1、数列知识点总结对于数列,总体的通项公式 f(n), = =0等差数列= +(n-1)d= +(n-m)d1 = n+ = （m、n ）1(-1)2 (+1)2 A=(a+b)/2,A 称为 a 和 b 的等差中项等差数列的性质 若 m+n=p+q （m、n 、p、q ），则有 + = + 下标成等差数列的等差数列中的项也是等差数列，如, , , 也是等差数列，公差为 md + +2 为等差数列且公差为 d，则有以下结论：若 d0，那么数列为递增数列；若 d1）,记 = 1 -41 12（1）求证： 为等差数列；（2）求数列 的通项公式。解：（1）用定义证明： - = - = = ，且 +11+
2、12 12 22（ 2） 12= = 111212数列 是以 为首项，以 为公差的等差数列12 12（2） = = + = =2+ (n )121212 2 2 3.等差数列 中， =25， ,则该数列前多少项之和最大？最大值 1 17=9为多少？解：根据等差数列前 n 项和的性质（一元二次函数），可知最大项是 n=1317+92=17 = =9 即 17(25+8d)=9(25+4d) d=-217 99 5 =25-12x2=1 则 =（25+1）x132=169 即最大项13 13等比数列等比数列的通项 = =11等比中项 c= (此时 a、b 同号)ab前 n 项和 = = （q1）1
3、(1)1 1 1等比数列的性质(1) 若 m+n=p+q,且 m、n、p、q ,则 ; = (2) 若 为等比数列且公比为 q,则 是以 为公比的等比数列;1 1(3) 在等比数列 中，下标成等差数列的项也可构成等比数列；(4) 对于等比数列 和 ,新数列 也是等比数列； (5) 等比数列的增减性 若 0，q1 ，或者 0，01，则数列 为递减数列；1 1 特别的，当 q=1 时，数列 为常数数列且 =1等比数列的判断或证明（1） 定义法：即验证 =q；+1（2） 递推法：即验证 = ；+12+2（3） 通项法： ；=11（4） 前 n 项和：即证明 +A，A= （q1）= 111. 已知数列
4、 的前 n 项和 =2 +1,求证 是等比数列,并求出通向. 解: = - =2 +1-(2 +1)= 2 2 +1+1 +1 +1 = q= =2(n )+12+1 = =2 +1 =-101 1 1 是以-1 为首项，以 2 为公比的等比数列2. 已知数列 满足 =1， =2 +1 1 +1 (1) 证明数列 +1 等比数列； (2) 求数列 的通项公式. 解：（1） +1=2（ +1）q= =2 ( )+1 +1+1+1 +1=2而 1 0 +1 是以 2 为首项，以 2 为公比等比数列 （2）由（ 1）可知+1=2 = 212 -1=2当 n=1 时， = -1=1121 -1 ( )
5、=2 本题目注意一点，=A +B 1，此时 +C 构成等比数列， 公比为 A，C=13.设数列 是由正整数组成的等比数列， 为其前 n 项和，已知 =1， =7,则 =24 3 5解： =1 =1, =1,即 =124 32 3 12= + + = (1+q+ )=731231 2 12=11(1+q)=6 = = =1=4=12 51(1)14(1(12)5)112 3144.数列 满足 =1， =2， =(1+ ) + ,n=1,2,3 1 2 +2 cos22 sin22（1） 求 ， ，并求数列 的通项公式；3 4 （2） 设 = , = + + ,证明：当 n 6 时，212 12
6、|2| = b +b-2=(b-1) b1-21=(b-1) 1 121当 b=2 时， =1-n21 21 =（n+1） ） 21 （ 当 b2 时， + =b（ + ），q=b，首项 + 122 1 1221 1 12=2（1+ ）2112则 + =2（1+ ） ）122 12 1（ 且 2 = 2（b-1） - 12 12当 n=1 时， = 2（ b-1） - =2112 021 = 2（b-1） - 12 12 （ ）等比数列的 前 n 项和公式: = 1(1)1 （ q1）1 （ q=1） 前 n 项和的性质 : 连续 m 项的和仍能构成等比数列,公比为 ,例如: , - - 2,
7、 32 等比数列 中 +B,A+B=0 = = +例如：已知等比数列的 前 n 项和为 =20， =60，求 .， 2 3解： ， - ， - 可以构成等比数列，则232q= = =2， - = =204=80，即3-2 602020 322-60=80， =1403 3题目. 数列 为各项为正整数的等差数列，其前 n 项和为 ，数列 为 等比数列，且 =3， =1，数列 是公比为 64 的等比数列， =641 1 22（1）求 ， ； （2）求证： + + q=8,d=2(这个要自己找数试)q（ 6+d） =64=64 =2n+1， = 81（2） =n（ n+2），则= = （ - ）1
8、1n（ n+2） 12 1 1+2 + +1112 1= （ - + - + - + - + - ）12 11 1312 1413 14 11 1+11 1+2本题目注意在消项的时候项的保留，一般是前面留的项与后面从后往前数时留的项的序号是一样的，如不清楚，可以列出一些项自己动手消去看保留项的规律= （1+ ）12 12 1+1 1+2 （1+ ）12 12=34对于一般数列，需要转化成等比或等差数列，主要用到的是： =-11.（应用分析题）有一 11 级楼梯，如果一步可以上一级，也可以上 2 级，则这 11 级楼梯共有多少种上法？解：设上 n 级楼梯共有 种上法，则当第一步上 1 级时，剩余
9、的 n-1 级楼梯共有 种上法，若第一步上 2 级则剩余 n-2 级楼梯共有 种上法，则有1 2，则 =1， =2， = + =3， =5，=1+2 1 2 312 4=114，即 11 级楼梯共有 114 种上法。112.已知各项为正数的数列 , =1,前 n 项和为 ,且 - - -31 +122+1- =0. .求数列 的通项.+1 （ ） 解:由 - - -3 - =0, 且 = - ,则可得+122+1 +1 +1+1( - )( + )=0+12 +1数列 各项为正 - =0 ,即 - =2+12 +1 （ ） = - + - + - +112 211=2(n-1)+1=2n-1 (n2, ) - (n2, )=1=2n-1(2n-3)=2
