1、本卷第 1 页（共 9 页）分段函数的常见题型及解法分段函数; 定义域; 值域或最值; 函数值; 解析式; 图像; 奇偶性; 方程; 不等式. 1求分段函数的定义域和值域2求分段函数的函数值3求分段函数的最值4求分段函数的解析式5作分段函数的图像7判断分段函数的奇偶性8判断分段函数的单调性9解分段函数的方程10解分段函数的不等式1求分段函数的定义域和值域例 1求函数 的定义域、值域. 12,0;()()3,;xf【解析】作图, 利用“数形结合”易知 的定义域为 , 值域为 . ()fx1)(1,3 11 o32 2-1 y x -1本卷第 2 页（共 9 页）练习已知 f（x ） 是定义在 上
2、的奇函数，当 时，2,0, 0xf（x） 的图象如右图所示，那么 f（x） 的值域是 2求分段函数的函数值1、设 ，则 的值为（ ）123,()log,xef(2)fA. B. C. D.0 32、给出函数 ，则 （ ）)4()1(2)xfxfx )3(log2fA. B. C. D. 83- 192413求分段函数的最值例 4 求函数 的最大值23(0)15xy方法 1 先求每个分段区间上的最值，后比较求值。当 0 时, = =2 +3,此时显然有 maX= =3;xy()fxy(0)f当 01 时， = = +5，此时 无最大值.比较可得当 =1 时, max=4.xy()fxyxy方法
3、2 利用函数的单调性由函数解析式可知， 在 (,0) 上是单调递增的，在)fx(0,1)上也是递增的，而在 (1,+) 上是递减的，x_2_x3 yxO 2. .Y43210 1 2 3 4 5 x本卷第 3 页（共 9 页）由 的连续性可知 当 =1 时有最大值 4()fx()fx方法 3 利用图像，数形结合求得作函数 = 的图像（图 1），y()fx显然当 =1 时 max=4.说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.例 3求函数 的最大值. 43(0)()15xf【解析】当 时, , 0xmax()03ff当 时, , 114当 时, , x5x综上有 . ma()4f4求分段函数的解
4、析式例 已知奇函数 f（x） (xR)，当 x0 时，f （x）= x(5x)+1.求 f（x）在 R 上的表达式。解 f（x）是定义域在 R 上的奇函数， f（0） =0.又当 0 时， x0,故有 f（x）= x 5(x)+1=x (5+x)+1。再由 f（x）是奇函数,f（x）=f（x）= x(5+ )1.(51(0)0)fx本卷第 4 页（共 9 页）练习 1 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不 超过 4 吨时，每吨为 1.80 元，当居民用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元。若某月某用户用水量为 x 吨，交水费为 y 元。（1）求 y 关于 x 的函数关系（2）若某
5、用户某月交水费为 31.2 元，求该用户该月的用水量。2 如图，动点 从单位正方形 顶点 开始，顺次经 、 绕边界一周，当 表示PABCDCDx点 的行程， 表示 之长时，求 关于 的解析式，并求 的值yyx)25(f3 等腰梯形 的两底分别为 ， ， ，作直线ABCDaA2BC45AD交 于 ，交折线 于 ，记 ，试将梯形 位于MNNxMABCD直线 左侧的面积 表示为 的函数，并写出函数的定义域.yx本卷第 5 页（共 9 页）5作分段函数的图像1已知函数23,1,()(5.xf，（1）在图 5 给定的直角坐标系内画出 的图象；)fx（2）写出 的单调递增区间()fx6求分段函数得反函数例
6、 6 已知 是定义在 上的奇函数, 且当 时, , 设()yfxR0x()31xf得反函数为 , 求 的表达式. ()fxg()x【解析】设 , 则 , 所以 , 又因为 是定义在 上的奇函数, 0x()31xf()fxR所以 , 且 , 所以 , 因此()(ff0(f, 从而可得 . 31()()0xxf3log(1)0)()0lx7判断分段函数的奇偶性例 1判断函数 的奇偶性. 2(1)0()xf0 1 x y 2 3 4 5 1 2 3 -1 - 图 5本卷第 6 页（共 9 页）【解析】当 时, , , 0xx22()(1)()(fxxfx当 时, , ()0f当 , , x22()(
7、)()(fxxxf因此, 对于任意 都有 , 所以 为偶函数. Rff练习已知函数 2()|fxx（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断函数 ()f在 1,0)上的单调性并加以证明8判断分段函数的单调性例写出函数 的单调减区间. ()|12|fxx【解析】 , 画图易知单123()()fx调减区间为 . 12(,练习已知函数 若 在1,log.axfx fx上单调递增，则实数 的取值范围为,A B C D 122,32,32,9解分段函数的方程例 10 （01 年上海）设函数 , 812()log)xf则满足方程 的 的值为 1()4fx【解析】yx52o-1252本卷第 7 页（共 9 页
8、）若 , 则 , 得 , 所以 （舍去）, 142x2x(1x2x若 , 则 , 解得 , 所以 即为所求. 81log1483)3练习 1 已知 ，若 ，则 320()xf()1fxx2已知函数 若 ，则实数 的值等于1,.xfafaA1 B2 C3 D43已知函数 则函数 的零点个数为40,.fx， fxA1 B2 C3 D410解分段函数的不等式例设函数 , 若 , 则 得取值范围是（ ）12(0)()xf0()1fx0x.(1,)A.(,)B.(,2)(,)C.(,)(1,)D【解析 1】因为 , 当 时, , 解得 , 0()fx0x01x0x当 时, , 解得 , 120综上 的取
9、值范围是 . 故选 D. 0x()()【解析 2】首先画出 和 的大致图像, 易知()yf1时, 所对应的 的取值范围是 . 0()1fx0x(,1)(,) xy 1-1 1本卷第 8 页（共 9 页）例 12设函数 , 则使得 的自变量 的取值范围2(1)()4xf()1fxx为（ ）A B. (,20,1(,20,C. D. 1【解析】当 时, , 所以 , 1x2()1()0fxx或 21xx或 0当 时, , 所以 , 综413x1上所述, 或 , 故选 A 项. 2x0x【点评：】 本卷第 9 页（共 9 页）以上分段函数性质的考查中, 不难得到一种解题的重要途径, 若能画出其大致图像, 定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解, 方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解, 使问题得到大大简化, 效果明显. 7、设函数 ，若 ，则关于 的方)0(2)(xcbxf 2)(,0)4(ff x程 的解的个数为（ ）fA1 B2 C3 D4例 8判断函数 的单调性. 3(0)()xf【解析】显然 连续. 当 时 , 恒成立, 所以 是单调递增函()fx0x2()31fx()fx数, 当 时, 恒成立, 也是单调递增函数, 所以 在0()2f()f ()f上是单调递增函数; 或画图易知 在 上是单调递增函数. R()fxR
