1、1浅谈初中阶段数学思想的体现从教 12 年来,经历了课程改革和素质教育的深入阶段,多次的初三教学,使我对数学教育有了更深刻的认识,“教学生有用的数学”,成为我多年来教学的宗旨。中学生毕业后,要从事各种职业,而数学教学要面向全体学生,使受教育者因接受数学教育而得益终生,这是数学教育者的最高旨趣。为此,必须在传授数学知识的同时,培养学生的数学思想和数学方法,一旦学生掌握了这些思想,将会终生难忘,并且会在今后的学习和工作中发挥重要的作用。 数学思想是对数学知识的本质的认识,它寓于数学知识之中。在教学中,应把数学思想的培养与数学知识的教学融为一体,不仅教给学生数学知识,而且更重要的是发现数学和运用数学
2、,是比数学本身即结果更为重要、更为宝贵的数学思想。 日本数学教育家米山国藏积几十年的数学教育的经验,发现“学生在初中、高中接受的数学知识,出校门后不到一两年,很快就忘了。然而,不管他们从事什么工作,唯有深深的铭刻于头脑中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点(若培养了这方面的素质的话),却随时随地的发生作用,使他们受益终生” 。可见,影响人们应用数学的关键不是数学知识本身,而是思想。数学来源于生活,也要还原于生活。要想达到灵活地应用数学,必须具备丰富的数学思想和方法,重视知识的发现过程。这样学到的才不是一些没有数学思想支撑的枯燥的知识,而是研究2问题、解决问题的数学工具、手段
3、、方式或程序。 初中数学中的数学思想主要有集合思想、分类思想、方程思想、函数思想、数形结合思想、转化思想等等。 集合思想是把某些事物放在一起视为一个整体,对他们作统一的研究和处理,在数学中这种整体的思想成为集合思想。在初中数学教材中虽然没有安排学习集合的内容,但在教材中却渗透了集合的思想。在初中阶段,集合思想主要体现在以下知识中:数系的知识是初中数学的基础,随着把自然数集扩展到有理数集、实数集,进而开展对各种数学问题的讨论,而有理数集、实数集正是建立在集合概念之上的。方程的讨论与数集的关系也有密切关系。如在实数集内讨论方程 ax2+bx+c=0(a0)当?S0)0(a=0)-a(a0) 有理数
4、或实数的分类、一元二次方程根的情况、一次函数所过象限与 k 关系的分类、二次函数开口方向等;在几何中,如三角形和四边形的分类,点与圆的位置关系、直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系,证明圆周角定理时,分别对圆心与圆周角位置关系的讨论,还有一些习题都体现了分类的思想,如求同一条弦所对的圆周角等等。 方程思想:数学来源于实践,又反作用于实践,数学应该解决生活生产中的某些实际问题。方程的出现,极大扩充了数学应用的范围,使得许多问题能够得到解决,因此把方程作为解决问题的一个有力工具是很自然的。方程在数学中占有重要的地位,数学中许多重大的发现都与它密切相关,许多数学问题最终都归结为方程或方程组的问题去解
5、决。例如,用待定系数法求一次函数的斜率和截距、二次函数的系数等可通过方程(组)解决。还有许多关于列方程解应用问题的题目,就是使学生能深刻体会到数学与实际的联系,使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,以满足他们将来从事不同职业的基本需要。几何当中也经常用到方程,例如在已知弦长、弓形高(拱高)求半径的问题,就需要用到方程。总之,在数学或其他4自然学科中,只要问题不能直接通过算式解决,解决过程中我们都要想到方程,用字母代替未知量,参与等式中的运算,最后求得未知量,这种思想在初中数学或其他自然学科中都有所体现。 函数思想:函数是数学中最重要的概念之一。函数概念从量这个侧面反映着现实世界中事物的运动
6、、变化,以及相互联系、相互制约的关系,这种辩证的思想就是函数思想。初中课本是以“变量”为基础定义函数的,虽然比较简明,未运用集合的观念,但抓住了函数的本质对应,而且突出了单值对应。函数是中学数学的重要内容,代数的基本内容是数、式、方程、函数。这四者之间联系密切:数可看作式的特例;代数式就是所含字母的函数的雏形;方程是函数关系的一种特定的相对静止的状态,如方程 6x-5=0 也就是函数 y=6x-5 当 y=0 的状态,因此函数是核心。用函数的观点来解决数学问题,即把一个数学问题转化成函数问题来考虑,这是我们应该学会和掌握的。通过这种运动、变化的思想,我们就是要达到把课本体现的狭隘的函数思想拓展
7、到大函数思想的目的。因此,在中学阶段,不只是教会学生掌握函数的基本概念和应用,更重要的是教会学生用运动、变幻、多角度的眼光去看待这个大千世界,这才是我们运用函数思想的最高境界及终极目标。 数形结合思想:在数学中引入了坐标,使平面内的有序实数对一一对应,这就为数与形的结合与转化提供了可能,给数学提供了一个双向的工具。几何概念可以用代数表示,几何目标可以通过代数来表示;反之,给代数语言以几何解释,从而直观地掌握这些语言的意义,并得到启发去探索新的结论,这种数与形相互联系的思想就是数形结合思想。在中学阶段,5用数轴上的点表示数,表示不等式的解集,正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数与图像的联系
8、,都体现了数形结合的思想。而几何更是充分展现数形结合思想的最好平台。透过图形直观的反映数据之间的联系以及本质特征,从而为我们解决问题提供了强有力的手段,达到事半功倍的效果。 转化思想:在研究和解决数学问题时,采取迂回的手段将复杂问题转化成简单问题,将较难的问题转化成容易的问题,将未解决的问题转化成已解决的问题,将数量的问题转化成图形的问题或将图形的问题转化成数量的问题等,这样的思想就是转化思想。在中学阶段转化思想是对我们有深刻影响的一种思想,它的存在是我们可以实实在在感受得到的。例如有理数的减法可以转化成加法,将除法转化成乘法。解二元一次方程组,通过消元或代入,把“二元”转化成“一元” 。通过
9、去分母或换元,把分式方程转化成整式方程。通过两边平方或换元,把无理方程转化成有理方程。解一个一元二次方程,通过分解因式从而降次,把复杂问题转化成简单问题。解关于函数与横轴交点的问题时,利用方程解决问题,把未知问题转化成已知问题。对函数性质的研究可以转化对它的图像的研究。在几何中,解决梯形问题时都转化成三角形和四边形问题,证明三角形内角和定理转化为平角问题,研究多边形问题,把多边形问题转化为三角形的问题来解决等,都达到了由难到易,由未知到已知的目的。可见,转化思想是一种重要的数学思想。在学习中,应使学生理解好把“未知”转化为“已知”,把复杂转化为简单,使学生了解事物在一定条件下可以互相转化的辩证唯物主义观点。 6数学思想的思维过程必须遵循逻辑思维规律,因此需要在数学教学中引入逻辑初步知识的问题。但目的不在于专门的、孤立的学习逻辑,而是在于使必要的逻辑初步知识成为数学本身的不可或缺的一部分,成为提高数学教学在发展学生的逻辑思维能力方面的效果和影响的重要辅助手段。各种数学思想之间不是孤立的、不可融合的,相反地,是相互影响的,相互联系的,相互作用的。在学习中,只有灵活地掌握和运用这些思想,才能使我们的学习和工作之路更加宽广,更加光明,才能使我们受益终生。 (作者单位:长春市第二十七中学) 责编 /董 璐
