1、1线性代数疑难习题讲解容杰华 叶宇鑫 梁志光（20056）1题目 证明向量 线性无关的充要条件是 线性无321, 31321,关 。知识点 线性无关，向量的初等变换。解题步骤：方法一。 必要性：设 0)()()( 313221 kkk即 213 线性无关21,有方程组0321k其系数矩阵的行列式: 10 321k只有零解即 0321k 线性无关31321,充分性：设 0321k与其等价的式子为20 )(2)(2)(2)( 31313213213 kkk线性无关3131, 0202313kk其系数矩阵的行列式： 020120121212 方程只有零解即 0321k 线性无关.21,方法二： cc
2、3231 21121321 ),(),( ),(), 13321c ),(,( 132121 rankrank故 线性无关的充要条件是 线性无关3, 31方法总结：方法一是从定义出发进行证明，必要性比较容易想到，但充分性比较难，要确定与其等价式子的系数，可通过求解方程组的方法来确定。方法二是利用了向量的初等变换求秩方法来解决问题。相关例题：例 4.9（P67）32题目 设 为 n 阶实矩阵，证明 ： 若 ， 则 。A0TA知识点：矩阵相乘、转置矩阵、零矩阵概念解题步骤：证明：设，则nnnaaA 212112 nnnTaaA 212121 0 22123231221212 nnnnnT aaaA
3、 其中*为省略表示的代数和 0221221221 nnnn aaaa 为实数ij 2122112 nnnn 即 0ija nmijA常见错误及原因：混淆了零矩阵与行列式为零的概念，由 0)det(,)det()det(,0 AATTT得出 。A3设 为 n 阶矩阵，若 ，试证的特征值是 -1 或 1.EA2知识点：特征值与特征向量解题步骤：方法一。设 的特征值为 ，对应的特征向量为 ，则有：XXA4两边左乘矩阵 得：A或X2把 和 代入上式得：E22因为 为非零向量，所以12方法二。 EA2 或002EA )( dettEA 或0)(0)(EA 的特征值为 或1方法三。设 的特征值为 ，并设有
4、多项式A1)(2xf则方阵 的特征值为Ef2)( 由 ni1det得 0)(t2Af即 12 相关例题：例 5.4（P89）4题目 设 A, X, B 分别是 mn,n1,m1 矩阵， B0; 是方程 AX=B 的一个解；5对应的齐次方程 AX=0 的一个基础解系为 ， ， ， ， r = rank(A). 12n证明 , ， ， ， 线性无关。123rn知识点：线性无关 基础解系解题步骤：方法一。 （从定义出发）设存在 k, k , k , k , k ，使123rnk + k + k +k = 012rn在等式两边左乘 A，有kA + k A + k A +k A = 012rnr， ，
5、， 是齐次方程 AX=0 的一个基础解系， 是方程123rn AX=B 的一个解。k A + k A +k A =0， A =B12rnrkB=0B0k = 0k + k + + k =0 成立12rn， ， ， 是齐次方程 AX=0 的一个基础解系。3r， ， ， 线性无关12rnk =k =k = = k =03rk = k = k = k = = k =012rn, ， ， ， 线性无关.3r方法二。 （反证法）假设 可由 ， ， ， 线性表示，123rn6即 =rniik1， ， ， 是齐次方程 AX=0 的一个基础解系。123rn， ， ， 线性无关r是方程 AX=B 的一个解A =
6、 0 =B 这与 B0 矛盾rniik1假设不成立不能由 ， ， ， 线性表示123rnRank( ， ， ， ， )=n-r+1r, ， ， ， 线性无关.123rn方法三。证明： ， ， ， 是齐次方程 AX=0 的一个基础解系。123rn， ， ， 线性无关。123rnRank ( ， ， ) = n rr是方程 AX=B 的一个解， B0不能由 ， ， ， 线性表示123rnRank ( ， ， ， ， ) = n r1123r, ， ， ， 线性无关.rn方法总结虽然向量组线性相关或无关的证明比较困难，但还是有多种方法可以解决。可从定义出发进行证明（方法一） ，可用反证法进行证明（方
7、法二） ，还可以利用性质或定理进行证明（方法三） 。5题目7求矩阵 A= 的特征值与特征向量。11知识点 特征值 特征向量解题步骤法：解： A 的特征多项式为 det(A E) =11 变恒240021= )(3解 det(A E) = 0 得 特征值 2432,1当 时， 得 2 031421x则： , 故 是 A 的属于 的全体Tx11为 常 数 ）,(k2特征向量，当 时， 得 2 0114321x则 ， ， ， 故Tx02T3 T103是 A 的属于 的全体特为 常 数 ）,(4243kkk 242征向量。常见错误8解： A= 11 换恒 变4002211则 A 的特征多项式为 det
8、(A E) =100212)(1)4(得 特征值 243,1,4（因为特征值已经错误，后面的步骤省略）分析在计算这类题时，大部份同学都会将矩阵化为对角矩阵或上、下三角矩阵，但有些同学习惯于纯粹的数字矩阵的初等变换，而不习惯于有未知数的初等变换，于是为了计算方便，便直接将矩阵 A 变换成对角矩阵或上、下三角矩阵，造成错误。其实我们可以知道，当矩阵 A 初等变换成对角矩阵或上、下三角矩阵时，矩阵 A 就不是原来的矩阵 A，而是与矩阵 A 的秩相同的另一个矩阵了。相关例题(1)求矩阵 A= 的特征值与特征向量。1210365(2) 求矩阵 A= 的特征值与特征向量。9876546.题目在计算机行列式
9、时如何利用范德蒙行列式的结果.知识点n 阶范德蒙行列式的算法为= (1)121nnnxxD 0)(ijjx它有如下结构特点:9的每列都是某一个数的不同方幂,且自上而下方幂次数由 0 递增至 n-1.nD只要抓住其特点,将所给行列式转化为范德蒙行列式,然后用(1)式计算结果.现将常见的转化方法归纳如下:方法一当所给行列式各列（或行）都是某元素的不同方幂，但其次数或其排列与范德蒙行列式不尽相同时，应利用行列式的性质（提公因式，调换行列次序等） ，将其转化为范德蒙行列式。例如：计算 nnD 211解 提取各行的公因式，得 11!nnD 上式即为 n 阶范德蒙行列式，故=n!(2-1)(3-1)(n-
10、1)(3-2)(4-2)(n-2)n-(n-1)n=n!(n-1)!(n-2)!2!1!方法二当各行（或列）元素均为某一元素的不同方幂，但都缺少同一方幂时，可用加边法来转化。例如：计算 442211dcbaDn解 (1)当 a,b,c,d 中任两个相等时，显然 D=0(2) 当 a,b,c,d 互异时，由于 D 中缺少三次幂的一行元素，为产生五阶范德蒙行列式，现添加一列，得1044433322211)(xdcbaxf按最后一列展开，得f(x)= 5435251 AAx因为 f(a)= f(b)= f(c)= f(d)=0,故 a,b,c,d 为 f(x)的四个根，由根与系数关系得a+b+c+d
11、= - /45又因为 = = -D，而45AD54)1(=(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)5故 D= - =(a+b+c+d) = (a+b+c+d) (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)45A方法三行列式的各行（或列）都是元素的不同方幂，只有一行（列）不是元素的某次幂，用行列式性质使其转换为范德蒙行列式的形式.例试用范德蒙行列式计算D= bacba22D= =(a+b+c)cca222 221cba=(a+b+c)(b-a)(c-a)(d-a)方法总结范德蒙行列式是线性代数中一个相当重要的工具，如果在计算行列式时能够熟练的适时运用，将为解题过程带来很大的方便。7.题目设 n 阶矩阵 X 满足 ，证明 都可逆 ，并求022EEX2,。.)2(,11EX
