1、2014 届 分 类 号: O175.2单位代码:10452毕 业 论 文求解极限的若干方法姓 名 学 号 201001120242 年 级 2010 专 业 信息与计算科学 系 （院） 理学院 指导教师 周建伟 2014 年 03 月 28 日临沂大学 2014 届本科毕业论文摘 要众所周知，极限是数学分析的基础内容之一，并始终贯穿于数学分析的全部章节.数学分析中许多定理的证明，也离不开极限的概念.因此，极限是数学分析中最重要的内容之一，也是整个数学的核心内容之一.在极限的内容中，其计算方法是非常重要的.文中主要介绍一些求极限的方法.本文主要分为两大部分，第一部分主要介绍一元函数求极限的方法
2、，包括：用定义求解或证明极限、四则运算法则求解极限、利用迫敛性求极限、利用两个重要极限、利用单调有界原理求极限、应用斯笃兹定理求极限、利用不动点求解极限、洛比塔法则、泰勒公式法、级数法、利用定积分定义或积分中值定理求极限，以及一类求解方法唯一的问题；第二部分主要介绍的是二元函数求极限的方法，包括：利用定义法求解重极限、用多元函数收敛判别法的方法求解、利用极坐标变换求解重极限、二元函数的洛比塔法则的应用.关键词：极限；迫敛性；重极限临沂大学 2014 届本科毕业论文ABSTRACTAs we all known, the limit is one of the bases of mathemat
3、ical analysis, mathematical analysis is always through. Mathematical analysis to prove any theorem is also inseparable from the limit. Therefore, the limit is the mathematical analysis of the most important content, but also an important part of the whole of mathematics. Content limit function, the
4、limit for France is very important. I mainly introduce some methods seek limits in this article. This paper is divided into two parts, the first part describes a dollar limit function evaluation methods, including: definitions used to solve or prove limit, four algorithms for solving the limit, seek
5、ing convergence limit the use of force, the use of two important limits, use monotonic bounded seeking ultimate principle, fixed point to solve the limit, Marquis de l-Hopital rule, Taylor formula, series method, the use of the definite integral to define or limit demand integral mean value theorem,
6、 for solving a class of the only way to function; second part focuses on the limits of the dual function evaluation methods, including: re- use method to solve the limit defined by multivariate discriminant function method for solving convergence method, using polar coordinate transformation to solv
7、e the weight limit, the dual function application of rules Marquis de l-Hopital.Key words: Limit; approximate convergence; heavy limit目 录1 引言 .12 一元函数求极限的方法 .22.1 用定义求解或证明极限 .22.2 四则运算法则求解极限 .32.3 利用迫敛性求极限 .42.4 利用两个重要极限 .52.5 利用单调有界原理求极限 .52.6 应用斯笃兹定理求极限 .62.7 利用不动点求解极限 .72.8 洛比塔法则 .82.9 泰勒公式法 .92.
8、10 级数法 .112.11 利用定积分定义或积分中值定理求极限 .122.12 一类求解方法唯一的函数 .133 二元函数求极限的方法 .133.1 利用定义法求解重极限 .133.2 用多元函数收敛判别法的方法求解 .143.3 利用极坐标变换求解重极限 .143.4 二元函数的洛比塔法则的应用 .154 总结 .17参 考 文 献 .18致 谢 .19临沂大学 2014 届本科毕业论文11 引言和一切科学的思想方法一样，极限也是社会实践的产物.极限可追溯到古代，到了 16 世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形中心的过程中改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观大胆的运用极限思考问题，放弃了归
9、谬法的证明,因此，他就在无意中“提出了把极限方法发展成为一个使用概念的方法”.极限思想的完善的割圆术就是建立在直观基础上的一种原始的极限思想的应用；古希腊人的穷竭也蕴含了极限思想，但由于希腊人“对无限的恐惧”，他们避免明显的“取极限”，而是借助于间接证法一一归谬法来完成有关的证明.柯西被公认为近代分析的主要奠基人，事实上，他在 19 世纪 20 年代陆续发表了 3 本著作：工科学学分析教程、无限小计算概要和微积分讲义，其中革新了微积分中长期沿袭下来的模糊的旧概念重整了他的理论，把它纳入到一个新的严密的理论体系之中，柯西看出核心的问题是极限，他把极限概念理解为潜无限.并且定义“当一个变量逐次所取
10、的值无限趋近于一个定值，最终是变量和改定值之差要多小就多小”.这个定值就叫做所有其它值的极限，第一次使极限概念摆脱了与几何和运动直观的任何牵连，给出了建立在属于函数概念上清楚的定义.19 世纪 50 年代，魏尔斯特拉斯（weierstrass,18151897）在分析严密化方面的工作改进了波尔察诺、阿贝尔和柯西的工作，他力求避免直观而把分析奠基在算数概念上，提出了关于极限的纯算术定义，从而完成了数学分析的严密化工作，从此，极限理论才得以充实和严密的自身体系成为微积分的基础理论，微积分也从此完全脱离过去集合的直观和不确切地描述，进入了一个新的发展时期.极限的求法对于现在数学是非常重要的，对于数学
11、研究者或者数学专业的学生升学考试，是一项必备的数学技能.所以，有必要深入的研究一下极限函数的求解方法.临沂大学 2014 届本科毕业论文2lim0.nqli1.n2 一元函数求极限的方法 2.1 用定义求解或证明极限用定义求解极限是一个非常重要的方法，也是一个最基础的方法.大部分求极限问题都可以用定义解得，尤其是极限题目的证明.此法是证明函数连续、函数是否可积可微的最重要的方法之一.因此，定义法是非常重要的.下面来介绍此法:设 为实数数列， 为定数若对任给的正数 ，总存在正整数 ，nXaN使得当 时有 , 则称数列 收敛于 ，定数 称为数列 NnnXa的极限.n用定义证明求解极限的一般方法是：
12、（1）求最小的 N 不等式 中na解出 ，即证明 等价于 ,因此取 ；（2）放大法.将不naN()()等式放大为 ，只要 即可.注意放大后的 必须能够任意()hnh小.此种方法的 关键在于放缩适度，必须掌握一定的放缩技巧；（3）分步法.需要对 做出某些限制，即不妨设 ,然后再通过放大解出 ，取 为12与 中最大的： .2N112max,例 1 求（ ）. q解 用 定义证明若 ，则结果是显然的.现设 0q 则 .0h我们有并由 得到(1)nh. （1-1）(1)nh对任给的 ，只要0取，则当 时，由（1-1）式得N.这就证明了nq例 2 用定义证明 10()nnnqlinn 10.,qh记N临
13、沂大学 2014 届本科毕业论文32 2(1)(1)1n()1+,n nnhhh21,1nhn1(2)lim0.3x 证 明 ：证 ,nh令所以例 3证 设 ，则12,x.31x，则当 时，0,min1,2取 1x利用定义求极限，需要先观察出极限值.否则很难求出，所以此法对于证明极限很有效.有一些极限题目用此法很难求出，即使求出来也很麻烦.因此，在做极限类题目是，尽量不用此法.实在没思路时，再用定义法求解.要灵活运用.2.2 四则运算法则求解极限()20133xx22,0, nNhN因 此 取 ， 当 时 ， 有li.n即 23x1(2),li0.3x所 以临沂大学 2014 届本科毕业论文4
14、在求解极限时，常需要使用极限的四则运算法则.四则运算公式：例 4 求 解 一般的有，.2.3 利用迫敛性求极限当极限值不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，做适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值.设例 5 求解 因为lim()lilimnnnxyxylilinnxy(li0)ny23lim1n10 0limmmnnn n naxabb 0nlimli,(),lim.nnnnabacbNca 且 则135(21)li.46n li()li2 2233limli3 0lili 3.111nnn x 临沂大学 2014 届本科毕业论
15、文5所以2.4 利用两个重要极限有一类题用两个重要极限做非常简单，用其它方法可能会很复杂，甚至做不出来.两个重要极限公式如下：(1) (2)0sinlm1x10lim()xxe例 6 求（1） （2）2coslixlixxa解 222000insins 1()lill.xxx1100()limli.axxxae2.5 利用单调有界原理求极限在研究比较复杂的函数时，首先要看其是否有极限.若有极限，再考虑怎样计算极限值.判断函数极限是否存在的一个重要方法就是单调有界定理.对于大部分极限函数，此法都是可以解决.单调有界定理也是是实数完备性的基本定理之一.具体内容如下： 00(1) limxfx fU
16、 设 为 定 义 在 上 的 单 调 有 界 函 数 ， 则 右 极 限 存 在 .2x设 为 定 义 在 上 的 单 调 有 界 函 数 ， 则 左 极 限 存 在 00(3) lixf f设 为 定 义 在 上 的 单 调 有 界 函 数 ， 则 极 限 存 在 .13572135(21),24646nnn ()122nn n 135()lim46n 临沂大学 2014 届本科毕业论文6例 7 !lim.2n求解 1!2, 1,nnnnxx令 则 有 所 以 是 单 调 递 减 函 数 .1!0, lim.2lim, ,!2,0li=0.nn nnnnxaex又 因 为 由 单 调 有 界 定 理 知 存 在 设 再 注 意 到 两 端 取 极 限 得 到 所 以 ， 即2.6 应用斯笃兹定理求极限有些“无穷多项”极限问题，当不能利用恒等变换转化为有限多项时，若借助斯笃兹定理，就可迎刃而解了.斯笃兹定理： 1 11,lim,li,limli.nnnnnxxxyyy 若 则例8 1li ,32ppn 求 极 限 为 自 然 数 .解 1,pppn nyx令 11limli=lim,pnnnx 由 斯 笃 玆 定 理 ， 有 21=lim ,112pn ppnnn
