1、共线向量基本关系 bcamA CB D中线长公式: 224mbc DB CA 点 D 是 边 BC 的中点,则BCACBD21 ,则点 P 是 重心0PA 若 ,则 BA1OB平面上任意一点 O,求证:平 面上A、B、C 共线的充要条件是存在实数 使 ,,且 .O1设 A,B,C 三点共线,则可设 = t (tR),则 = + = + tACBOCA= + t( ) = (1t) + t . 令 1t = ,t = ,则有:OO= + ,且 + = 1充分性:因为 = + ,所以, = = + =( 1)CABACOAB+ O= + = ( ) = 三点 A、B 、C 共线O例 1: 中, ,
2、 ,点 D 在 AC 上,ABC31cosAB2, ,求 的长及 的面积.xD24C A CB D因为 ,所以 ,A2BCAB321ABDC所以 ,解得ABCBCBADcos9249122,3BC3CS例:2 :如图四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6 ,CD=2,043CDBA(1)求四边形 ABCD 的面积; (2)求三角形 ABC 的外接圆半径R;(3)若 06APC,求 PA+PC 的取值范围.解:(1)因为 ,所以043CDBA,即 .因此 ,0cos264cos3CA0cosA所以 .(考虑到 3) ,DB在ABC 中, ,Bcs6422在ACD 中, ,ACo所以 ,所以 .21cosB3B所以 .38sin6421sin4ACDS(2)由(1)知 ,又 ,所以 .7BRACi2321R(3)由(1)和(2)知点 P 在三角形 ABC 的外接圆上,设 ,则 ,且 ,ACP32APsin2RPA,所以32sinR=32siniPCA 6sinR= 6sin74因为 , ,所以32,065,1,6sin.74,2PCA ABDCP