1、第二章 随机变量及其函数的概率分布2.1 随机变量与分布函数 2.2 离散型随机变量及其概率分布.三、 计算下列各题1. 袋中有 10 个球，分别编号为 110，从中任取 5 个球，令 表示取出 5 个球X的最大号码，试求 的分布列。X解 的可能取值为 5，6，7，8，9，10 且 10,9876,5 ,)(5104kCkXP所以 的分布列为X5 6 7 8 9 10P 2145361522. 一批元件的正品率为 ，次品率为 ，现对这批元件进行有放回的测试，设431第 次首次测到正品，试求 的分布列。XX解 的取值为 1，2，3， 且 .,321 ,431)(kkPk此即为 的分布列。3. 袋
2、中有 6 个球，分别标有数字 1，2，2，2，3，3，从中任取一个球，令 为X取出的球的号码，试求 的分布列及分布函数。X解 的分布列为1 2 3 P 61由分布函数的计算公式得 的分布函数为 X3 ,12 ,60)(xxxF4. 设随机变量 的分布律为 。54 5)(kP1求 ).3( ),31( )2,521() XPxPXP解 ,512 X. 5314)5()4()3( ),23)(211 PXPx5. （1）设随机变量 的分布律为 为常数，X 0 ;,21 !)( kakX试确定 。 （2）设随机变量 只取正整数值 ，且 与 成反比，求 的分aYN)(YPNY布律。解 （1）因为 及
3、，所以1,)(kXP0 ,1!1ek .1ea（2）令 类似上题可得 。;,2N )(2aY 26k所以 的分布律为 ,6)(26. 汽车沿街道行驶，需要通过 3 个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等，以 表示该汽车首次遇到红X灯前已通过的路口，求 的概率分布X解 =0, 1, 2, 3, =“汽车在第 个路口遇到红灯.” ， =1，2，3.XiAi i= , =)(0(1P2)1(4121）（ AP， = 83）（ )3(X8131）（为所求概率分布7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现 6 点为止, 试求抛掷次数 的概率分布律
4、.X ,21 ,36)1()()( ,231 ,“6“ 11 kAPkXXiAiA kkii的 概 率 分 布 为所 以 点次 出 现第设解四、证明题试证明：，是 两 个 常 数 ， 且都 是 分 布 函 数 ， 又和设 ,0)(21 babaxFX0 1 2 3P1/2 1/4 1/8 1/82.)()()(21也 是 分 布 函 数xbFaxF1112220, 0) 0)1;)aFxaFxbab（ （解 （ ） 因 为 （ （ （ （111222112122 (), )() )(,(). 3limli limli1xx xxaxbFabxFab（ （有 （ （ （ （ （ 所 以 是 不
5、减 函 数（ ） （ （ （ （ 1212) 0a（ （ （ （.)()( )(0(04 2是 分 布 函 数质 ， 所 以满 足 分 布 函 数 的 四 个 性由 于 xFxFbaxb2.3 连续型随机变量及其概率密度函数三、计算下列各题1. 设连续型随机变量 的密度函数为 ；求 的分布函数。X其 它 ,0212 ,)(xxf X解 ， xdfF)()( 2 ,11,2 , )(2xxxF2. 设随机变量 的分布函数为 ；求X0 ,0 ,)()(xeF的密度函数。XP )2(;1( )解 ;2)1()( 1eF0 ,)()2(xexf3. 设连续型随机变量 的密度函数为 ；X其 它 ,014
6、)(3xxf3（1）求常数 ，使 ； （2）求常数 ，使 。a)()(aXPb05.)(bXP解 （1）因为 ，所以 故,)(1a。4403 2,2)(aadxaXP所 以（2）因为 ,019)(,05.)(1,5.)( 4 bXPbXPb449.98720所 以 即4. 在半径为 ，球心为 的球内任取一点 ，X 为点 O 与 P 的距离，求 X 的分布函RO数及概率密度。解 当 时，设 ，则点 落到以 为球心， 为半径的球面上时，x0xPx它到 点的距离均为 ，因此O，所以， 的分布函数为334)( RxVxXPORP X30, ()1, xFR的密度函数为 X RxRxFxf ,0 ,3)
7、(25. 设随机变量 的分布函数为 , +,试求 (1) 系数 与 , BAxarctn)(AB(2) P (1 1), (3) 的概率密度函数.xX解 ,12201)(0 1BAF）（xxxfFP,)1()( )3 ,21)arctn(12()arctn( 226. 设随机变量 的概率密度为 , 以 Y 表示对 进行三次独立观X其 它，）（ ,01f X4察中 出现的次数,求概率 P( =2).X21Y解 p = P ( )= , 由已知 (3, )4121 021 xdxf）（ YB41所以 6943）（）（ CY7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从
8、；另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从 ，问)10,5(N )16,0(N（1）要在 70 分钟内赶到火车站应走哪条路保险？（2）要在 65 分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解 （1）因为 所以走第二条。 .9380)467()0(,972.0)157()0( 21 XPXP（2）类似的走第一条。2.4 随机变量函数的分布三、计算下列各题1. 设随机变量 的分布律如下，求 的分布律。X12XY-2 -1 0 1 2iP51 6 5 30解Y 1 2 5iP5 307 12. 设随机变量 在 上服从均匀分布，求 的密度函数。X)1,( XZeYXln2 )(; )(解 的密度函数为 ,
9、 10,xfx（1） 设 ，则有 。XeY xXXY dtfPxexPFln)()()()()5所以 ，因此当 及 时，由 知 ；)(ln1)(xfxfXY1xe0)(xfX)(xfY当 时，由 知 ，所以所求密度函数为e0)(ffY)(exfY,1 ,)(（2）类似的可得：21, 0()xZef3. 设 ，求 的密度函数。)1,0(NX( ; ()|XYW解 （1） 的密度函数为 ， 的分布函数为 )( 21)(2xexfxX XeY 0 ,)()ln()()() l ydtfyPyeyYPF XY0 ,)(yY所以 的密度函数为 Xe 0 ,0,1.2)()(2yeyfinyY（2） 的分
10、布函数为 | W)|()()XPWF0 221)( 022 ydtedteyPyy0 ,)(yFW所以 的密度函数为 | X0 ,0,2)(yeyfyW4. 设随机变量 的概率密度为 ；求 的概率密度。其 它 ,02)(xxf XYsin解 01()(sin) YyFyPy当 时 ，arcsin2220arcsin(arcsin), yyXPyxxdd 6所以 1,0 ,0,12)( yyyfY5. 若球的直径 D 的测量值在 上均匀分布，求球的体积 V 的概率密度。,ba其 它所 以 其 它解 ,06,9216)( ,6)1() ,1V , ,0)( 33313333 3bvavabvfvf
11、 FPFDdabdfDVV 6. 将长度为 2 的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于 的a 2a概率。 2121 “2“ 0“)(0)20( )2( , ,21)( ,0 , , 2 aa aXaaXPXPYPYaxaxf aXXX 面 积其 它 上 均 匀 分 布在两 部 分的 直 线 分 成长 为解四、证明题1. 设 的 密 度 函 数 为试 证若是 取 正 值 的 随 机 变 量 ， ),(ln2XNXX. ,0 ,0,)(l21exp1)( 2这 称 为 对 数 正 态 分 布xxp证 的 密 度 为所 以 XeXNXYyY,),(ln2 0 ,0,)(ln21xp ,0,1)(l)( 2xxfxpY 2. 设随机变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布, 证明 在区间(0,1) 服从均匀分eY21布。7证 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则概率密度为 0 ,2xexfX，）（, 函数 y 单调可导,其反函数为 xeY21,02xy ）（ y1ln由公式 其 它）（） ）（）（ ,01|ln21(|ln1 yffXY所以 在区间(0,1)服从均匀分布。xe2
