1、 1.1- 1.6,目的与要求:掌握集合及相关概念 掌握映射的定义及相关概念,学会验证映射的合理性熟练掌握代数运算的概念并会验证. 掌握结合律,交换律,分配律的概念及其性质.,近世代数精品课程,第一章 基本概念,集合： 集合是一个不定义名词，但可以给集合作一些 描述性的解释. 所谓集合就是具有一定属性的事物组成 的整体(或集体).通常用英文大写字母A, B, C，等表示., 1.1 集合,一、概念,集合中的元素具有:,2. 元素（或元）:组成一个集合的事物.如果a是集合A中的元素，记作 ； 如果a不是集合A的元素，记作 或 .,几个常用的数集：N(自然数集)，Z(整数集), Q (有理数集)，
2、 R(实数集), C(复数集) .,确定性;,互异性;,无序性.,近世代数精品课程,4子集：设A,B是集合，则 (B是A的子集)是指 真子集：B是A的真子集是指 且 ，但 . 幂集：集合S的幂集是指由S的全体子集组成的集合， 记作 .,5集合的表示方法表示一个集合的方法通常有很多，如列举法：列出它的所有元素，并用一对花括号括起来.描述法：用其中元素所具有的特性来刻画.图表法：用一些特殊的图形来表示出它的所有元素.,3空集：没有元素的集合，记作 .,近世代数精品课程,二、集合的运算,补集就是特殊的差，即取A为全集,交： 且 ,并： 或 ,差： 且 ,近世代数精品课程,即由一切从 里顺序取出元素组
3、成的元素组 ， 组成的集合,例 A=1,2,3， B=4,5, 则,下一节我们将考虑集合之间的一种比较工具：,映射,积：设 是n个集合，则集合 的积(Descartes 积)定义为：,=(1,4), (1,5), (2,4), (2,5), (3,4), (3,5)，,=(4,1), (4,2), (4,3), (5,1), (5,2), (5,3),近世代数精品课程,(3) 一般情形，将A换成集合 的积，则 对有,注:,(1) 映射定义中 “b”的唯一性：映射不能“一对多”， 但可以“多对一”,(2) 记法： ： ， ,定义1.2.1 设A,B是两个集合 A到B的一个映射是指有 一个对应法则
4、 ，使得对于 ， 存在唯一的 元素 通过 与之对应.有时也称对应法则 是A 到B的一个映射，其中 b称为a在映射 下的像，记 为b= (a)，a称为b在映射 下的一个逆像(原像). A称为 的定义域，B称为 的值域.,1.2 映射,近世代数精品课程,例2 设 则 不是映射. 因为映射要满足每一个元 都要有一个像 而 是一个映射,例1 设集合 ,对 定义 则是 一个 到B的映射,近世代数精品课程,近世代数精品课程,例3 设A1=B=Z，则 其中 ,不是一个映射， 这是因为 当 时， b= 此时1在 下的像就不唯一,例4 设 (正整数集)，则 ： 不是一个映射 因为 时， ,例5 设 为正整数集
5、定义 则 .,定义1.2.2 设 是A到B的两个映射，若对 ， 有 则称 与 是相等的,记作 .,注:,映射相等构成映射的三要素（值域、定义域、对 应法则）全相同,近世代数精品课程,1.3 代数运算,定义1.3.1 设A,B,D是三个非空集合. 从 到D的映 射叫做一个 到D的二元代数运算；当A=B=D时, 从 到A的映射简称A上的代数运算或二元运算. 一 个代数运算可以用 表示，并将(a,b)在运算下的像 记作 .,注:,（） 是A上的代数运算 ，.,（） 当A,B是有限集时， 到D的代数运算通常 可以用一个矩形表（即运算表）给出.,近世代数精品课程,结合律、交换律、分配律,下面我们将考虑一
6、些常见的运算定律：,近世代数精品课程,1. 4 结合律,定义1.4.1 设 是集合A的一个代数运算. 如果对任意 有 ,则称代数运算 适合结合律，并且 将运算结果统一记成 对于A中n个元 ，当元素的排列顺序不变时 (如按下标的自然顺序)，可以有 种不同的加括 号方法. 它们的计算结果未必相同. 不妨用 ， 来表示这些加括号 的不同方法.,近世代数精品课程,定理1.4.1 设集合A的一个代数运算 适合结合律，则对任意 , 所有的 都相等，其结果统一记为 .,近世代数精品课程,1.5 交换律,定义1.5.1 设 是 到 的代数运算。如果 有 成立，则称运算 满足交换律.,定理1.5.1 假设一个集
7、合A的代数运算 同时适合结合 律与交换律,那么在 中，元素的次序 可以调换.,例 判定下列有理数集Q上的代数运算 是否适合结合律， 交换律？ (1) (适合结合律和交换律 )(2) (适合交换律，但不适合结合律)(3) (适合结合律，但不适合交换律 )(4) (既不适合结合律，也不适合交换律 ),近世代数精品课程,1.6 分配律,定义1.6.1 设是 到 的一个代数运算， 是 上的一 个二元代数运算.若 对 都有 ( )=( ) ( ) 成立，则称， 适合第一分配律(左分配律) .,定理1.6.1 假设 适合结合律，且， 适合第一分配律 ， 则 对 有 ( ) =( ) ( ) ( ).,近世
8、代数精品课程,定义1.6.2 设 是 到 的一个代数运算， 是 上的一 个二元代数运算. 若 对 都 有 ( ) = ( ) ( ) 成立，则称， 适合第二分配律(右分配律).,定理1.6.2 假设 适合结合律，且， 适合第二分配 律,则 有 ( ) =( ) ( ) ( ).,近世代数精品课程, 1.7- 1.9,目的与要求:熟练掌握单射,满射以及一一映射的概念以及之间的联系 熟练掌握同态的概念及其性质并会验证. 掌握同构与自同构的概念及性质. . 掌握等价关系与集合的分类的概念以及它们之间的联系并会确定.,近世代数精品课程, 1.7 一一映射，变换,定义1.7.1 设 是集合 到 的一个映
9、射. 若对 ，当 时，有 ，则称 是 到 的一个单射 ；若对 ， 使 得 ，则称 是 到 的一个满射； 若 既是满射又是单射，则称 是 到 的一个 一一映 射 .,定理1.7.1 设 是 到 间的一一映射，则存在一个 到 间的一一映射 .,注:,一一映射 与 同时存在.,近世代数精品课程,定义1.7.2 集合 到 的一个映射 叫做 的 一个变换.,小结,为了比较两个集合，我们引入了单射，满射，一一映射和变换的概念.,注:,变换 是 到 自身的一个映射.,返回,如果 是单射，则称 是单射变换；,(2) 如果 是满射，则称 是满射变换;,(3) 如果 是一一映射，则称 是一一变换 .,近世代数精品
10、课程,定义1.8.1 设 , 分别是集合的代数运算， 是一个映 射,若 ，有 , 则称 是 到 的一个同态.,1.8 同态,例1 A=Z (整数集)， 是普通加法； =1,-1， 是普通乘法. 则 (1) ； 是一个 同态映射 ; (2) ； 是满的 同态映射; (3) ； 是映射但不是同态.,近世代数精品课程,定义1.8.2 设 ， 分别是集合 的代数运算，若 是一 个单射(满射)的同态映射，则称 是一个同态单射(满 射). 特别地，当 是一个同态满射时，对于 ， 来说 称 与 同态.,定理1.8.1 设对于代数运算 ， 来说， 与 同态，则 (i)若 适合结合律， 也适合结合律； (ii)
11、若 适合交换律， 也适合交换律.,定理1.8.2 假定, 是 的代数运算， 是 的代 数运算，且存在满射 ，使得与对于代数运算 ,是同态，对于代数运算 , 也是同态，则 (i)若, 适合第一分配律， 也适合第一分配律; (ii)若, 适合第二分配律， 也适合第二分配律.,近世代数精品课程,1.9 同构，自同构,定义1.9.1 (1) 设 与 分别是集合 与 的代数运算. 若 是 到 的一一映射且是同态映射，则称 是到的 一个同构映射.,定义1.9.2 设 是集合 的代数运算. 若 是 到 的 一个同构映射(同态映射)，则称 是 的一个自 同构 (自同态).,小结,同态是把代数运算考虑在内的映射
12、，即是用来比较两个代数结构的工具.在代数学中,两个同构的代数结构一般认为是相同的.,返回,(2) 若在 与 间，对代数运算 与 ，存在一个同构 映射，则称对代数运算 与 来说， 与 同构 记作 .,近世代数精品课程,1.10 等价关系与集合的分类,定义1.10.1 设 是集合， . 一个 到 的映射 叫做 的元间一个关系. 如果 ，则说 与 符合关系 记作 ； 如果 ，则 说 与 不符合关系 .,定义1.10.2 集合的元间一个关系叫做一个等价关系，如果 满足以下规律： (1)(自反性) ； (2)(对称性) ； (3)(传递性) , . 若 ，则称 与 等价.,事实上， 的元素间的一个关系就
13、是 的一个子集 若 ，则说 与 有关系 ，记作 ； 若 ，则说 与 没有关系 ，记作 ,注:,近世代数精品课程,类里任何一个元素称为这个类的一个代表.刚好由每一类一个代表作成的集合叫做一个全体代表团.,定义1.10.3 设一个集合 分成若干个非空子集，使得 中每一个元素属于且只属于一个子集，则这些子集 的全体称为 的一个分类.其中每一个子集称为一个类.,例1 设 为实数集. ; 是 上的“ ” 关系. ; 是 上的“=”关系，这是一个等价关系.,近世代数精品课程,定理1.10.1 集合A的一个分类决定A的元间的一个等 价关系.,定理1.10.2 集合A 的一个等价关系决定A的一个分 类.此时将该分类的全体代表团集记为A/ .,近世代数精品课程,小结,我们讨论了集合的元之间的等价关系与集合的分类(即拆分成非空子集合的无交并)之间的关系. 这对研究代数结构是非常有用的, 在今后的学习中将会看到.,返回,例2 A=Z(整数集)， Z(自然数集).规定 这是一个等价关系. 此等价关系决定A的一个分类， 称为模n的剩余类.全体剩余类之集记为Z/nZ或Zn ,其 元素为 : , , , . 通常用 来作为这个类的全体代表团.,近世代数精品课程,
