1、第 1 讲 数列的概念 知 识 梳理 1.数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每个数称为该数列的项.2.通项公式：如果数列 的第 n项与序号之间可以用一个式子表示 ,那么这个公式叫做这个数列a的通项公式，即 )(fn. 3.递推公式：如果已知数列 的第一项（或前几项） ，且任何一项 na与它的前一项 1na（或前几n项）间的关系可以用一个式子来表示，即 )(1naf或 ),(21f，那么这个式子叫做数列 的递推公式. 如数列 中， 2,1，其中 n是数列 的递推nana n公式.4.数列的前 项和与通项的公式 nnaaS21； )2(1nSn.5. 数列的表示方法：解析法、图
2、像法、列举法、递推法.6. 数列的分类：有穷数列，无穷数列；递增数列，递减数列，摆动数列，常数数列；有界数列，无界数列.递增数列:对于任何 Nn,均有 na1.递减数列:对于任何 ,均有 .摆动数列:例如: .1常数数列:例如:6,6,6,6,.有界数列:存在正数 M使 Nna,.无界数列:对于任何正数 ,总有项 使得 Ma. 重 难 点 突 破 1.重点：理解数列的概念和几种简单表示方法；掌握数列的通项公式的求法.2.难点：用函数的观点理解数列.3.重难点：正确理解数列的概念，掌握数列通项公式的一般求法.求数列的通项、判断单调性、求数列通项的最值等通常应用数列的有关概念和函数的性质.问题 1
3、：已知 是数列 的前 n项和， )(1NnaSn，则此数列是( )nSaA.递增数列 B.递减数列 C.常数数列 D.摆动数列分析：将已知条件转化为数列项之间的关系，根据数列单调性作出判定.解析： 1nnaS， )2(1naSn两式相减，得 ， 0当 1时， )(121， )(Nn，选 C.问题 2：数列 中， 076na，则该数列前 100 项中的最大项与最小项分别是( )nA. 501, B. 41, C. 45,a D. 504,a分析：由已知条件判定数列单调性，注意 的取值范围.解析： 2076276nna，4,1时， 递减； ,45时， na递减.结合图象，选 C. 热 点 考 点
4、题 型 探 析考点 1 数列的通项公式题型 1 已知数列的前几项，求通项公式【例 1】求下列数列的一个通项公式： ,37,95 ,00 1,68,42 531【解题思路】写出数列的通项公式，应注意观察数列中 na和 的联系与变化情况，应特别注意：自然数列、正奇数列、正偶数列， n)1(和相关数列，等差、等比数列，以及由它们组成的数列，从中找出规律性，并分别写出通项公式.【解析】联想数列 ,326,84 即数列 n，可得数列的通项公式 12na；将原数列改写为 ,8071501分母分别为 ,54,31 分子分别为,10,呈周期性变化，可以用 2sin，或 2)(cosn，或 2)(n表示.na2
5、si（或 nan21cos，或 nan21)(）分子为正偶数列，分母为 ,9,75,3得 )12(nan观察数列可知： ,4321,321,1432 aa 2)(,54432154 a n本题也可以利用关系式 n1求解. 【名师指引】联想和转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法.求数列的通项公式，应运用观察、分析、归纳、验证的方法.易错之处在于每个数列由前几项找规律不准确，以及观察、分析、归纳、验证这四个环节做的不够多，应注意对每一数列认真找出规律和验证.题型 2 已知数列的前 n项和，求通项公式【例 2】已知下列数列 的前 项和 ，分别求它们的通项公式 .anSna Sn32； 13n.【
6、解题思路】利用 )2(1Sann（，这是求数列通项的一个重要公式.【解析】当 1时， 53，当 2n时， )1()()(22 nann 4.当 时， 154a， 14n.当 1时， 3S，当 2n时， 111 32)()( nnnna .当 1时， 1123， )(41ann.【名师指引】任何一个数列，它的前 项和 与通项 都存在关系：nSna)2(1nSan若 适合 ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.1an题型 3 已知数列的递推式，求通项公式【例 3】数列 中， ，求 ，并归纳出 .na)2(,11nan 5432,an【解题思路】已知 的递推公式 求前几项，可逐步计算.na)(1
7、naf【解析】 ，2,11nn， ， ， ，3212a42a523a624a由 ，可以归纳出 .,654, 1n【名师指引】由递推公式求通项，可以考虑“归纳猜想证明”的方法，也可以构造新数列.【新题导练】1.已知有穷数列： 72,1, ，其中后一项比前一项大 2.求此数列的通项公式； 94n是否为此数列的项？【解析】设数列的第 k项为 ka，则 32)(5k令 232n，故该数列的通项公式 )2,1(nak令 94n，解得 3， 94不是有穷数列的项.2.数列 中， )(2321 Nan ，求 53的值.na【解析】由 ，得当 时， 1；当 时， 21321)(na两式相除，得 )(2nan.
8、 65,493， 1653a.3.数列 中， 1,1nna，求 ，并归纳出 .n 532,an【解析】 2a321， 7， 134， 31245a由 ,2,15,7, 532 ，可以归纳出 n考点 2 与数列的通项公式有关的综合问题题型 1 已知数列通项公式，求项数及最大（最小）项【例 4】数列 中， 42nan. 8是数列中的第几项？ n为何值时， n有最小值？并求最小值.【解题思路】数列的通项 na与 之间构成二次函数，可结合二次函数知识去探求.【解析】由 0145184522 n，解得 7n，18是数列中的第 7项. 9)(22nna， N或 3时， 254mi a.【名师指引】利用二次
9、函数知识解决数列问题时，必须注意其定义域 n为正整数.题型 2 已知数列通项公式，判断数列单调性及有界性 【例 5】数列 中， 12na.n求数列 的最小项；n判断数列 是否有界，并说明理由 .a【解题思路】转化为判断数列的单调性，即证 1na，或 1n；从“数列的有界性”定义入手.【解析】 1)(221nan01)()()( 222 n1na， 数列 是递增数列，数列 的最小项为 a.nna 122n ， 数列 有界.n【名师指引】数列是特殊的函数，判断函数的单调性、有界性的方法同样适用于数列.【新题导练】4.数列 中， 1283nan，求 na取最小值时 的值.【解析】 31942n， 5
10、n时， na取最小值.5.数列 中， 2an，求数列 的最大项和最小项 .na【解析】 12)(1)(12 n ，又 02nan， 1na，数列 是递增数列n数列 的最小项为 31a，没有最大项. 抢 分 频 道 基础巩固训练1.设数列 ,14,25, ，则 2是这个数列的（ ）A第 9 项 B第 10 项 C第 11 项 D第 12 项【解析】C )(34， 选 C2.(2008 年华师附中)数列 的前 n项和为 nS，且 1,221an，则数列 的首a na项为（ ）A 1或 2 B 1 C D 或【解析】D ,2Snn中令 ，得 211)(， 或 23.(2009 恩城中学)已知定义在正
11、整数集上的函数 )(xf满足条件： f， (f,(2(1)(fff,则 09f的值为（ ）A2 B 2 C4 D4【解析】B利用数列的周期性，周期为 4， .2)1(50()2( fff4.数列 132n中数值最大的项是第 项.【解析】35.(2009 恩城中学文)观察下式：1=1 2，2+3+4=3 2，3+4+5+6+7=5 2，4+5+6+7+8+9+10=7 2，则可得出一般结论 .【解析】 .)1()3()()12nnn6.数列 中， a2， 5,21，则 209a的值是（ ）aA B C D【解析】C利用数列的周期性，除前 4 项后，周期为 6， .516384209a综合拔高训练
12、7.(2009 恩城中学 节选)已知数列 na的首项 1，其前 n项和 2nS求数列na的通项公式【解析】由 12a， 2nSa， 211()nnSa，得： 2211()nnnn，即， 12n， 132121nnaa 43() ， 1()na8.设数列 的第 项 n是二次函数， 5,1,521a，求 4.n【解析】设 cban2，由 5,3594cbacba52an， 6524.9.数列 中， 192nn.求这个数列的第 10 项； 109是否为该数列的项，为什么？求证： ),(na； 在区间 32,内有无数列的项，若有，有几项？若无，说明理由.【解析】 13292nna， 3180a；令 n 9013，无整数解， 9不是该数列的项. na， N， 130n， )1,0(na由 21n，得 32867693， 当且仅当 2时，在区间 32,内有数列的项.
