1、加强变式教学 培养思维能力变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要形式，它是借鉴科学家发明创造的思维方法，通过对数学问题进行多角度，多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变 ”的本质中探索 “变”的 规律，变式教学不仅能增强学生的创新意识和应变能力，而且能优化学生的思维品质，培养发现问题和解决问题的能力和素质，下面举例说明：例 1过抛物线焦点的一条直线与它交于 P、Q 两点，经过点 P 和抛物线顶点的直线交准线 L 于 M、N, 求证：直线 MQ 平行于抛物线的对称轴（数学第二册（上）P 123 习题6）通过对题目的感知、理解、解答之后,出示下面两
2、个变式题.变式 1: 经过抛物线 C: y2=2px (p0)焦点 F 的直线,与抛物线 C 交于 P,Q 两点,过点 Q 作直线 MQ 与 C 的对称轴平行,且与 C 的准线交于点 M,问直线 MP 是否经过抛物线 C 的顶点 O.变式 2: 点 Q 是抛物线 C:y2=2px(p0)上一点, 直线 MQ 与 C 的对称轴平行,且与 C 的准线交于 M 点,直线 MQ 交抛物线于点 P, 问直线 PQ 是否过抛物线的焦点 F.变式 1 与 2001 年全国高考试题第 19 题类似,变式 2 与变式 1 的解法相似,不再赘述.例 2. 直线 y=x-2 与抛物线 y2=2x 交于 A、B 两点
3、 (数学第二册(上) P 130, 例 2) 变式 1: A、B 是抛物线 C: y2=2x 上两点,且 OAOB, 问直线 AB 的方程是 y=x-2 吗?解: 设 A(x1, y1), B(x2, y2)(1). 当直线 AB 的斜率不存在时, ABx 轴, 由 y12=2x1, y1=x1, 得 x1=2, 直线 AB 的方程为 x=2.(2). 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=k(x-m)(k0). 由 )(2mxky, 得 又OAOB, 0022mkpymy21OBA即 x1x2+y1y2=0 由 y12=2x1, y22=2x2 得 x1x2= =m2 42
4、y将、 式代入 式, 得 m=2. 直线 AB 的方程是 y=k(x-2)综合(1), (2), 直线 AB 是过顶点 (2,0) 的直线系, 并不是 y=x-2.变式 2: 直线 y=x-2 与抛物线 y2=2px(p 0) 交于 A、B 两点, 若 OAOB, p 值等于 1 吗?解法与变式 1 的解法类似,答案是 p=1.例 3: 已知圆的方程是 x2+y2=r2. 求经过圆上一点 M(x0,y0)的切线方程.变式 1: 已知 M(x0, y0)是 x2+y2=r2 内异于圆心的一点, 则直线 x0x+y0y=r 与圆的交点个数是多少?学生只须利用直线与圆的位置关系的判断方法, 即可得公
5、共点的个数是 0, 但实际情况并不如此. 相当多的学生受原题的影响, 一看到直线的方程 “ x0x+y0y=r2 ”形式, 就想到直线与圆相切, 于是就填 1, 也有不少学生一看到 M(x0, y0) 在圆 x2+y2=r2 内，便以为直线过圆内一点，断定直线与圆必相交，于是填 2.为了澄清学生的模糊认识, 在审题中不被 “形” 所迷惑, 能透过 “形” 的表面, 察看 “形” 的本质, 让学生自己发现错误 , 寻找错因, 自惊奇中醒悟 , 教师因势利导, 进行变式引导.复习回顾: 已知圆 C 的方程是 x2+y2=r2, M(x0, y0)是一定点 .结论 1: 当点 M(x0, y0) 在
6、圆 C 上时, 直线 x0x+y0y=r2 为圆 C 在点 M 处的切线.变式 2: 当点 M(x0, y0) 在圆 C 外时, 直线 x0x+y0y=r2 的几何意义是什么?引导学生探索: 过点 M 可作圆 C 的两条切线 P1M, P2M, 设切点为 P1(x1,y1), P2(x2, y2), 由结论 1 得切线 P1M 的 方程为 x1x+y1y=r2, 切线 P2M 的方程为 x2x+y2yr 2因为点 M 在直线 P1M，P 2M 上，所以 x1x0+y1y0=r2, x2x+y2y=r2 由此可知, 点 P1, P2 在直线 x0x+y0y=r2 上, 而过两点的直线只有一条 ,
7、 所以 x0x+y0y=r2 为弦 P1P2 所在的直线方程, 于是得到：结论 2. 当 M 在圆 C 外时 , 过 M 可作圆 C 的两条切线 , 设切点为 P1, P2, 则弦 P1P2 所在的方程为 x0x+y0y=r2运用变式教学不仅能使学生对所学内容与练习保持浓厚的兴趣,而且还创设了学生共同参与的情境, 体验灵活运用知识与技能解决问题的乐趣, 从而促进思维能力的培养.例 4: 解不等式 x 2+3x-810 ( 数学 第二册(上)P 32 第 12（2）小题变式 1: 解不等式 x 2-3x-4 x+1变式 2: 解不等式 x-1 x 2+x+1变式 3: 解不等式 x+2 x-1变
8、式 4: 解不等式 x+2+ x-3 12变式 5: 解不等式 x-4 + x-3 a 的 解集不是空集, 求实数 a 的取值范围.变式 6: 对任意 XR, 不等式 x+1 + x+2 a 恒成立,求实数 a 的取值范围.变式 7: 若 f(x)= x-a + 5-x 的 最小值是 3, 求 a 的值.这是由一个基本问题变式出七个不同的问题, 形成问题链, 使得学生学一道题, 会一类题, 做一道题, 会一串题, 有助于学生掌握解决这类问题的规律 , 较好地强化思维训练, 同时通过变式使学生更好地掌握数学题的真正结构.以后拿到一道题后,不是想以前做过没有,而是想它是由什么简单形式变化而来,应用
9、什么手段将其变化为标准题,并且除了解决问题外还会提出自己的问题,考虑影响其解答的各种因素等.这七个问题分为不同层次的理解水平,使得不同学习水平的学生都能得到有效的训练.问题背景变化后没有现成模式,必须独立思考,要摆脱变式和背景的干扰,消除消极的思维定势的影响来解决问题,因此对于培养学生举一反三的能力很有用处,与此同时思维的深刻性和批判性也得到相应的提高.在数学教学中要运用变式教学适当安排一些有一定难度的题目让学生做,让他们付出一定的努力,在独立思考中解决问题,在战胜挫败中取得成功.教师在课堂上要利用变式教学,通过过程变式,提供适当的铺垫,向学生展示知识的发生、发展、形成的过程,来让学生把体验新知识是如何从已有知识逐渐演变或发展而来的,从而理解知识的来龙去脉,形成一个知识网络.将这种有层次推进的变式用于概念的形成、问题解决和构件活动经验系统,以帮助学生融会贯通,构建起良好的知识结构及灵活解决问题的能力,避免反复的机械训练.变式教学与重视 “双基” 被认为是我国数学教学的特点以及应该保留的传统, 其中组织好变式练习,特别是对课本例习题的变式练习, 进行有效的变式教学是培养思维能力, 分析、解决问题能力的重要途经.
