lim41)lilim4li1xxxee2例 13 ：求极限 。40sinlx解：很显然函数 在 处不连续，但注意极限()xf0是存在的。0sinlm1x若令 ，则当 时， 。sixt1t于是，求 转换为求 。0inlx 1limnt然而函数 在 处世连续的()ftt则有， 11limnli)l0tt即 0sxt由此可知，极限符号 可与函数符号
13、f 交换次序。li即 。0 00li()()()xxgffgfx第 10 页 共 18 页此方法一般适用于复合函数的极限。9、利用导数定义求极限导数定义 ：设函数 在点 的某邻域内有定义，若极限1()yfx000()limxfx存在，则称函数 在点 处可导，并称该极限为函数 在点()fx0 ()fx处的导数，记作 。令 ，则0x 000,()xyfx。0()limli (xxfyf例 14：求极限 2li()cotx解：分析 ，令 。1cotan()tan2fx22lim()tlixx21tant(2)limxA21()lixf1()f2secx10、利用中值定理求极限（1）微分中值定理 1拉格朗日中值定理：若函数 满足：()fx
