1、1极限理论在数学分析中地位与作用摘要极限理论是数学分析的基本理论，极限概念是极限理论的核心。作为微积分的基础，极限理论包括函数极限和数列极限。本文从连续、导数、定积分、以及级数的收敛性等方面求解极限，深入探索了极限问题所涉及的各个方面。首先从定义入手，找出函数极限与数列极限的联系，进而运用极限的性质、判定准则、柯西极限理论、迫敛性等方法求解不同类型的函数、数列极限。在极限定义的基础上,提供了又一种求解极限的方法，即无穷小量替换法求解极限。同时例举了几类特殊极限，对其求解计算，总结出一些重要规律及相关结论。这些结论奠定了极限理论在数学分析中的地位与作用，为后继的学习与研究极限提供更好的判别方法和
2、更完整的理论体系，对数学分析具有重大意义。关键词： 极限；数列；函数；定积分；判定准则 2The status and role of the limit theory in mathematical analysisABSTRACTLimit theory is a mathematical analysis of the basic theory, the concept of limit is the core of the theory of limit., This article from the continuous derivative, the definite integr
3、al, and the convergence of the series such as solving the limit, the limit problem involved in all aspects of in-depth exploration. First of all start from the definition, find the limit of a function with the series limit contact, and thus the use of the limits of nature, criteria, Cauchy limit the
4、ory, forcing convergence method for solving different types of function, sequence limit. Solving the limit on the basis of the limit defined that infinitesimal substitution method for solving the limit. While examples of the types of special limit to get the solution calculated, summed up a number o
5、f important laws and relevant conclusions. These conclusions are laid limit the status and role of theory in mathematical analysis, to better discrimination method and more complete theoretical system limit for the subsequent study and research, mathematical analysis is of great significance.Key wor
6、ds: The limit, ordered series of numbers, Function, Definite integral, Determine the conditions3目录1 引言 .42 极限的思想渊源与发展史 .52.1 极限的思想及历史 .52.1.1 最早的无限分割思想 .62.1.2. 西方的穷竭法与中国的割圆术 .62.1.3. 斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化 .93 极限的相关理论 .103.1 极限概念的逐步形成 .103.2 极限概念的完善 .103.2.1 函数极限 .123.2.2 数列极限 .153.3 极限理论的确立 .163.3.1 波
7、尔查诺的工作 .163.3.2 柯西的极限理论 .173.3.3 维尔斯特拉斯的静态理论 .174 数学分析中极限的作用 .174.1 函数的连续 .194.2 数列的收敛性 .214.2.1 唯一性 .214.2.2 有界性 .224.3 导数是特殊的极限 .225 极限的计算 .245.1 利用导数的定义 .245.2 利用初等函数的连续性 .245.3 数列极限 .255.3.1 利用函数极限求数列极限 .255.3.2 利用定积分求数列极限 .255.4 函数极限 .265.4.1 利用迫敛性求函数极限 .265.4.2 利用罗比达法则求函数极限 .265.4.3 利用泰勒级数展开式求
8、函数极限 .275.4.4 利用中值定理求函数极限 .275.4.5 利用定积分的定义求函数极限 .285.4.6 利用等价无穷小替换求函数极限 .285.4.7 利用收敛级数的必要条件求函数极限 .285.5 利用级数收敛的必要条件求极限 .285.6.将数列的极限化为定积分 .296 结论 .307 参考文献 .30致谢 .3141 引言数学分析课程的极限理论是人类二十世纪的伟大发现，是人类智慧的丰碑。数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分。在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的，可以说，没有极限理论就没有微积分。数学分析是近代数学的基础
9、,是现代科学技术中应用最广泛 的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学 分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有重要的概念,如连续、导数、定 积分、重积分、曲线积 分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而,极限概念叙述冗长,概念中的符号关系复杂,不易理解。初入数学分析门扉的读者,都感觉极限概念不好捉摸,极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念、极限的相关理论、
10、极限的性质、计算等方面给予阐述。52 极限的思想渊源与发展史2.1 极限的思想及历史以希腊为代表的古代西方数学，为现代数学的发展奠定了一定的基础。早在公元前六世纪,希腊的毕达哥拉斯学派即认为数学不仅是解决现实问题的有力工具，更是认识宇宙自然的钥匙。其代表人物毕达哥拉斯 Pythagoras,公元前572-497）认为：“数是万物的本质，宇宙的组织在其规定中通常是数及其关系的和谐的体系” 。 “万物皆数”是毕氏学派信仰的原则。 “数” ，在希腊人的概念中指的是“正整数” ，甚至对于 这种形式并不看作分数，而是看作一个单一的ba实体。即希腊人认为，比 仅是一个有序对而不是一个有理数，这种关于数:的
11、离散的概念，常被应用于几何量，如长度、面积和体积。特别地，毕氏学派相信任何两条线段都是可以公度的。即：它们都是某一公共长度单位的倍数。根据这样的假设，对于整数比和比的理论是不难推广的，尤其是运用于几何学中的比例关系，其结果可以证明的。由这一概念出发，希波克拉茨（Hippocrates,约公元前 470430）证明了两圆面积之比等于他们的直径平方之比。他所使用的证明方法，可能是使两圆之内接相似多边形的边数无限增加来“穷竭”两圆的面积，推出上述结果。这时，还未出现极限概念来作为本质上是无穷小的论证的依据。由于不可公度量的发现，例如正方形的边和对角线，二者不能分成长度相等的线段的整数倍。因此它们的长
12、度之比不能等于两个整数之比。即不可公度量的发现意味着存在一些不能用数来度量的几何量。所以我们清晰的看到，在希腊，人们在数量观的概念上其本质是离散的！然而，存在不可公度的长度意味着几何量具有某种固有的、不可避免的连续的性质！正因如此，毕氏学派的整数比例理论在这里已无法应用，几何基础出现了危机。希腊学者欧多克斯（Eudoxus ,公元前 408355）创造了几何量之比成比例的定义，使希腊数学从有理整数域向有理数域迈进了一大步。欧多克斯成功的关键是给出了一个适当的定义：定义 设 和 是同类的一对几何量, 和 是另一对几何量(不一定 与前abcd对同类),如果 当和 成 比例时,则 有:dc: ba:
13、若给定任意两正整数 和 时,则下列关系之一成立:mn6 和 或 和 或 和mbnadcmbnadcmbnadc可以看出,欧多克斯的几何量之比成比例的定义，只不过是不得不用一种繁琐的方式隐涵其有理数之 比的显然的事实。而且还可看出，当给定两个不可公度的量与 时，由定义实质上已将全体有理数 划分为两个不想交的集合 和 .abnMN对于集合 ， 式成立，即 ;对于集合,(3)式成立 ，即M)1(bam:.这样把全体有理数划分为两个不相交的集合 与 ，使得 的每banm:一个元素都小于 中的每一个元素的这种分割方法，即十九世纪的所谓“狄德N金分割” 。不过当时欧多克斯并未意识到这一点，但他却以此为基础
14、，较严格地证明了希波克拉茨关于圆的面积的命题的结果。中西方的极限思想为了后来极限的发展奠定了一定的基础。2.1.1 最早的无限分割思想在我国古代, 战国时代的庄子.天下篇中, 有一尺之棰, 日取其半, 万世不竭的名言。意是所余部分总可一分为二,永远取不完。是公元前三世纪以前的事.还较早一点,古希腊的安提丰( Antiphon, 公元前五世纪) 提出了通过边数不断加倍的方法, 用圆的内接正多边形面积去接近圆的面积. 但当时仅仅是一种设想,并未付诸计算。然, 这归结于圆可以无限分割。当注意,无限分割是一种数学抽象, 是一个哲学概念,它被排斥于感觉经验王国之外,因为感官能力为感觉下限所限。表示: 远
15、在两千多年以前, 人类智慧已意识到连续量无最小区间可言。2.1.2. 西方的穷竭法与中国的割圆术对安提丰的思想作出重大发展的是欧多克斯( Eudoxus, 公元前 408- 前 355) 。提出如下著名原理: 对于两个不等的量, 若从较大量减去大于其半的量, 再从所余量减去大于其半的量, 重复这一步骤, 则所余量必小于原来较小的量 ,这就是现代所谓阿基米德公设的前身。公设的现代表述是已知任二正数 , ba总存在自然数 , 使得 , 可证这两种表述是等价的.由欧多克斯提出, 欧nba几里德( Euclid, 约公元前 330- 前 275 ) 发扬光大并广为应用 , 阿基米德( Archimed
16、es, 公元前 287- 前 212) 继续作出重大贡献的这种方法( 17 世纪时7被人称为穷竭法), 其理论基础就是阿基米德公设, 在论证过程中最后运用双重归谬法。下举一例以明之.为证两圆面积与它们直径的平方成正比(欧几里德, 卷 2) , 用穷竭法的证明如下: 设大小圆面积分别是 和 ,其直径分别是 和AaD.若比例式 不成立, 则存在 , 使 , 其中 为d2:DdAa0a2 :da另一个比 小( 或大)的园的面积. 若 ,则可在面积为 的圆内作一面积为的内接多边形, 使 ( 根据阿基米德公设, 可使 ) . 在面pap pa积为 A 的圆内作出与上述多边形相似的内接多边形, 设其面积为
17、 . 则有P.因 , 故导出 这不合理. 同理可证 会导DdP:2APa致矛盾。难看出,在上面的证明过程中,除用到相似多边形的面积比等于对应线段之平方比这一性质外,就是用阿基米德公设与双重归谬法。在逻辑上是十分严密的。述问题的功绩在于证明了圆的面积 ,其中 为常数。基米德本2crS0人运用穷竭法,从圆的内接和外切正 6 边形算起,直到内接与外切正 96 边形,证明了 已精确到小数点后两位。竭法的基本思路标志着极限概念7013的轮廓已在古希腊问世。如,设一园半径为 ,面积为 . 当 时, 其内接正 RA30n边形面积 ( 在实际计算时, 常取 = 4 或 = 6) . 在边数加倍的过0nAPn2
18、00n程中,从 到 所增面积 - ( A - ) ,0002nP10图 1这由图 1 即可看出: 阴影部分的面积大于弓形面积之半。基米德公设就是在这种启发下得到, 并成为穷竭法的理论基础。实上,在边数断加倍的过程中,会出现一个圆的内接正多边形面积序列:, , ,. ,0nP204n02n8按照阿基米德公设, 对任 0, 当 n 充分大时, 有02PA看来,穷竭法与今天的极限法只相差那么一层障碍,一旦捅破这层障碍,就与今天的极限法一致了。古希腊数学家用穷竭法,并不象我们现在取极限那样,真正进行到无穷,得一无穷序列。们的心目中,总有一个剩余量,他们理解的无穷,是边数加倍的过程可以无休止地进行下去。
19、们的实际工作只进行了有限步,他们并未掌握如何从有限过渡到无穷.正因为如此,为了逻辑的严谨,他们每次不得不使用繁冗的双重归谬法穷竭法的基本思路是无限接近。在公元三世纪,我国三国时期的数学家刘徽,基于庄子的无限分割思想,独立地采用了类似穷竭法的思维进行了伟大的实践( 当时欧几里德、阿基米德的思想并未传入我国)他在九章算术的注文中,提出了割圆术,其算法是:先在圆内作内接正 6 边形,再继续作出内接正 12 边形 ,内接正 24 边形刘徽指出: “割之弥细,所失弥少。之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣。谓“割之弥细, 所失弥少” ,这与阿基米德公设实质上是一回事。刘徽求出圆的内接正 3072
20、 边形( 3072 )的面积, 导出圆周率为 , 9261250397化成小数是 3.1416, 这比阿基米德的计算精确得多。后来, 南北朝的天文学家、数学家祖冲之( 429- 500) , 又用刘徽的割圆术把算到小数点后 7 位, 即3. 1415926 3. 1415927与古希腊相比, 他们在当时有一套逻辑上严密的算法穷竭法, 刘、祖在理论上不及他们。在实践中, 我国数学家走在更前面。国的古典数学名著九章算术 , 诞生在公元一世纪前, 这表示当时在数学方面, 我们祖先并不落后. 值得深思的是: 几乎同一时代, 不同民族(中国、古希腊等)在计算圆的面积时, 各自独立地运用同一类型的方法用圆
21、的内接多边形接近圆, 这在认识论上不是偶然的。国所以能被称之为文明古国 , 这也是有力的证明。竭法中涉及的无限有所谓潜无限之称。如亚里士多德( Aristotle, 公元前 384- 前 322)所言:任一给定的量( 指正的 )在变小的方向上总要被超越, 而在扩大的方向上则总能设想一个比指定的数更大的数, 因此这种无限是潜在的,包含在正在成为的过程中。竭法的本质已由亚里士多德概括, 可惜当时尚未出现变量的9概念。早引入变量一词的是 14 世纪英国的苏依塞斯( Suissth, Richard) .2.1.3. 斯杰文对穷竭法的简化和瓦里斯的算术化在欧几里德后的漫长月中, 穷竭法几乎原地踏步。少
22、在两个方面, 人们对穷竭法望而生畏: 一是每次务必使用的双重归谬法;二是其方法是几何的: 直观性强, 但不便于计算。竭法在逻辑上无懈可击, 但用起来十分繁琐。题在于最后使用的双重归谬法可否除去? 荷兰的西蒙斯杰文 ( Stevin,Simon, 1548- 1620) 在这方面做了大胆的设想。注重实际, 不甚注重数学上的严格性. 他接受阿基米德典型证明的直接部分, 而不在每个情况下都加上形式归谬法. 斯杰文大胆断言: 如果两个量的差在连续细分到一定程度后能小于任何已知的量, 则二者必无差异。是他甩掉了后面的形式归谬法,尽管斯杰文并未在理论上证明他的断言。的做法是牺牲了古希腊数学的某种严格性而代
23、之以算法的简便易行。在古代希腊, 代数学是几何化的。如, 欧几里德几何原本中的定理, 是用几何形式叙述算术问题的。到 17 世纪, 费尔马(Fermat. Pierre de, 1601- 1665) 和笛卡尔( Descartes, Rene , 1596 - 1650) 翻了这个案。们用代数方法研究几何问题, 于是产生了一门崭新的数学分支解析几何。们用方程表示曲线, 使几何学代数化。代数与几何这一对矛盾中, 其主要矛盾的转化, 标志着数学的重大进步.在解析几何中, 方程 中的字母被理解为相互0),(yxF依赖的变数。是, 变量进入数学,客观世界的运动、变化的观念进入数学.变数的引入, 创造
24、了一种崭新的数学方法解析方法 . 正是在这种气候下, 英国的约翰.瓦里斯( Wallis, John, 1616-1703) 成功地运用解析方法, 他力图使算术完全脱离几何表示。第一次用算术方法证明了欧几里德几何原本第五卷的 25 个定理, 他发现算术运算比几何运算简单得多。斯杰文一样, 他没有过多地为数学的严格性操心。在算术化的基础上,瓦里斯最早引入变量极限的概念。说: “变量的极限 这是变量所能如此逼近的一个常数, 使得他们的差能够小于任何给定的量。这种定义迄今沿用作为极限定义的通俗的定性表达方式。惜瓦里斯的工作仅仅限于提出这一概念而已。斯杰文对穷竭法大胆的扬弃, 瓦里斯的算术化及极限定义
25、的提出, 为极限10发展成为一个实用方向做了重要的奠基工作。3 极限的相关理论3.1 极限概念的逐步形成牛顿和莱布尼兹创立了微积分学, 尽管他们在微积分基本公式的建立及计算方法上表现出成绩斐然,但关于极限理论及方法相当粗浅, 几乎停留在前一辈的水平上。比如, 牛顿( Newton, Jsaac, 1642- 1727) 在曲线求积术中, 求 的流数时,nx给 一个无穷小增量“o” ( 它是非零的数) 。二项式定理展开 ,从中减x o)(去 以求得 的增量的比( 用“o”作除数时, 它也是非零的数) 。后让 的增n x量“o”消失, 这样得出增量的最终比 (当舍弃含“ o”的各项时, 将“o”视
26、为真正的零) 。这个问题上, 牛顿陷入了严重的逻辑困难, 当然遭到猛烈的攻击。734 年在名为分析学家的小册子中, 英国大主教贝克莱( Berkeley,George 1685- 1753) 攻击牛顿违反了同一律, 说牛顿的流数是“逝去的鬼魂”, 导致了数学史上的第二次数学危机。此可见, 牛顿并未认识到无穷小增量只不过是一个极限为零的变量。顿的处理方法, 关键是没有指出“让 的增量“o ”消x失”的过程只能是极限过程。自从瓦里斯用变量观点给出极限的定义以后,对无穷小本质的认识逐渐明确了. 李昂纳德.欧拉( Euler, Leonhard 1707- 1783) 认为“无限小”或“消逝的量”只不过是一个趋于零的量。国的达朗贝尔( D Alembert, Jean Le Rond, 1717- 1783) 指出:无限大和无限小, 表示无限制地大和无限制地小( 应理解为量的绝对值)。认为微分学的基础应建立在极限概念上。幸的是, 他的解释大部分还是几何形式的。综上所述, 从牛顿、莱布尼兹到欧拉, 到达朗贝尔, 他们的极限理论并不比瓦里斯前进多少, 基本上停留在描述性的定义上, 这样又延续了近两个世纪之久。
