1、动态几何与函数问题 【前言】 在第三讲中我们已经研究了动态几何问题的一般思路，但是那时候没有对其中夹杂的函数问题展开来分析。整体说来，代几综合题大概有两个侧重，第一个是侧重几何方面，利用几何图形的性质结合代数知识来考察。而另一个则是侧重代数方面，几何性质只是一个引入点，更多的考察了考生的计算功夫。但是这两种侧重也没有很严格的分野，很多题型都很类似。所以相比昨天第七讲的问题，这一讲将重点放在了对函数，方程的应用上。其中通过图中已给几何图形构建函数是重点考察对象。不过从近年北京中考的趋势上看，要求所构建的函数为 很复杂的二次函数可能性略小，大多是一个较为简单的函数式，体现了中考数学的考试说明当中“
2、减少复杂性”“增大灵活性”的主体思想。但是这也不能放松，所以笔者也选择了一些较有代表性的复杂计算题仅供参考。 【例 1】 如图 所示，直角梯形 OABC 的顶点 A、 C 分别在 y 轴正半轴与 x 轴负半轴上 .过点 B、C 作直线 l .将直线 l 平移，平移后的直线 l 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点 E. （ 1）将直线 l 向右平移，设平移距离 CD 为 t （ t0），直角梯形 OABC 被直线 l 扫过的面积（图中阴影部份）为 s ， s 关于 t 的函数图象如图 所示， OM 为线 段， MN 为抛物线的一部分， NQ 为射线，且 NQ 平行于 x 轴， N 点横坐标为
3、 4，求梯形上底 AB 的长及直角梯形 OABC 的面积 . （ 2）当 24t 时，求 S 关于 t 的函数解析式 . 【思路分析】本题虽然不难，但是非常考验考生对于函数图像的理解。很多考生看到图二的函数图像没有数学感觉，反应不上来那个 M 点是何含义，于是无从下手。其实 M 点就表示当平移距离为 2 的时候整个阴影部分面积为 8，相对的， N 点表示移动距离超过 4 之后阴影部分面积就不动了。脑中模拟一 下就能想到阴影面积固定就是当 D 移动过了 0 点的时候 .所以根据这么几种情况去作答就可以了。第二问建立函数式则需要看出当 24t 时，阴影部分面积就是整个梯形面积减去 ODE 的面积，
4、于是根据这个构造函数式即可。动态几何连带函数的问题往往需要找出图形的移动与函数的变化之间的对应关系，然后利用对应关系去分段求解。 【解】 （ 1）由图（ 2）知， M 点的坐标是（ 2， 8） 由此判断： 24AB OA， ； N 点的横坐标是 4， NQ 是平行于 x 轴的射线， 4CO 直角梯形 OABC 的面积为： 11 2 4 4 1 222A B O C O A . (3 分 ) （ 2）当 24t 时， 阴影部分的面积 =直角梯形 OABC 的面积 ODE 的面积 (基本上实际考试中碰到这种求怪异图形面积的都要先想是不是和题中所给特殊图形有割补关系 ) 112 2S OD OE 1
5、 42OD OD tOE ， 24OE t . 211 2 2 4 4 1 2 42S t t t 2 84S t t . 【例 2】 已知：在矩形 AOBC 中， 4OB ， 3OA 分别以 OB OA， 所在直线为 x 轴和 y 轴，建立如图所示的 平面直角坐标系 F 是边 BC 上的一个动点（不与 BC， 重合），过 F 点的反比例函数 ( 0)kykx的图象与 AC 边交于点 E （ 1）求证： AOE 与 BOF 的面积相等； （ 2）记 OEF ECFS S S ，求当 k 为何值时， S 有最大值，最大值为多少？ （ 3）请探索：是否存在这样的点 F ，使得将 CEF 沿 EF
6、对折后， C 点恰好落在 OB上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由 【思路分析】本题看似几何问题，但是实际上 AOE 和 FOB 这两个直角三角形的底边和高恰好就是 E,F 点的横坐标和纵坐标，而这个乘积恰好就是反比例函数的系数 K。所以直接设点即可轻松证出结果。第二问有些同学可能依然纠结这个 EOF 的面积该怎么算，事实上从 第一问的结果就可以发现这个矩形中的三个 RT面积都是异常好求的。于是利用矩形面积减去三个小 RT面积即可，经过一系列化简即可求得表达式，利用对称轴求出最大值。第三问的思路就是假设这个点存在，看看能不能证明出来。因为是翻折问题，翻折之后大量相等的角和边 ,
7、所以自然去利用三角形相似去求解，于是变成一道比较典型的几何题目，做垂线就 OK. 【解析】 （ 1）证明：设 11()E x y， ， 22()F x y， ， AOE 与 FOB 的面积分别为 1S ， 2S ， 由题意得1 1ky x，2 2ky x 1 1 11122S x y k ，2 2 21122S x y k 12SS，即 AOE 与 FOB 的面积相等 （ 2）由题意知： EF， 两点坐标分别为 33kE， ， 4 4kF， ， (想不到这样设点也可以直接用 X 去代入 ,麻烦一点而已 ) 1 1 1 1432 2 3 4E C FS E C C F k k ， 111 2 1
8、 222E O F A O E B O F E C F E C F E C FA O B CS S S S S k k S k S 矩 形1 1 11 2 2 1 2 2 4 32 3 4O E F E C F E C FS S S k S k k k 2112S k k 当 1 61212k 时， S 有最大值 1 31412S 最 大 值 （ 3）解：设存在这样的点 F ，将 CEF 沿 EF 对折后， C 点恰好落在 OB 边上的 M点，过点 E 作 EN OB ，垂足为 N 由题意得： 3EN AO， 14 3E M E C k ， 13 4M F C F k ， 90E M N F
9、M B F M B M F B ， EM N M FB 又 90E N M M B F ， E N M M B F (将已知和所求的量放在这一对有关联的三角形当中 ) EN EMMB MF ，11 4143 1231 13 314 12kkMB k k ， 94MB 2 2 2MB BF MF， 2 2 29134 4 4k k ，解得 218k 214 32kBF 存在符合条件的点 F ，它的坐标为 21432， 【例 3】 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， C 90， BC 16， DC 12， AD 21。动A B M C D P Q 图 1 点 P 从点 D 出发，沿射线
10、 DA 的方向以每秒 2 两个单位长的速度运动，动点 Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每 秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，点 P， Q 分别从点 D， C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动。设运动的时间为 t（秒）。 （ 1）设 BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系式； （ 2）当 t 为何值时，以 B， P， Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？ （ 3）是否存在时刻 t，使得 PQ BD？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由。 【思路分析】 本题是一道和一元二次方程结合较为紧密的代几综合题，大量时间都在计算上。第三讲的时候我们已
11、经探讨过解决动点问题的思路就是看运动过程中哪些量发生了变化，哪些 量没有变化。对于该题来说，当 P,Q 运动时， BPQ 的高的长度始终不变，即为 CD 长，所以只需关注变化的底边 BQ 即可，于是列出函数式。第二问则要分类讨论，牢牢把握住高不变这个条件，通过勾股定理建立方程去求解。第三问很多同学画出图形以后就不知如何下手，此时不要忘记这个题目中贯穿始终的不动量 高，过 Q 做出垂线以后就发现利用角度互余关系就可以证明 PEQ 和 BCD 是相似的，于是建立两个直角三角形直角边的比例关系，而这之中只有 PE 是未知的，于是得解。 这道题放在这里是想让各位体会一下那个不动量高的作用，每一小问都和
12、它休 戚相关，利用这个不变的高区建立函数，建立方程组乃至比例关系才能拿到全分。 【解析】 解： （ 1）如图 1，过点 P 作 PM BC，垂足为 M，则四边形 PDCM 为矩形。 PM DC 12 QB 16 t， S 12 12 (16 t) 96 t （ 2）由图可知： CM PD 2t， CQ t。热以 B、 P、 Q 三点 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况。 若 PQ BQ。在 Rt PMQ 中， 2 2 212PQ t ，由 PQ2 BQ2 得 2 2 212 (16 )tt ，解得 t 72 ； 若 BP BQ。在 Rt PMB 中， 2 2 2(1 6 2 ) 1 2
13、B P t 。由 BP2 BQ2 得： 2 2 2(1 6 2 ) 1 2 (1 6 )tt 即 23 32 144 0tt 。 由于 704 0 23 32 144 0tt 无解， PB BQ 若 PB PQ。由 PB2 PQ2，得 2 2 2 21 2 (1 6 2 ) 1 2tt 整理，得 23 64 256 0tt 。解得1216 163tt，（舍）（想想看为什么要舍？函数自变量的取值范围是多少？） 综合上面的讨论可知：当 t 7 1623t 秒 或 秒时，以 B、 P、 Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形。 （ 3）设存在时刻 t，使得 PQ BD。如图 2，过点 Q 作 QE AD
14、S，垂足为 E。由 RtBDC Rt QPE， 得 DC PEBC EQ ，即 1216 12t 。解得 t 9 所以，当 t 9 秒时， PQ BD。 【例 4】 在 Rt ABC 中， C=90， AC = 3， AB = 5点 P 从点 C 出发沿 CA 以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回；点 Q 从点 A 出发沿AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动伴随着 P、 Q 的运动， DE 保持垂直平分 PQ，且交 PQ 于点 D，交折线 QB-BC-CP 于点 E点 P、 Q 同时出发，当点 Q 到达点 B 时停止运动，点
15、P 也随之停止设点 P、 Q 运动的时间是 t 秒（ t 0） （ 1）当 t = 2 时， AP = ，点 Q 到 AC 的距离是 ； （ 2）在点 P 从 C 向 A 运动的过程中，求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式；（不必写出 t 的取值范围） （ 3）在点 E 从 B 向 C 运动的过程中，四边形 QBED 能否成 为直角梯形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由； （ 4）当 DE 经过点 C 时，请直接写出 t 的值 P A E D C Q B O 图 2 A C B P Q E D 【思路分析】依然是一道放在几何图形当中的函数题。但是本题略有不同的是动点有一个折返的动作
16、，所以加大了思考的难度 ,但是这个条件基本不影响做题 ,不需要太专注于其上。首先应当注意到的 是在运动过程中 DE 保持垂直平分 PQ 这一条件，然后判断 t 可能的范围 .因为给出了 AC 和 CB的长度 ,据此估计出运动可能呈现的状态 .第一问简单不用多说 ,第二问做出垂线利用三角形内的比例关系做出函数 .第三问尤其注意直角梯形在本题中有两种呈现方式 .DE/QB 和 PQ/BC 都要分情况讨论 .最后一问则可以直接利用勾股定理或者 AQ,BQ 的等量关系去求解 . 解：（ 1） 1， 85 ； （ 2）作 QF AC 于点 F，如图 3， AQ = CP= t， 3AP t 由 AQF
17、ABC， 225 3 4BC ， 得 45QF t 45QF t 14(3 )25S t t ， 即 22655S t t （ 3）能 当 DE QB 时，如图 4 DE PQ， PQ QB，四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP=90 由 APQ ABC，得 AQ APAC AB ， 即 335tt 解得 98t 如图 5，当 PQ BC 时， DE BC，四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ =90 由 AQP ABC，得 AQ APAB AC ， 即 353tt 解得 158t （ 4） 52t 或 4514t 【注： 点 P 由 C 向 A 运动， DE 经过点 C 方法一、
18、连接 QC，作 QG BC 于点 G，如图 6 A C B P Q E D 图 4 A C ) B P Q D 图 3 E ) F A C B P Q E D 图 5 A C(E) ) B P Q D 图 6 G PCt ， 2 2 2QC QG CG 2234 (5 ) 4 (5 )55tt 由 22PC QC ，得 2 2 234 ( 5 ) 4 ( 5 ) 55t t t ，解得 52t 方法二、由 CQ CP AQ，得 QAC QCA ，进而可得 B BCQ ，得 CQ BQ ， 52AQ BQ 52t 点 P 由 A 向 C 运动， DE 经过点 C，如图 7 2 2 234(6 )
19、 ( 5 ) 4 ( 5 ) 55t t t ， 4514t 【例 5】 如图，在 Rt ABC 中， 90A ， 6AB ， 8AC ， DE， 分别是边 AB AC， 的中点，点 P 从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ BC 于 Q ，过点 Q 作 QR BA 交AC 于 R ，当 点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动设 BQ x ， QR y （ 1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； （ 2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （ 3）是否存在点 P ，使 PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值；若不存在，
20、请说明理由 【思路分析】本题也是一道较为典型的题。第一问其实就是重要暗示，算 DH 的长度实际上就是后面 PQ 的长度，在 构建等腰三角形中发挥重要作用。算 DH 的方法很多，不用累述。第二问列函数式，最重要的是找到 y(QR)和 x(BQ)要通过哪些量练联系在一起 .我们发现RQ 和 QC所在的 QRC 和 BAC 是相似的 ,于是建立起比例关系得出结果 .第三问依然是要分类讨论 ,但凡看到构成特殊图形的情况都要去讨论一下 .不同类之间的解法也有所不同 ,需要注意一下 . A C(E) ) B P Q D 图 7 G A B C D E R P H Q 解：（ 1） RtA ， 6AB ，
21、8AC ， 10BC 点 D 为 AB 中点， 1 32BD AB 90D H B A ， BB BH D BAC ， DH BDAC BC， 3 1 281 0 5BDD H A CBC （ 2） QR AB ， 90Q R C A CC ， R Q C A B C ， RQ QCAB BC， 106 10yx ， 即 y 关于 x 的函数关系式为： 3 65yx （ 3）存在，分三种情况： 当 PQ PR 时，过点 P 作 PM QR 于 M ，则 QM RM 1 2 90 ， 2 90C ， 1 C 84c o s 1 c o s 1 0 5C ， 45QMQP， 13 642512 5
22、5x， 185x 当 PQ RQ 时， 3 12655x ， 6x 当 PR QR 时，则 R 为 PQ 中垂线上的点， 于是点 R 为 EC 的中点， 11 224C R C E A C tan Q R B AC C R C A， A B C D E R P H Q M 2 1 A B C D E R P H Q A B C D E R P H Q 3 6 6528x， 152x 综上所述，当 x 为 185 或 6 或 152 时， PQR 为等腰三角形 【总结】通过以上的例题，大家心里大概都有了底。整体来说这类函数型动态几何题是偏难的，不光对几何图形的分析有一定要求，而且还很考验考生的方
23、程、函数的计算能力。解决这类问题需要注意这么几个点：首先和纯动态几何题 一样，始终把握在变化中不动的量将函数的变量放在同一组关系中建立联系 ,尤其是找出题中是否有可以将这些条件联系起来的相似三角形组来构造比例关系。其次要注意特殊图形如等腰三角形，直角梯形等的分类讨论。第三要注意函数自变量的取值范围，合理筛选出可能的情况。最后就是在计算环节认真细心，做好每一步。 第二部分 发散思考 【思考 1】 如图所示，菱形 ABCD 的边长为 6 厘米， 60B 从初始时刻开始，点 P 、 Q 同时从 A 点出发，点 P 以 1 厘米 /秒的速度沿 A C B的方向运动，点 Q 以 2 厘米 /秒的速度沿 A B C D 的方向运动，当点 Q 运动到 D 点时， P 、 Q 两点同时停 止运动，设P 、 Q 运动的时间为 x 秒时， APQ 与 ABC 重叠部分的面积为 y 平方厘米（这里规定：点和线段是面积为 O 的三角形），解答下列问题： （ 1）点 P 、 Q 从出发到相遇所用时间是 秒； （ 2）点 P 、 Q 从开始运动到停止的过程中，当 APQ 是等边三角形时 x 的值是 秒； （ 3）求 y 与 x 之间的函数关系式 【思路分析】此题一二问不用多说，第三问是比较少见的分段函数。需要将 x 运动分成P Q A B C D
