1、一元一次方程知识要点解析一、一元一次方程构成要素：1、是等式；2、含有未知数，且只能是一个；3、未知数的次数有且为“1”(一次整式)，且次数不为“0” ；二、一元一次方程的基本形式： ax = b三、一元方程的解： 使方程中等号左右两边相等的未知数的值四、解方程的理论依据：等式的基本性质：性质（1）：等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子） ，结果仍相等用式子形式表示为：如果 a b，那么 ac=bc；性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等用式子形式表示为：如果 a=b 那么 ac bc， ac bc（ c0） ；五、解一元一次方程的基本步骤：变形步骤 具 体
2、 方 法变 形 根 据 注 意 事 项去分母方程两边都乘以各个分母的最小公倍数等式性质 21不能漏乘不含分母的项；2分数线起到括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，则要加括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号乘法分配律、去括号法则1分配律应满足分配到每一项2注意符号，特别是去掉括号移 项把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边等式性质 11移项要变号；2一般把含有未知数的项移到方程左边，其余项移到右边合并同类 项把方程中的同类项分别合并，化成“ ”的形式（bax）0合并同类项法则合并同类项时，把同类项的系数相加，字母与字母的指数不变未知数的系数化成“1”方程两边同除
3、以未知数的系数 ，a得 x等式性质 2 分子、分母不能颠倒注意：我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤) 地解方程，又要善于认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，随机应变(灵活打乱步骤)解方程，能达到事半功倍的效果。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。解一元一次方程常用的技巧有：1）有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行2）当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母3）当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数4）运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形六、实际问题与一元一次方程1、用一
4、元一次方程解决实际问题的一般步骤是：1）审题，搞清已知量和待求量，分析数量关系. （ 审题，寻找等量关系）2）根据数量关系与解题需要设出未知数，建立方程；3）解方程；4) 检查和反思解题过程，检验答案的正确性以及是否符合题意并作答2、用一元一次方程解决实际问题的典型类型1）数字问题：数的表示方法：一个三位数的百位数字为 a，十位数字是 b，个位数字为 c 则这个三位数表示为： abc， 10bc（其中 a、 b、 c 均为整数，且 1 a9，0 b9，0 c9）：用一个字母表示连续的自然数、奇数、偶数等规律数2）和、差、倍、分问题：关键词是“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率，
5、哪个量比哪个量”3）工程问题：工作总量工作效率工作时间，注意产品配套问题；4）行程问题：路程速度时间5）利润问题：商品利润=商品售价商品成本价=商品利润率商品成本价商品售价=商品成本价（1+利润率）6）利息问题：顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的单位时间数叫做期数，利息与本金的比叫做利率利息的 20%付利息税利息本金利率期数，本息和本金利息，利息税利息税率（20%） 7）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式，注意等积变形；8）优化方案问题9）浓度问题：溶液浓度=溶质10）盈亏问题：关键从盈（过剩） 、亏（不足）两个角度把握事物
6、的总量11）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的12）增长率问题：原量（1增长率）=增长后的量，原量（1减少率）=减少后的量七、 、思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）1）建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立方程的思想2）方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想. 3）化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为 1 等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为 x=a 的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想. 4）数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段
7、示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性. 5）分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用. 一元一次方程 一、本节学习指导本节我们要掌握一元一次方程的解法，需要多做一些练习题，本节有配套学习视频。二、知识要点1、一元一次方程（1） 、含有未知数的等式是方程。（2） 、只含有一个未知数（元） ，未知数的次数都是 1 的方程叫做一元一次方程。（3)、分析实际问题中的数量关系，利用其中的等量关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。（4)、列方程解
8、决实际问题的步骤：设未知数；找等量关系列方程。（5） 、求出使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。（6） 、求方程的解的过程，叫做解方程。2、等式的性质（1） 、用等号“=”表示相等关系的式子叫做等式。（2） 、等式的性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子） ，结果仍相等。如果 a=b，那么 ac=bc.（3） 、等式的性质 2：等式两边乘同一个数，或除以一个不为 0 的数，结果仍相等。如果 a=b，那么 ac=bc;如果 a=b 且 c0，那么 .cba（4） 、运用等式的性质时要注意三点：等式两边都要参加运算，并且是作同一种运算；等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数
9、或同一个式子；等式两边不能都除以 0，即 0 不能作除数或分母。2、解一元一次方程合并同类项与移项（1） 、合并同类项的依据：乘法分配律。合并同类项的作用：是一种恒等变形，起到“化简”的作用，它使方程变得简单，更接近 x=a（a 是常数）的形式。（2） 、把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。（3）.移项依据：等式的性质 1.移项的作用：通过移项，使含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边，使方程更接近于 x=a（a 是常数）的形式。3、解一元一次方程去括号与去分母（1） 、方程两边都乘以各分母的最小公倍数，使方程不在含有分母，这样的变形叫做去分母。（2） 、顺流速度=静水速度+水流速度
10、；逆流速度=静水速度-水流速度。（3） 、工作总量=工作效率工作时间。（4） 、工作量=人均效率人数时间。4、实际问题与一元一次方程（1） 、售价指商品卖出去时的的实际售价。（2） 、进价指的是商家从批发部或厂家批发来的价格。进价指商品的买入价，也称成本价。（3） 、标价指的是商家所标出的每件物品的原价。它与售价不同，它指的是原价。（4） 、打折指的是原价乘以十分之几或百分之几，则称将标价打了几折。（5） 、盈亏问题：利润=售价成本； 售价=进价+利润；售价=进价+进价利润率；（6） 、产油量=油菜籽亩产量含油率种植面积。（7） 、应用：行程问题：路程=时间速度； 工程问题：工作总量=工作效率
11、时间；储蓄利润问题：利息=本金利率时间； 本息和=本金+利息。三、经验之谈：解一元一次方程过程中，在去括号、去分母时要格外细心。去分母时等式两边都要乘以公倍数。第一节 一次函数基本概念1、方程：含 的等式叫做方程.2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的 ，就是方程的解。3、解 方 程：求 的过程叫做解方程。4、一元一次方程只含有一个未知数（元） ，未知数的最高次数是 1 的整式方程叫做一元一次方程。5、等式的基本性质等式的性质 1：等式的两边同时加（或减） （ ） ，结果仍相等。即：如果 a=b，那么 ac=b 。等式的性质 2：等式的两边同时乘 ，或除以 数，结果仍相等。即：如果 a=b，
12、那么 ac =bc ； 或 如果 a=b（ ） ，那么 a/c =b/c6、分数的基本的性质分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。即： = = （其中 m0）m求解： =1.65.03x2.41、若(a1)x |a|36 是关于 x 的一元一次方程，则 a；x。2、当 x=时，单项式 5a2x+1b2 与 8ax+3b2 是同类项。3、若 ，则 x+y=_02yx1.若 。 yx则,)5(2.若 是同类项，则 m= ，n= 。31392babnmn与3.若 的和为 0，则 m-n+3p = 。2yxp与4.代数式 x+6 与 3(x+2)的值互为相反数，则 x 的值
13、为 。5.若 与 互为倒数，则 x= 。34566.方程 ，去分母可变形为。x12价7.代数式 5m 与 5(m )的值互为相反数，则 m 的值等于。48.如果 x=5 是方程 ax+5=104a 的解，那么 a=9.方程 的解是 _3xx10 当 x= 时，代数式 与代数式 的值相等28x11.代数式 与 互为相反数，则 12aa第二节 一元一次函数的解法【解一元一次方程的一般步骤步骤 名 称 方 法 依 据 注 意 事 项1去分母在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）等式性质 21、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是
14、多项式的一定要先用括号括起来。2去括号去括号法则（可先分配再去括号） 乘法分配律注意正确的去掉括号前带负数的括号3 移项把未知项移到议程的一边（左边） ，常数项移到另一边（右边）等式性质 1 移项一定要改变符号4合并 同类项分别将未知项的系数相加、常数项相加1、整式的加减；2、有理数的加法法则单独的一个未知数的系数为“1”5系数化为“1在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）等式性质 2不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数分母）*6 检根 x=a方法：把 x=a 分别代入原方程的两边，分别计算出结果。 若 左边右边，则 x=a 是方程的解； 若 左边右边，则 x
15、=a 不是方程的解。注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。1、 2、8(3x1)9(5x11)2(2x7)=301426032xx3、 4、 5、(+)5()=价 x1.50.812x. 122()(1)3xx说明：1 上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；2 解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；3 对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。第三节 一元一次方程与应用问题及实际问题初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系1、行程问题基本量及关系：路程=速度时间 时间=时 间
16、路 程速 度 速 度路 程典型问题相遇问题中的相等关系：一个的行程+另一个的行程= 两者之间的距离追及问题中的相等关系：追及者的行程被追者的行程=相距的路程顺（逆）风（水）行驶问题 顺速=V 静 风（水）速 逆速=V 静 风（水）速2、销售问题基 本 量：成本（进价） 、售价（实售价） 、利润（亏损额） 、利润率（亏损率）基本关系：利润=售价成本、亏损额= 成本售价、 、成 本利 润利 润 率 成 本亏 损 额亏 损 率 利润=成本 利润率 亏损额= 成本亏损率3、工程问题基本量及关系：工作总量=工作效率 工作时间、工 作 效 率工 作 总 量工 作 时 间 工 作 时 间工 作 总 量工 作
17、 效 率 4、分配型问题此问题中一般存在不变量，而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要 4 小时，逆风需要 4.5 小时；测得风速为 45 千米/时，求两城之间的距离。2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为 60 元，八折出售后，商家所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？3、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出 1000 张门票，已知成人票每张 8元，学生票每张 5 元，共得票款 6950 元，成人票和学生票各几张？4、甲、乙两个水池共蓄水 50t,甲池用去 5t，乙池又注入 8
18、t 后，甲池的水比乙池的水少 3t，问原来甲、乙两个水池各有多少吨水？5、今年哥俩的岁数加起来是 55 岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？典型题列1、 取何值时，代数式 与 的值相等.x63x822、已知方程 的解与方程 的解相同，求 m 的值.10453、解下列方程|x2|+|2x+1|8 5|x|163|x|420912094321xxx 2019126n4、已知：(a3)(2a5)x(a3)y60 是一元一次方程，求 a 的值。5、已知 是关于 x 的方程 的解，求 的值.1x32750xk2195k6、如果 ，则 的值.0
19、122yx2xy7、已知有理数 x、y、z 满足关系式(x-4)+ |x+yz|=0,判断（5x+3y3z） 2001的个位数是多少？8、一个 6 位数 2abcde 的 3 倍等于 abcde9,则这个 6 位数是多少？9、已知 p、q 都是质数，并且以 x 为未知数的方程 px+5q=97 的解为 1，求代数式 40p+101q+4 的值。10、阅读短文：利用列方程可将循环小数化为分数，如求0.5 ？方法是：设x0.5，即x0.555，将方程两边同乘以10，得10x5.55，即10x50.555，而x0.55，x .95试根据上述方法： 把 0.9 与 0.25 化为分数.11、有一个两位
20、数，它的十位数字与个位数字的和为 8，并且这个两位数除以十位数字与个位数字的差，所得到的商为 11，余数为 5， ，这个数是多少？12、甲对已说“当我是你现在的年龄时，你才 4 岁”已对甲说“当我是你现在的年龄时，你已经 61 岁”问甲乙现在的年龄是多少岁？13、一个三位数，它的百位上的数字比十位上的数字的 2 倍大 1，个位上的数字比十位上的数字的 3 倍小1，若这个三位数的百位数字与个位数字对调，那么得到的三位数比原来的数大 99，求原来的三位数。14、某幼儿园小班共有儿童若干人，有一筐桔子要分给这些儿童。如果每人分 6 个，则还差 6 个桔子；如果每人分 5 个，则多出了 5 个桔子，问
21、有多少个儿童，多少个桔子？15、为了促销，甲、乙两种商品降价出售，甲种商品七折优惠，乙种商品九折优惠，共卖出 386 元；这两种商品促销前售价之和为 500 元。问这两种商品原售价分别为多少元？16、一个车间有工人 70 人，每人平均每天加工轴杆 15 根或轴承 12 个，问应怎样分配工人，才使所生产的轴杆和轴承刚好配套？（一个轴杆，两个轴承配成一套） 7、某班学生到农村劳动，一名男生因病不能参加，另三名男生体质较弱，教师安排他们与女生一起抬土，其余男生全部挑土（一根扁担，两个筐） ，这样安排劳动时恰需筐 68 个，扁担 40 根，问这个班男女生各多少人？、18、甲乙二人，若乙给甲 10 元，则甲所有的钱为乙的 3 倍，若甲给乙 10 元，则甲所有的钱为乙的 2 倍多10 元，求甲乙各拥有多少钱？19、阿木和阿海做加法，阿木将加数后面多写一个 0，所得的和是 2342；阿海将同一个加数后面少写一个0，所得的和是 65；试求原来的加数。20、甲、乙二人相距 6km，二人同向而行，甲 3 小时可追上乙；相向而行，1 小时相遇。二人的平均速度各是多少？21、某校师生到甲、乙两个工厂参加劳动，如果从甲厂抽 9 人到乙厂，则两厂的人数相同；如果从乙厂抽 5人到甲厂，则甲厂的人数是乙厂的 2 倍，到两个工厂的人数各是多少？
