1、高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 1 - 2009年普通高等学校招生全国统一考试（ 海南 卷） 数学（理工农医类） 第 I 卷 一， 选择题：（本大题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中 ，中有一项是符合题目要求的。 （ 1） 已知集合 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 0 , 3 , 6 , 9 ,1 2AB,则 NA C B (A) 1,5,7 (B) 3,5,7 (C) 1,3,9 (D) 1,2,3 (2) 复数 3 2 3 22 3 2 3ii （ A） 0 （ B） 2 （ C） -2i (D)2 （ 3）对变量 x, y 有
2、观测数据理力争（ 1x ， 1y ）（ i=1,2,， 10），得散点图 1；对变量 u ， v 有观测数 据（ 1u ， 1v ）（ i=1,2,， 10） ,得散点图 2. 由这两个散点图可以判断。 （ A）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 正相关 （ B）变量 x 与 y 正相关， u 与 v 负相关 （ C）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 正相关 （ D）变量 x 与 y 负相关， u 与 v 负相关 （ 4）双曲线 24x - 212y =1 的焦点到渐近线的距离为 （ A） 23 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 1 （ 5）有四个关于三角函数的命题： 1p ：
3、xR, 2sin 2x + 2cos 2x =12 2p : x、 yR, sin(x-y)=sinx-siny 3p : x 0, , 1 cos22 x =sinx 4p : sinx=cosy x+y=2 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 2 - 其中假命题的是 （ A） 1p ， 4p （ B） 2p ， 4p （ 3） 1p ， 3p （ 4） 2p ， 4p （ 6）设 x,y 满足 241,22xyx y z x yxy 则 （ A）有最小值 2，最大值 3 （ B）有最小值 2，无最大值 （ C）有最大值 3，无最小值 （ D）既无最小值，也无最
4、大值 （ 7）等比数列 na 的前 n 项和为 ns ，且 4 1a ， 2 2a ， 3a 成等差数列。若 1a =1，则 4s = （ A） 7 （ B） 8 （ 3） 15 （ 4） 16 （ 8） 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱线长为 1，线段 11BD上有两个动点 E， F，且 22EF ，则下列结论中错误的是 （ A） AC BE （ B） /EF ABCD平 面 （ C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （ D）异面直线 ,AEBF 所成的角为定值 （ 9 ） 已 知 O ， N ， P 在 ABC 所 在 平 面 内 ， 且,0O A O B O C
5、 N A N B N C ，且 PA PB PB PC PC PA ，则点 O， N，P 依次是 ABC 的 （ A）重心 外心 垂心 （ B）重心 外心 内心 （ C）外心 重心 垂 心 （ D）外心 重心 内心 （注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） （ 10）如果执行右边的程序框图，输入 2, 0.5xh ，那么输出的各个数的合等于 （ A） 3 （ B） 3.5 （ C） 4 （ D） 4.5 （ 11）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的全面积（单位： c 2m ）为 （ A） 48+12 2 （ B） 48+24 2 （ C） 36+12 2 （ D） 36+24 2 高
6、考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 3 - （ 12）用 mina,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值 设 f（ x） =min2x , x+2,10-x (x 0),则 f（ x）的最大值为 （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 第 II 卷 二、填空题；本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为 F(1， 0)，直线 l 与抛物线 C 相交于 A， B 两点。若 AB 的中点为（ 2， 2），则直线 的方程为 _. （ 14）已知函数 y=sin（ x+ ）（ 0, - ）的图像如图所示，则
7、 =_ （ 15） 7 名志愿者中安排 6 人在周六、周日两天参加社区公益活动。若每天安排 3 人，则不同的安排方案共有 _种（用数字作答）。 （ 16）等差数列 na前 n 项和为 nS 。已知 1ma + 1ma - 2ma =0， 21mS =38,则 m=_ 三、解答题：解答应写出说明文字，证明过程或演算步骤。 （ 17）（本小题满分 12 分） 为了测量两山顶 M， N 间的距离，飞 机沿水平方向在 A， B 两点进行测量， A， B， M， N 在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和 A， B 间的距离，请设计一个方案，包括： 指出需要测量的数据（用字母表示，并
8、在图中标出）；用文字和公式写出计算M， N 间的距离的步骤。 （ 18）（本小题满分 12 分） 某工厂有工人 1000 名， 其中 250 名工人参加过短期培训（称为 A 类工人），另外 750 名工人参加过长期培训 (称为 B 类工人），现用分层抽样方法（按 A 类、 B 类分二层）从该 工厂的工人中共抽查 100 名工人，调查他们的生产能力（此处生产能力指一天加工的零件数）。 （ I）求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为 A 类工人，乙为 B 类工人； w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 4 - （
9、 II）从 A 类工人中的抽查结果和从 B 类工人中的抽插结果分别如下表 1 和表 2. 表 1： 生产能力分组 100,110 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 4 8 x 5 3 表 2： 生产能力分组 110,120 120,130 130,140 140,150 人数 6 y 36 18 （ i）先确定 x， y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图。就生产能力而言， A 类工人中个体间的差异程度与 B 类工人中个体间的差异程度哪个更小？（不用计算，可通过观察直 方图直接回答结论） w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ ii）分别估计 A
10、 类工人和 B 类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数，同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） w. w. w. k. s.5.u. c.o.m （ 19）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是地面边长的 2 倍， P 为侧棱 SD 上的点。 （ ）求证： AC SD； w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ ）若 SD 平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小 （ ）在（ ）的条件下，侧棱 SC 上是否 存在一点 E， w. w. w. k.s5. u. c. o. m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家
11、 版权所有 高考资源 网 - 5 - 使得 BE 平面 PAC。若存在，求 SE： EC 的值； 若不存在，试说明理由。 （ 20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C 的中心为直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是 7 和 1. （ ）求椭圆 C 的方程； （ ）若 P 为椭圆 C 上的动点， M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点， OPOM= ，求点 M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ 21）（本小题满分 12 分） 已知函数 32( ) ( 3 ) xf x x x a x b e
12、（ I） 如 3ab ，求 ()fx的单调区间； （ II） 若 ()fx在 ( , ),(2, ) 单调增加，在 ( ,2),( , ) 单调减少，证明 6. w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 请考生在第（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 6 - （ 22）本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲 w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 如图，已知 ABC 的两条角平分线 AD 和 CE 相交于
13、 H， 060B ， F 在 AC 上， 且 AE AF 。 （ I） 证明： B,D,H,E 四点共圆： （ II） 证明： CE 平分 DEF 。 w. w. w. k. s.5.u.c.o.m （ 23）（本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程。 已知曲线 C1 ： 4 cos ,3 sin ,xtyt （ t 为参数）， C2 ： 8cos ,3sin ,xy （ 为参数）。 （ 1）化 C1 ， C2 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （ 2）若 C1 上的点 P 对应的参数为 2t ， Q 为 C2 上的 动点，求 PQ 中点 M 到直线 3 3 2 ,
14、: 2xtC yt （ t 为参数）距离的最小值。 w. w. w. k. s. 5. u. c. o. m （ 24）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 如图， O 为数轴的原点， A,B,M 为数轴上三点， C 为线段 OM 上的动点，设 x 表示 C 与原点的距离， y 表示 C 到 A 距离 4 倍与 C 道 B 距离的 6 倍的和 . （ 1）将 y 表示成 x 的函数； （ 2）要使 y 的值不超过 70， x 应该在什么范围内取值？ w. w. w. k. s.5.u. c.o.m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 7 - 2009
15、年普通高校招生 全国 统一考试 理数 数学试题参考答案 一 选择题 (1) A (2) D (3) C (4) A (5) A (6) B (7) C (8) D (9) C (10) B (11) A (12) C 二填空题 (13) yx (14) 910(15) 140 (16) 10 三解答题 (17) 解： 方案一： 需要测量的数据有： A 点到 M， N 点的俯角 11,； B 点到 M， N 的俯角 22,； A， B 的距离 d （如图） 所示） . .3 分 第一步：计算 AM . 由正弦定理 212si nsi n( )dAM ； 第二步：计算 AN . 由正弦定理 221
16、sinsin( )dAN ； 第三步：计算 MN. 由余弦定理 22 112 c o s ( )M N A M A N A M A N . 方案 二：需要测量的数据有： A 点到 M， N 点的俯角 1 ， 1 ； B 点到 M， N 点的府角 2 ， 2 ； A， B 的距离 d （如图所示） . 第一步：计算 BM . 由正弦定理 112sinsin ( )dBM ； 第二步：计算 BN . 由正弦定理 121sinsin( )dBN ； w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 第三步：计算 MN . 由余弦定理 22 222 c o s ( )M N B M B N B M B N
17、 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 8 - (18) 解： （ ）甲、乙被抽到的概率均为 110 ，且事件“甲工人被抽到”与事件“乙工人被抽到”相互独立，故甲、乙两工人都被抽到的概率为 w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 1 1 11 0 1 0 1 0 0p . （ ）（ i）由题意知 A 类工人中应抽查 25 名， B 类工人中应抽查 75 名 . 故 4 8 5 25x ，得 5x ， 6 36 18 75y ，得 15y . 频率分布直方图如下 从直方图可以判断： B 类工人中个体间的 关异程度更小 . （ ii） 4 8 5 5 31 0 5
18、 1 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 2 32 5 2 5 2 5 2 5 2 5Ax ， 6 1 5 3 6 1 81 1 5 1 2 5 1 3 5 1 4 5 1 3 3 . 87 5 7 5 7 5 7 5Bx ， 2 5 7 51 2 3 1 3 3 . 8 1 3 1 . 11 0 0 1 0 0x A 类工人生产能力的平均数， B 类工人生产能力的平均数以及全工厂工人生产能力的平均数的会计值分别为 123， 133.8 和 131.1 . w. w. w. k.s.5.u.c.o.m （ 19）解法一： （）连 BD，设 AC 交 BD 于 O，由题意 SO AC
19、 。在正方形 ABCD 中， AC BD ，所以 AC SBD 平 面 ,得 AC SD . ( )设正方形边长 a ， 则 2SD a 。 又 22OD a ，所以 060SOD, 连 OP ，由（）知 AC SBD 平 面 ,所以 AC OP , w. w. w. k.s5. u. c. o. m 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 9 - 且 AC OD ,所以 POD 是二面角 P AC D的平面角。 由 SD PAC平 面 ,知 SD OP ,所以 030POD, 即二面角 P AC D的大小为 030 。 （）在棱 SC 上存在一点 E，使 /BE P
20、AC平 面 由（）可得 24PD a ，故可在 SP 上取一点 N ,使 PN PD ,过 N 作 PC 的平行线与 SC 的交点 即为 E 。连 BN。在 BDN 中知 /BN PO ，又由于 /NE PC , 故平面/BEN PAC平 面 ，得 /BE PAC平 面 ,由于 21SN NP： ： ,故 21SE EC： ： . 解法二： （）；连 BD ,设 AC 交于 BD 于 O ，由题意知 SO ABCD 平 面 .以 O 为坐标原点， OBOCOS， ， 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，建立坐标系 O xyz 如图。 设底面边长为 a ，则高 62SO a 。 于是 62
21、( 0 , 0 , ), ( , 0 , 0 )22S a D a 2(0, ,0)2Ca 2(0, , 0)2OC a 26( , 0 , )22SD a a 0OC SD w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 故 OC SD 从而 AC SD ( )由题设知，平面 PAC 的一个法向量 26( , 0, )22DS a a ，平面 DAC 的一个法向量 6)0,0, )2OS a ，设所求二面角为 ，则 3cos2OS DSOS DS ,所求二 面角的大小为 030 高考资源网（ ） 您身边的高考专家 版权所有 高考资源 网 - 10 - （）在棱 SC 上存在一点 E 使 /B
22、E PAC平 面 . 由（）知 DS 是平面 PAC 的一个法向量， 且 2 6 2 6, 0 , ) , ( 0 , , )2 2 2 2D S a a C S a a （ 设 ,CE tCS w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 则 2 2 6( , ( 1 ) , )2 2 2B E B C C E B C t C S a a t a t 而 10 3BE DC t 即当 : 2:1SE EC 时， BE DS 而 BE 不在平面 PAC 内，故 /BE PAC平 面 （ 20）解 : ( )设椭圆长半轴长及半焦距分别为 ac， ，由已知得 1 , 4 , 37ac acac 解
23、 得 ， w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 所以椭圆 C 的标准方程为 22116 7xy （）设 ( , )Mxy ，其中 4,4x 。由已知 2 22OPOM 及点 P 在椭圆 C 上可得 2 2229 11216( )xxy 。 整理得 2 2 2 2(1 6 9 ) 1 6 1 1 2xy ，其中 4,4x 。 （ i） 34 时。化简得 29 112y w. w. w. k.s.5.u.c.o.m 所以点 M 的轨迹方程为 47 ( 4 4)3yx ，轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 （ ii） 34 时，方程变形为 22221112 11216 9 16xy，其中 4,4x
