1、- - 1 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 1 - 页 共 12 页二 次 函 数知识结构：方程函数应用图象考点解析：一、认识二次函数1、二次函数的常见解析式及其三要素 的符号决定抛物线的开口方向； 相等，抛物线的开口大小、形状相同；如果 相同，那么抛aa a物线的开口方向、开口大小完全相同。平行于 轴（或重合）的直线记作 .特别地， 轴记作直线 .yhxy0x二次函数 用配方法可化成： 的形式，cbxa2 khxa2其中 akh42，函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标2axy（ 轴）0xy
2、（0,0）k（ 轴） (0, )k2hxyh( ,0)hkax( , )kcbxy2当 时0a开口向上当 时开口向下 ab2( )abc422，- - 2 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 2 - 页 共 12 页当 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点 ；0aabcy大42当 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 。22、二次函数的性质：增减性：以对称轴 为界，具有双向性。hx对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以抛物线的对称轴垂直平分对称点的连线.即：若 、 两点是抛物线上关于对称轴
3、对称的两点，则有：ABhx ； (即 )。yBA2ab21基础练习题：1、抛物线 y = - 2 ( x 3 )2 7 对称轴 x = , 顶点坐标为 ；2、抛物线 y = 2x2 + 12x 25 的对称轴为 x = , 顶点坐标为 .3、若将二次函数 y=x22 x + 3 配方为 y =（ x h） 2 + k 的形式，则 y= 4、抛物线 y= - 4（ x+2） 2+5 的对称轴是 。5、抛物线 y = - 3x2 + 5x - 4 开口 , y = 4x2 6x + 5 开口 .6、已知 P1（ ） 、P 2（ ） 、P 3（ ）是抛物线 上的三个点，若,2,3 32，则 的大小关
4、系是_ 。321x31y、7、已知函数 y=x2-2x-2 的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使 y1 成立的 x 的取值范围是( )A-1 x3 B-3 x1 C x-3 D x-1 或 x37 题图 8 题图8、如图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )A h=m B k=n C kn D h0,k09、抛物线 的顶点在原点，则 m= 4)2(22mxxy10、如图抛物线对称轴是 x=1,与 x 轴交于 A、B 两点,若 B 点的坐标是( ,0),则 A 点的坐标是 311、请选择一组你喜欢的 的值，使二次函数 的图象同时满足下列abc、 、 )0(2acbxykh2
5、)(41nmxy2)(1- - 3 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 3 - 页 共 12 页条件：（1）开口向下， （2）当 时，y 随 x 的增大而增大；当 时，y 随 x 的增大而减小。这xx2样的二次函数的解析式可以是_。拓展提升：1、已知抛物线 y= (x - 4)2 - 3 的部分图像(如图) 图像再次与 x 轴相交时的坐标是（ ）1(A) (5，0) (B) (6，0) (C) (7，0) (D) (8，0)2、如图，已知二次函数 y= (a0)的图象的顶点 P 的横坐标是 4，图象
6、交 x 轴于点cbxa2A(m，0)和点 B，且 m4，那么 AB 的长是 ( )(A)4+m (B)m (C)2m 一 8 (D)82m3、已知点 A（1, ） 、B（ 2,y） 、C（ 3,y）在函数 21x上，则 、 、 的1y 1y23大小关系是( )A B C D 12313231y134、开口向下的抛物线 的对称轴经过点（1，3） ，则 _。)(2mxy m5、抛物线 上有两点（3，8）和（5，8） ，则对称轴是 。cbxa26、已知二次函数 ，则当 m= 时，其最大值为 0.2)1(2xy二、函数与方程要点： y = ax2 + bx + c ( a 0 ) 二元二次不定方程 有
7、无数组解 在直角坐标系中有无数个点（确定函数 y 的值） 如： ax2 + bx + c =3 ( a 0 ) 一元二次方程 有确定解 确定在直角坐标系中的点1、已知函数解析式，求点的问题，可用方程或方程组解决（代入法） 。2、已知点的坐标，求函数解析式中待定系数的问题，也可用方程思想解决。基础练习题：1、抛物线 y = 2x2 + bx 5 过点 A ( - 2, 9 )，则关于“ b”的方程为 ，此抛物线的解析式为 .2、已知函数 y = x2 + bx 1 的图象经过点（3，2） ，则这个函数的解析式为 ；图象的顶点坐标为 。3、抛物线 y = 2x2 - 3x 5 过点 A ( n,
8、9 )，解得 n = .4、 y = - 2x2 + 5x 3 与 y 轴的交点的坐标为 ，5、 y = 2x2 5x + c 与 y 轴的交点为（ 0，3 ） ，则有 c = .- - 4 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 4 - 页 共 12 页6、 y = - 2x2 + 5x 3 与 x 轴的交点坐标为 、 .应用 1：用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式： .已知图像上三点或三组（ 、 ）的值，通常选择一般式.cbxay2 xy（2）顶点式： .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点
9、式.kh（3）交点式：已知图像与 轴的交点横坐标 、 ，通常选用交点式： .x1x2 21xay基础练习题：1、二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象的顶点 A 的坐标为 ( 1, - 3 )，且经过点 B ( -1, 5 )，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 2、二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交于点 A ( - 3, 0 )，对称轴 x = -1，顶点 C 到 x 轴的距离为 2，则设 y = , 得方程为 ，解得 ，此函数解析式为 . 3、已知抛物线 过点（-1，0） 、 （3，0） 、 （2，5） ，则设 y = , 得方程
10、bxa2为 ，解得 ，此函数解析式为 。4、抛物线 经过(1,3).(0,-2)和(-2,4),则抛物线的解析式为 . cy2综合练习题：1、如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过 A、B、C 三点.（1）观察图象写出 A、B、C 三点的坐标，并求出此二次函数的解析式；（2）求出此抛物线的顶点坐标和对称轴。2、已知二次函数的图像经过(0,3),且顶点坐标为（1，-4） 。（1）求这个函数关系式；（2）当 x 为何值时,函数值为 0?当 x 为何值时,函数值 y 随着 x 的增大而增大?当 x 为何值时,y 随 x的增大而减小?- - 5 - -海韵教育 数学（9）1322816625
11、6 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 5 - 页 共 12 页xyO 3911AB图 1 13、如图 1，已知二次函数 的图像经过点 A 和点 B24yaxc（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点 P（ m， m） 与 点 Q 均 在 该 函 数 图 像 上 （ 其 中 m 0） ， 且 这 两 点 关 于 抛物 线 的 对 称 轴 对 称 ， 求 m 的 值 及 点 Q 到 x 轴的距离14、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为 ，且过点 (14)A， (30)B，（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次
12、函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与 轴的另一个交点的坐标x应用 2：直线与抛物线的交点（1）抛物线 与 轴（或平行于 轴的直线） 的交点cbxay2yyhx该交点是由 所得，且只有一个( , ).h2 hcba2特别地，当 x=0 时，交点为(0, ).c（2）抛物线 与 轴（或平行于 轴的直线） 的交点bxay2 xky由方程组 所得，故交点的横坐标是方程 的解；ck2 cbxa2交点的个数受方程 根的判别式决定，即：kbxa抛物线与 轴相交 有两个交点（x 1、k） （x 2、k） ；0y抛物线与 轴相切 有一个交点（x、k） （即顶点在
13、上） ；k y抛物线与 轴相离 没有交点.y- - 6 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 6 - 页 共 12 页特别地，当 时，即表示为与 x 轴的交点。0y一次函数 的图像 与二次函数 的图像 的交点knxl 02acbxyG由方程组 的解的数目来确定：cbay2方程组有两组不同的解时 与 有两个交点; lG方程组只有一组解时 与 只有一个交点；方程组无解时 与 没有交点.l抛物线与 轴两交点之间的距离：x若 与 轴的两交点为 ，由于 、 是方程 的两根，故：cbay2 021， xBA1x2
14、02cbxacab2,所以： 21212121 4xxxxAB aca4)(2基础练习题：1、若二次函数 y=x24x+c 的图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c=_ _（只写一个）2、已知二次函数 y = ax2 2 的图象经过点（1，- 1） ，则这个二次函数的解析式为 ，该函数图象与 x 轴的交点个数为 .3、抛物线 y = x2 - 6x + c 的顶点在 x 轴上，则 c 的值是（ ）.（A） 9 （B） 3 （C） - 9 （D） 04、函数 的图象与 x 轴有公共点，则 k 的取值范围是 k拓展提升：1、二次函数 的值永远为负值的条件是 a 0, 0cbay2 acb
15、422、二次函数 y=x 26x5，当 时，y 0； b = 2a； a + b + c； a b + c ，正确的个数是（ ）.(A) 4 个 (B) 3 个 (C) 2 个 (D) 1 个 6、二次函数 y=ax2+bx+c 的图像如图所示，则下列关于 a、b、c 间的关系判断正确的是（ ）(A) ab 0 (D) a-b+c 0）的对称轴为 x1，交 x 轴的一个交点为（ x1，0），且00 b0，其中正确的个数有（ ）A、0 个 B、1 个 C、2 个 D、3 个3、已知二次函数 的图象如图所示，有下列 5 个结论： ； )0(x abc； ； ； ， （ 的实数）其中正确的cab4c
16、bbc)(bam1结论有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个1 题 3 题4 题4 题2 题6 题- - 10 - -海韵教育 数学（9）13228166256 81226780学不可以已。青，取之于蓝，而胜于蓝；冰，水为之，而寒于水。第 - 10 - 页 共 12 页O xy4、如图是二次函数 y ax2 bx c 图象的一部分，图象过点 A（3， 0） ，对称轴为 x1给出四个结论： b24 ac；2 a b=0； a b c=0；5 a b其中正确结论是（ ） （A） （B） （C） （D）5、已知二次函数 y=ax2+bx+c，且 a0， a-b+c0，则一定
17、有（ ）（A） b2 - 4ac0 （B） b2 - 4ac=0 （C） b2 - 4ac0 （D） b2 - 4ac06、二次函数 y =ax2 bx c 的图象如图所示，且 P=| a b c | 2 a b |， Q=| a b c | 2a b |，则 P、 Q 的大小关系为 . 7、如图，已知二次函数 的图象与 轴交于点（-3，0） ， （ x1，0） ，且 2b0 6a+c0 9a+c0 其中正确的结论是_（将你认为正确结论的序号都填上）综合提升1、若用（1） 、 （2） 、 （3） 、 （4）四幅图像分别表示量之间的关系，请按图像所给顺序，将下面的a、b、c、d 对应排序(a)
18、小车从光滑的斜面上滑下（小车速度与时间的关系）(b) 一个弹簧不挂重物到逐渐挂重物（弹簧长度与所挂重物重量的关系）(c) 运动员推出去的铅球（铅球高度与时间的关系）(d) 小杨从 A 到 B 后，停留一段时间，然后按原速度返回（路程与时间的关系）正确的顺序是：（ ）A、 （c） （d） （b） （a） B、 （a） （b） （c） （d） C、 （b） （c） （a） （d） D、 （d） （a） （c） （b）2、在同一坐标系中一次函数 和二次函数 的图象可能为（ ）yx2yx3、反比例函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象如图，它们的解析式可能分别是（ ） （A） y= ， y=kx2-x （B） y= ， y=kx2+x kx kxO xyO xyO xyO xyA B C D
