1、成都市第九中学 第 1 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j题目 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 高中数学复习专题讲座 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j t/.jt/.j hp:/.xjktygcow126:/.jt /.jm/.j htp:/.xjkygco126t:/.j t/w.jt/.j头 hp:/.xjktygcom126:/.jt /.jw/.j不等式知识的综合应用高考要求 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco
2、不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式的应用大致可分为两类 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 重难点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco1 头ht
3、p:/w.xjkygcom126t:/.j 应用不等式知识可以解决函数、方程等方面的问题，在解决这些问题时，关键是把非不等式问题转化为不等式问题，在化归与转化中，要注意等价性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 对于应用题要通过阅读，理解所给定的材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出事物系统的主要特征与关系，建立起能反映其本质属性的数学结构，从而建立起数学模型，然后利用不等式的知识求出题中的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 典型题例示范讲解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjk
4、ygco 例 1 用一块钢锭烧铸一个厚度均匀，且表面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器(如右图)设容器高为 h 米，盖子边长为 a 米，(1)求 a 关于 h 的解析式；(2)设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时，V最大？求出 V 的最大值(求解本题时，不计容器厚度 )命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查建立函数关系式，棱锥表面积和体积的计算及用均值定论求函数的最值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题求得体积 V 的关系
5、式后，应用均值定理可求得最值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 在求得 a 的函数关系式时易漏 h0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题在求最值时应用均值定理 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 h是正四棱锥的斜高，由题设可得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygc
6、o 消去1224a )0(:.2 ah解 得由 (h0)322V得 )1(h而成都市第九中学 第 2 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j所以 V ，当且仅当 h= 即 h=1 时取等号611故当 h=1 米时，V 有最大值，V 的最大值为 立方米 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 2 已知 a，b，c 是实数，函数 f(x)=ax2+bx+c，g( x)=ax+b，当1x1 时|f(x )|1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t
7、126.hp:/wxjkygco |c|1；(2)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 当 1 x 1 时， |g(x)|2；(3)设 a0，有1x1 时， g(x)的最大值为 2，求 f(x) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 命题意图 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 知识依托 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygc
8、o 二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 错解分析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题综合性较强，其解答的关键是对函数 f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“1x1 时| f(x)|1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 技巧与方法 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 本题(2) 问有三种证法，证法一利用 g(x)的单调性
9、；证法二利用绝对值不等式 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |a| b|ab| a|+|b|；而证法三则是整体处理g(x)与 f(x)的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由条件当 =1x 1 时，| f(x)|1，取 x=0 得 |c|=|f(0)|1，即|c| 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)证法一 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 依题设 |f(0)|1 而 f(0)=c，所以
10、|c| 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 a0 时，g(x)=ax+b 在1，1上是增函数，于是 g(1) g( x)g(1) ，(1x1) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j |f(x)| 1，( 1x 1)，|c |1，g(1)=a+b= f(1)c |f(1)|+| c|=2，g(1)=a+b=f( 1)+ c(|f (2)|+|c|)2，因此得|g( x)|2 (1x1)；当 a0 时，g(x)=ax+b 在1，1上是减函数，于是 g(1) g( x)g(1) ，(1x1)，|f(x)| 1 (1x 1)，|c |1|g (x)|=|f(1)c |
11、f(1)|+| c|2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 综合以上结果，当1x1 时，都有| g(x)|2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证法二 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco | f(x)|1( 1x1)|f(1)|1， |f(1)|1，| f(0)|1，f(x)=ax 2+bx+c，|ab+c| 1，| a+b+c|1，|c| 1，因此，根据绝对值不等式性质得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco |a b|=|(ab+c)c| |ab+c |+|c|2，成都市第九中学 第 3
12、 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|a+b|=|(a+b+c)c | a+b+c|+|c|2，g(x)=ax+b，| g(1)|=|a+b|=|ab|2，函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线，因此|g( x)|在1，1上的最大值只能在区间的端点 x=1 或 x=1 处取得，于是由|g( 1)|2 得| g(x)|2，(1x1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j )21()( )21()( )2()( ,(4:2 2 xff cxbacbaxgx证 法 三当1x1 时，有 0 1，1 0，21x
13、|f(x)| 1，( 1x 1)，|f |1，| f( )|1；)(因此当1x1 时，|g(x )| f |+|f( )|2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2x(3)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 因为 a0，g(x )在1，1上是增函数，当 x=1 时取得最大值2，即 g(1)=a+b=f(1)f(0)=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1f(0)=f(1) 212= 1，c=f (0)=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 因为当1x1 时，f( x)1，即 f(x)f (0)，根据二次函
14、数的性质，直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴，由此得 0 ，即 b=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a2由得 a=2，所以 f(x)=2x21 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 例 3 设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)x=0 的两个根 x1、x 2满足 0x 1x 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)当 x0，x 1 时，证明 xf (x)x 1；)(2)设函数 f(x)的图像关于直线 x=x0 对称，证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x0 头htp:
15、/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)令 F(x)=f(x)x ，因为 x1，x 2 是方程 f(x)x=0 的根，所以 F(x)=a(xx 1)(xx 2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 当 x(0， x1)时，由于 x1x 2，得(xx 1)(xx 2)0，又 a0，得 F(x)=a(xx 1)(xx 2)0，即 xf (x)成都市第九中学 第 4 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jx1f(x)=x 1x+
16、F(x)= x1x +a(x1x )(xx 2)=(x1x) 1+a(x x 2)0xx 1x 2 ，x 1x0，1+a(xx 2)=1+axax 21ax 20ax 1f(x) 0，由此得 f(x)x 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)依题意 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco x0= ，因为 x1、x 2 是方程 f(x)x=0 的两根，即bx1，x 2 是方程 ax2+(b1) x+c=0 的根 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j x 1+x2= ax 0= ，因为 ax21，a2)(121 x0 头htp:/
17、w.xjkygcom126t:/.j a学生巩固练习 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 定义在 R 上的奇函数 f(x)为增函数，偶函数 g(x)在区间0，+)的图像与 f(x)的图像重合，设 ab0，给出下列不等式，其中正确不等式的序号是( )f(b)f(a) g(a)g(b) f(b)f(a) g(a) g(b) f(a)f(b) g(b)g(a) f(a)f(b) g(b) g(a)A 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j B 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j C 头
18、htp:/w.xjkygcom126t:/.j D 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 下列四个命题中 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco a+b2 sin 2x+ 4 设 x，ysin都是正数，若 =1，则 x+y 的最小值是 12 若9|x 2| ，|y2| ，则| xy |2 ，其中所有真命题的序号是_ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与车库到车站的距离成反比，而每月库存货
19、物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距车站 10公里处建仓库，这两项费用 y1 和 y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a，bR ，a0) ，设方程 f(x)=x 的两实数根为 x1，x 2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)如果 x12x 24，设函数 f(x)的对称轴为 x=x0，求证 x01；(2)如果|x 1|2， |x2x 1|=2，求 b 的取值范围 头h
20、tp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 某种商品原来定价每件 p 元，每月将卖出 n 件，假若定价上涨 x成(这里 x 成即 ，0x10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 每月卖出数量将减少 y 成，而售货金额)变成原来的 z 倍 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 5 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1)设 y=ax，其中 a 是满足 a1 的常数，用 a 来表示当售货金额3最大时的 x 的值；(2)
21、若 y= x，求使售货金额比原来有所增加的 x 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 326 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 设函数 f(x)定义在 R 上，对任意 m、n 恒有 f(m+n)=f(m)f(n)，且当 x0 时，0 f(x)1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(0)=1，且当 x0 时，f(x)1；(2)求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(x)在 R 上单调递减；(3)设集合 A= (
22、x，y)|f(x 2)f(y2)f(1)，集合 B=(x，y)|f(axg+2)=1， aR ，若 AB= ，求 a 的取值范围 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 已知函数 f(x)= (b0)的值域是1，3 ，2(1)求 b、c 的值；(2)判断函数 F(x)=lgf(x)，当 x1，1时的单调性，并证明你的结论；(3)若 tR，求证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco lg F(|t |t+ |)lg 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 57653参考答案 头htp:/
23、w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由题意 f(a)=g(a)0，f(b)=g(b) 0，且 f(a)f( b)，g(a)g( b)f(b)f(a)= f(b)+f(a)=g(a)+g(b)而 g(a)g(b)=g(a)g(b)g(a)+g( b)g(a) g(b) =2g(b)0，f(b)f( a)g(a)g( b)同理可证 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(a)f(b)g(b) g(a)答
24、案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco A2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 不满足均值不等式的使用条件“正、定、等” 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 式 |xy|=|(x 2) (y2)|(x2)( y2)|x2|+| y2|+=2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解析 头htp:/w.xj
25、kygcom126t126.hp:/wxjkygco 由已知 y1= ；y 2=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8x(x 为仓库与车站距离)0费用之和 y=y1+y2=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8x+ 2 =80.当且仅当 0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 8x= 即 x=5 时“=”成立答案 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 5 公里处4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)设 g(x
26、)=f(x)x=ax 2+(b1)x+1，且 x0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 6 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jx 12x 24，(x 12)(x 22)0，即 x1x22(x 1+x2) 4，)4(2)(2 2)()()(1 1210 x xaba于 是 得(2)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 由方程 g(x)=ax2+(b1)x+1=0 可知 x1x2= 0，所以 x1，x 2 同号a1若 0x 12，则 x2x 1=
27、2，x 2=x1+22，g(2)0，即 4a+2b10 又(x 2 x1)2= (2a+1= (a0) 代入式得，)(2b2 32b 1解得 b 42若 2x 10，则 x2=2+x 12g(2)0，即 4a2b+30 又 2a+1= ，代入式得)(2 2b1 解得 b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 47综上，当 0x 12 时，b ，当2x 10 时，b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 4475 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco (1)由题意知某商品定价上涨 x
28、 成时，上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco p(1+ )元、n(1 )元、npz 元，因而 ，10(,0()( yxznnz 在 y=ax 的条件下， z= ax 2+100+ 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1a)5a)(5由于 a1，则 0 10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 3)(5成都市第九中学 第 7 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j要使售货金额最大，即使 z 值最大，此时 x=
29、头htp:/w.xjkygcom126t:/.j a)(5(2)由 z= (10+x)(10 x)1，解得 0x5 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 10326 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 令 m0，n=0 得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco f(m)=f(m)f(0) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j f (m)0，f(0)=1取 m=m，n= m，( m0)，得 f(0)=f(m)f(m )f(m)= ，m0，
30、m0，0f(m)1，f(m )1)f(2)证明 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 任取 x1，x 2R，则 f(x1)f (x2)=f(x1)f(x 2x 1)+x1=f(x1)f(x 2x 1)f(x1)=f(x1)1f (x2x 1) ，f(x 1)0，1f(x 2x 1)0，f (x1)f (x2)，函数 f(x)在 R 上为单调减函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (3)由 ，0)()(afyaf 得由题意此不等式组无解，数形结合得 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 1，解得 a23|a
31、 ， 37 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)解 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 设 y= ，则(y2)x 2bx+yc =0 12xcbxR，的判别式 0，即 b24( y2)( yc) 0 ，即 4y24(2+c)y +8c+b20 由条件知，不等式的解集是1，31，3 是方程 4y24(2+c )y+8c+b2=0 的两根c=2，b=2，b=2(舍）8(2)任取 x1，x 21，1 ，且 x2x 1，则 x2x 10，且(x2x 1)(1x 1x2)0，f(x 2)f(x 1)= 0，)()( 21212 xxf(x 2)f
32、(x 1)，lgf(x 2)lgf(x 1)，即 F(x2)F(x 1)F(x) 为增函数 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 成都市第九中学 第 8 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,31|)6()1(|,6|1|)3( ttuttu记即 u ，根据 F(x)的单调性知F( )F (u)F( )，3131lg F(|t | t+ |)lg 对任意实数 t 成立 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5765课前后备注 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkyg
33、co 数学中的不等式关系数学是研究空间形式和数量关系的科学，恩格斯在自然辩证法一书中指出，数学是辩证的辅助工具和表现形式，数学中蕴含着极为丰富的辩证唯物主义因素，等与不等关系正是该点的生动体现，它们是对立统一的，又是相互联系、相互影响的；等与不等关系是中学数学中最基本的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 等的关系体现了数学的对称美和统一美，不等关系则如同仙苑奇葩呈现出了数学的奇异美 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等关系起源于实数的性质，产生了实数的大小关系，简单不等式，不等式的基本性质，如果把简单不等式中的实数抽象为用各种数学符号集成的数学式，不等式发
34、展为一个人丁兴旺的大家族，由简到繁，形式各异 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 如果赋予不等式中变量以特定的值、特定的关系，又产生了重要不等式、均值不等式等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式是永恒的吗？显然不是，由此又产生了解不等式与证明不等式两个极为重要的问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 解不等式即寻求不等式成立时变量应满足的范围或条件，不同类型的不等式又有不同的解法；不等式证明则是推理性问题或探索性问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 推理性即在特定条件下，阐述论证过程，揭示内在规律，基本方法有比较法、综合法、
35、分析法；探索性问题大多是与自然数 n 有关的证明问题，常采用观察归纳猜想证明的思路，以数学归纳法完成证明 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 另外，不等式的证明方法还有换元法、放缩法、反证法、构造法等 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 数学科学是一个不可分割的有机整体，它的生命力正是在于各个部分之间的联系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式的知识渗透在数学中的各个分支，相互之间有着千丝万缕的联系，因此不等式又可作为一个工具来解决数学中的其他问题，诸如集合问题，方程(组)的解的讨论，函数单调性的研究，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何
36、、解析几何中的最大值、最小值问题无一不与不等式有着密切的联系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 许多问题最终归结为不等式的求解或证明；不等式还可以解决现实世界中反映出来的数学问题 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等式中常见的基本思想方法有等价转化、分类讨论、数形结合、函数与方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 总之，不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 等与不等形影不离，存在着概念上的亲缘关系，是中学数学中最广泛、最成都市第九中学 第 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 共 9 页 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j普遍的关系 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻而生动的体现 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 不等虽没有等的温柔，没有等的和谐，没有等的恰到好处，没有等的天衣无缝，但它如山之挺拔，峰之隽秀，海之宽阔，天之高远，怎能不让人心旷神怡，魂牵梦绕呢？
