1、1抛物线与不等式一选择题1 （2014南宁）如图，已知二次函数 y=x2+2x，当 1x a 时，y 随 x 的增大而增大，则实数 a 的取值范围是（ ）Aa1 B 1 a1Ca0 D 1 a2(1) (2) (3)2 （2014黄石）二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图，则函数值 y0 时，x 的取值范围是（ ）A x1Bx3 C 1 x 3D x1 或 x33 （2014义乌市）如图是二次函数 y=x2+2x+4 的图象，使 y1 成立的 x 的取值范围是（ ）A 1x3B x1Cx1 D x1 或 x34 （2013槐荫区二模）如图，直线 y=x 与抛物线 y=x2x3 交
2、于 A、B 两点，点 P 是抛物线上的一个动点，过点 P作直线 PQx 轴，交直线 y=x 于点 Q，设点 P 的横坐标为 m，则线段 PQ 的长度随 m 的增大而减小时 m 的取值范围是（ ）Ax1 或 x Bx1 或 x 3C x1 或 x3D x1 或1x32(4) (5) （6）5 （2012石家庄二模）如图，一次函数 y1=mx+n（m 0）与二次函数 y2=ax2+bx+c（a 0）的图象相交于两点A（1， 5） 、B（9，3） ，请你根据图象写出使 y1y2 成立的 x 的取值范围（ ）A 1x9B 1x9C 1 x9D x1 或 x9二解答题6 （2013香洲区二模）先阅读理解
3、下面的例题，再按要求解答后面的问题例题：解一元二次不等式 x23x+20解：令 y=x23x+2，画出 y=x23x+2 如图所示，由图象可知：当 x1 或 x2 时，y0所以一元二次不等式x23x+20 的解集为 x1 或 x2填空：（1）x 23x+20 的解集为 _ ；（2）x 210 的解集为 _ ；用类似的方法解一元二次不等式x 25x+607（2010淮北模拟）如图，直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 都经过点A（1，0） ，B（3，2） （1）求 m 的值和抛物线的解析式；（2）求不等式 x2+bx+cx+m 的解集 （直接写出答案）38 （2005滨州） （）请将下
4、表补充完整；判别式=b24ac0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根有两个不相等的实数根x1= ，x2= ，（x 1x 2）有两个相等的实数根x1=x2=无实数根使 y0 的 x 的取值范围xx 1 或 xx 2不等式ax2+bx+c0（a 0）的解集x不等式ax2+bx+c0（a 0）的解集（）利用你在填上表时获得的结论，解不等式x 22x+30；（）利用你在填上表时获得的结论，试写出一个解集为全体实数的一元二次不等式；（）试写出利用你在填上表时获得的结论解一元二次不等式 ax2+bx+c0（a0）时的解题步骤9已知二次函数 y=
5、ax2+bx+c（a，b，c 均为实数且 a0）满足条件：对任意实数 x 都有 y2x；且当 0x2 时，总有 y 成立 （1）求 a+b+c 的值；（2）求 ab+c 的取值范围10已知函数 y=x22x3 的图象，根据图象回答下列问题4（1）当 x 取何值时 y=0（2）方程 x22x3=0 的解是什么？（3）当 x 取何值时，y0？当 x 取何值时，y0？（4）不等式 x22x30 的解集是什么？11 （2008株洲）如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，2） ，点 B 的坐标为（3， 1） ，二次函数y=x2 的图象为 l1（1）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过点 A
6、，但不过点 B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可） ；（2）平移抛物线 l1，使平移后的抛物线过 A、B 两点，记抛物线为 l2，如图 2，求抛物线 l2 的函数解析式及顶点C 的坐标；（3）设 P 为 y 轴上一点，且 SABC=SABP，求点 P 的坐标；（4）请在图 2 上用尺规作图的方式探究抛物线 l2 上是否存在点 Q，使QAB 为等腰三角形？若存在，请判断点Q 共有几个可能的位置（保留作图痕迹） ；若不存在，请说明理由12把抛物线 y=x2 向右、向下平移，使它经过点 A（1，0）且与 x 轴的另一个交点 B 在 A 的右侧，与 y 轴交于点C，如图所示5（1）求ABC
7、 的度数；（2）设 D 是平移后抛物线的顶点，若 BDBC，试确定平移的方法13把抛物线 y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，问所得的抛物线与 x 轴有没有交点，若有，求出交点坐标；若没有，说明理由14 （2014南安市一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA、OC 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，OA=4， OC=2点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，当点 P 到达点 A 时停止运动，设点 P 运动的时间是 t 秒将线段 CP 的中点绕点 P 按顺时针方向旋转 90得点 D，点 D 随
8、点 P 的运动而运动，连接 DP、DA（1）请用含 t 的代数式表示出点 D 的坐标；（2）求 t 为何值时，DPA 的面积最大，最大为多少？（3）在点 P 从 O 向 A 运动的过程中，DPA 能否成为直角三角形？若能，求 t 的值若不能，请说明理由；（4）请直接写出随着点 P 的运动，点 D 运动路线的长615如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，AB=AD=DC=4 厘米，BC=8 厘米，在等腰PQR 中，QPR=120，底边QR=12 厘米，点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上，且 C、Q 两点重合如果等腰PQR 以 2 厘米/秒的速度沿直线 l按箭头所示方向匀速运动，t 秒时梯形
9、ABCD 与等腰 PQR 重合部分的面积记为 S 平方厘米（1）当 t=2 时，求 S 的值；（2）当 6t10 时，求 S 与 t 的函数关系式，并求出 S 的最大值16如图，在矩形 ABCD 中，B（16，12） ，E、F 分别是 OC、BC 上的动点，EC+CF=8当 F 运动到什么位置时， AEF 的面积最小，最小为多少？7抛物线与不等式参考答案与试题解析1B 2D 3D 4D 5A 二解答题6 解：（1）解 x23x+2=0 得 x1=1，x 2=2，所以，不等式 x23x+20 的解集为 1x2；（2）解 x21=0 得，x 1=1，x 2=1，所以，不等式 x210 的解集为 x
10、 1 或 x1；令 y=x25x+6，解x25x+6=0 得，x 1=6，x 2=1，所以一元二次不等式x 25x+60 的解集为 6x1故答案为：（1）1x2；（2）x1 或 x17 解：（1）把点 A（1，0） ，B（3，2）分别代入直线 y=x+m 和抛物线 y=x2+bx+c 得：0=1+m， ，m=1，b=3，c=2，所以 y=x1，y=x 23x+2；（2）x 23x+2x1，解得：x1 或 x38 解：（）判别式=b24ac0 =0 0二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象一元二次方程ax2+bx+c=0（a 0）的根使 y0 的 x 的取值范围 x 全体实数不等式 ax2+
11、bx+c0（a 0）的解集xx 1 或 xx 2 全体实数不等式 ax2+bx+c0（a 0）的解集x1xx 2 无解 无解（）由原不等式，得 x2+2x30，=4+12 0，解方程 x2+2x3=0，得不相等的两个实数根分别为x1=3， x2=1，a=10， 原不等式的解集为： x3 或 x1；（若画出函数 y=x2+2x3 的图象，并标出与x 轴的交点坐标而得解集的，同样可以）（）如 x2+x+10 等， （只要写出满足要求的一个一元二次不等式即可） ；（） （1）先把二次项系数化为正数；（2）求判别式的值；（3）求方程 ax2+bx+c=0 的实数根；（4）写出一元二次不等式的解集9 解
12、：（1）由题意可知对任意实数 x 都有 y2x，当 x=1 时，y 2；且当 0x2 时，总有 y成立，故当 x=1，y2，当 x=1 时，y=2 ，故二次函数 y=ax2+bx+c 经过（1，2）点，a+b+c=2；8（2）ax 2+bx+c2x，ax 2+（b 2）x+c0，由（1）知 b=2ac，代入得=（a+c） 24ac0， （a c） 20，所以 c=a，b=22a 再列得 ax2+bx+c （x+1） 2，把 c=a，b=22a 代入可得 （a ）x 22（a ）x+a 0， （a ） （x1） 20， 因为 0x2， （x1）0，故 a 根据图象法可得此抛物线要永远在 y=2x
13、 这条一次函数上方满足 a0综上所述，a 的取值范围是 0a ，ab+c=4a 2，把 a 的取值范围代入可得2a b+c010 解：（1）由图象知，函数 y=x22x3 与 x 轴的交点为（ 1，0） ， （3，0） ，所以当 x=1 或 3 时，y=0；（2）由图象知，x 22x3=0 的解为 x1=1，x 2=3；（3）由图象知，当1x3 时，y0，当 x 1 或 x3 时，y0；（4）不等式 x22x30 的解集为 1x311 解：（1）让抛物线过点 A，即把点 A 的坐标代入计算，得到， b+c=1，不过点 B，则把点 B 的坐标代入得到 3b+c8，依此两个要求，随便找一个数即可故
14、平移后的抛物线的一个解析式y=x2+2x3 或 y=x2+4x5 等（满足条件即可） ；（2）设 l2 的解析式为 y=x2+bx+c，联立方程组 ，解得： ，则 l2 的解析式为 y=x2+ x 点 C 的坐标为（ ） （3）如答图 1，过点 A、B、C 三点分别作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E、F，则AD=2， CF= ，BE=1 ，DE=2 ，DF= ，FE= 得：S ABC=S 梯形 ABEDS 梯形 BCFES 梯形 ACFD= 延长BA 交 y 轴于点 G，直线 AB 的解析式为 y= x ，则点 G 的坐标为（0， ） ，设点 P 的坐标为（0，h） ，9当点 P 位于点 G
15、 的下方时， ，连接 AP、 BP，则 SABP=SBPGSAPG= h，又 SABC=SABP= ，得 ，点 P 的坐标为（0， ） 当点 P 位于点 G 的上方时， ，同理 ，点 P 的坐标为（0， ） 综上所述所求点 P 的坐标为（0， ）或（0， ）（4）作图痕迹如答图 2 所示若 AB 为等腰三角形的腰，则分别以 A、B 为圆心，以 AB 长为半径画圆，交抛物线分别于 Q1、Q 2；若 AB 为等腰三角形的底边，则作 AB 的垂直平分线，交抛物线分别于 Q3、Q 4，由图可知，满足条件的点有 Q1、Q 2、Q 3、Q 4，共 4 个可能的位置12 解：（1）设 B（a ，0） ， （
16、a1） ，则平移后抛物线解析式为 y=（x1） （x a）=x 2（a+1）x+a，抛物线与 y 轴的交点坐标 C（0，a） ，即 OB=OC=a，ABC=45；（2）根据题意，得|AB|=a1，ABD=CBD ABC=45， D 点坐标为（1+ ， ） ，即（ ，） ，代入抛物线 y=（x 1） （xa ）中，得（ 1） （ a）= ，解得 a=3，D （2， 1） ，故抛物线 y=x2 向右平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到新抛物线13 解：所得的抛物线与 x 轴有交点y=2x 2+4x+1=2（x 1） 2+3，平移后的解析式是：y=2（x+1） 2令 y=0，得 2（x+1
17、） 2=0，x 1=x2=1交点坐标为（1，0） 14 解：（1）点 P 从点 O 出发，沿 x 轴以每秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动，OP=t，而 OC=2，P（ t，0） ，设 CP 的中点为 F，则 F 点的坐标为（ ，1） ， 将线段 CP 的中点 F 绕点 P 按顺时针方向旋转90得点 D，其坐标为（t+1 ， ） ；（2）D 点坐标为（ t+1， ） ，OA=4，S DPA= AP = （4 t） = （4t t2）= （t 2） 2+1，当 t=2 时，S 最大 =1；（3）能构成直角三角形当 PDA=90时，PC AD，由勾股定理得，PD 2+AD2=AP2，即（ ）
18、 2+1+（4t1） 2+（ ） 2=（4t ） 2，解得，t=2 或 t=6（舍去） t=2 秒当 PAD=90时，此时点 D 在 AB 上，可知，COP PAD， = ， = ，10PA=1，即 t+1=4，t=3 秒综上，可知当 t 为 2 秒或 3 秒时， DPA 能成为直角三角形（4）根据点 D 的运动路线与 OB 平行且相等，OB=2 ，点 D 运动路线的长为 2 15 解：（1）由题意得：当 t=2 时，Q 点远动到 BC 中点处，如图所示，此时三角形与梯形的重合部分为 MQC，其中点 M 为 PQ 与 CD 的交点，易知 QC=4，PQC=30 ，QCM=60，QMC=90 ，
19、在 RtQMC 中，有 MC=2，QM=2 ，可以 SMQC= QMMC= 2 2=2 （cm 2） ；（2）当 t=6 时，点 R 运动到点 C 处，点 P 运动到点 A 处，因此当 6t10 时，点 P 在点 A 及其左侧，如图所示，点 F 为 AB 与 PR 的交点，PQR 与梯形 ABCD 的重合部分为MQC，由于FBR=60 ，FRB=30，FBR 为 Rt， RC=2t12，BR=BCRC=8（2t12）=20 2t=2（10 t） ，FB= BR=10t，FR= （10t ） ，故 SFBR= FBFR= （10 t） 2，即 S 与 t 的函数关系式为：S= （10 t） 2， （6t10） ，当 t=6 时，S 取到最大值且最大值为： S=8 （cm 2） 16 解：在矩形 ABCD 中，B （16，12） ，EC+CF=8；则 AB=OC=16，BC=OA=12；设 CF=x，则 EC=8x；SAEF=SABCOSAOESABFSECF=OAOC OEOA ABBF CECF=1216 16（8x）12 16（12x） x（8x）= x22x+48= （x2 ） 2+46；因此，当 x=2 时，S AEF 取得最小值 46故当 F 运动到 CF 为 2 时，AEF 的面积最小，最小为 46
