1、第四讲 方程、方程组一、课标下复习指南(一)方程、方程组1等式及其性质(1)用等号“”表示相等关系的式子，叫做等式(2)等式的性质等式两边加(或减)同一个数(或式子) ，结果仍相等等式两边乘同一个数，或除以同一个不为 0 的数，结果仍相等2方程的有关概念及分类(1)方程：含有未知数的等式叫做方程(2)方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解只含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根(3)解方程：求方程的解或确定方程无解的过程，叫做解方程(4)方程分类整式方程：方程的两边都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程3一元一次方程(1)一元一次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数
2、的指数是一次的整式方程，叫做一元一次方程它的一般形式是 axb0( a0)(2)一元一次方程的解法解 一元一次方程的基本思路是：把方程变形为 axb(a 0) 形式，再求解4二元一次方程组(1)二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数为一次的整式方程，叫做二元一次方程它的一般形式是：axbyc (a0，b0)(2)二元一次方程的解及解集能使二元一次方程两边的值相等的每一对未知数的值叫做二元一次方程的一个解，用形式表示byax任何一个二元一次方程都有无数个解由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集(3)二元一次方程组及其解由几个一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组叫做二元一
3、次方程组一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解当二元一次方程组的解唯一时，这个解就是在直角坐标系下，两个二元一次方程所对应的两条直线的交点坐标(4)二元一次方程组的基本解法解二元一次方程组的基本思想就是：消元，即将“二元”转化为“一元”来达到求解目的，消元是“化未知为已知”的重要的数学思想方法解二元一次方程组的基本解法：代入消元法和加减消元法5一元二次方程(1)一元二次方程的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，叫做一元二次方程，它的一般形式为 ax2 bx c0( a0)(2)一元二次方程的解法解二元一次方程组的基
4、本思想就是：降次，即将“二次”转化为“一次”来达到求解目的解一元二次方程的基本解法有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法(3)一元二次方程的根的判别式一元二次方程 ax2bx c 0(a0)的根的判别式：b 24ac当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根；当 b24ac0 时，方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，方程没有实数根上述结论，反过来也成立6分式方程(1)分式方程的概念分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程(2)分式方程的解法解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程，一般采用去分母的方法(3)解分式方程时可能产生增根，因此，求得的结果必须检验分式方程
5、的增根能使分式方程的各分母的最简公分母为 0，增根是去分母后所得的整式方程的根(二)方程、方程组的应用1列方程(组)解应用题的一般步骤(1)审题：透彻理解题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系(2)设未知数：根据题意，可采用直接设未知数，也可间接设未知数，语言叙述要完整，必须写明单位(3)列代数式和方程(组)：根据题中所给的条件，用含有未知数的代数式表示其他未知量，选择合适的等量关系列出方程(组) ，一般地，列方程的个数与所设未知数的个数相同(4)解方程(组) ：选择适当的方法，准确求出所列方程(组)的解(5)检验：检验所得到的方程( 组)的解是否符合题意，如果是分式方程，既
6、要检验有无增根，又要检验是否符合题意，必须将检验这一步写出来(6)写出答语(包括单位名称 )2列方程应注意的几点(1)方程两边表示同类量；(2)方程两边单位一定要统一；(3)方程两边的数值相等3列方程(组)解应用题的常见问题(1)和差倍分问题(2) 行程问题(3) 工程问题(4)增长率问题(5)分配问题(6)销售问题(7) 数字问题(8)方案设计决策问题(9)与几何有关的问题(10) 其他问题无论是哪一类问题，都要明确其基本关系式二、例题分析例 1 已知(m2)x |m|1 37 是关于 x 的一元一次方程(1)求 m 的值；(2)写出关于 x 的一元一次方程解 (1)根据一元一次方程的定义，
7、可知|m |11，且 m20m2(2)把 m2 代入原方程，得4x 37说明 在运用一元一次方程的定义解题时，要注意未知数的系数不为 0例 2 解下列方程：(1) ;1652x(2) .38)41(3x解 (1)去分母，得 2(2x1)(5x1)6去括号，得 4x25x 16移项，得 4x5x 612合并同类项，得x3系数化 1，得 x3(2)去括号，得 .2342x移项、合并同类项，得 ,16系数化 1，得 4x说明 (1)解一元一次方程的五个基本步骤是解方程的基本功，是解各类方程的基础；解方程的各个步骤中都有一些常见的错误，应特别注意；解方程的五个步骤要根据方程的特点灵活选用(2)要认真观
8、察题目的结构特征，灵活选择解法例 3 解下列方程组：(1) (2);82,7yx;213,7yx(3) .)(5)(4,6yx解 (1)方法一：将方程变形，得 y72x把代入得，x2(7 2x)8解得 x2代入，得 y3 .3,2x方法二：()3，得 x y5，得 xy 1，再联立，得 .3,x(2)方法一：用代入法解得 .3,1yx方法二：将方程组变形得 再选择代入法或加减法解方程组24m(3)方法一：设 xym，xyn，则原方程组变形为 解得.254,63nm.6,8即 解得.6,8.1,7方法二：将原方程组变形为 解得.29,365yx.1,7yx说明 (1)当方程组中有一个方程的一个未
9、知数的系数比较简单(为 1 或1) 或某一方程的常数项为 0 时，一般采用代入消元法解比较简单；当两个方程的同一个未知数的系数的绝对值相等或成整数倍时，一般采用加减消元法解比较简单；(2)当方程组中的方程的结构比较复杂，应先化成一般形式再看如何消元；(3)整体思想，往往能使解题过程化难为易例 4 选择适当的方法解下列方程：(1)x24x10；(2)2x 25x20；(3)7x(3x) 4(x 3)；(4)x26x9(5 2x) 2；(5)(x3)( x6)8解 (1)方法：(配方法)移项得，x 24x 1配方得(x2) 23 .,1方法二：(公式法)略(2)方法一(公式法 )：b 24ac5
10、242290，3495x21,1方法二：(因式分解法)( x2)(2x 1) 0，x20 或 2x10,1方法三：(配方法)略(3)(因式分解法)(7x 4)(3x)07x40 或 3x 0.,21(4)(配方法 )(x 3)2(52x) 20(x3 52x)(x352x)0(2x )(3x8)02x0 或 3x80x 12， 38x(5)(因式分解法)原方程变形为 x23x100(x5)(x2)0x50 或 x20x 1 5，x 22说明 一元二次方程的常用解法有四种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法其中公式法、配方法是通法在解一元二次方程时，方法的选择是关键，要善于根据方程的特点
11、，灵活选用恰当的方法，一般来说，方法的选择顺序是先特殊解法再通法具体思维策略为：(1)解形如( xa) 2b(b0) 的方程或易变形成(xa) 2b( b0)的方程，用直接开平方法；(2)解形如( xa)( xb) 0 的方程或易变形成(xa)(x b)0 的方程，用因式分解法；在用因式分解法对方程变形时，不要轻易在方程的两边同时除以含有未知数的代数式，否则可能导致失根；(3)化成一般形式后，易因式分解的，用因式分解法；不易因式分解的，如果一次项系数是二次项系数的偶数倍时，可用配方法，否则用公式法要明确每种解法的关键：(1)因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为 0；(2) 公式法解方程的关
12、键是先把方程化成一般形式，正确写出 a，b，c 的值；(3)直接开平方法解方程的关键是先把方程化成(xa) 2b(b0)的形式；(4) 配方法解方程的关键是先把二次项系数化成 1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方例 5 解下列分式方程： ;451)(;03)( xx242解 (1)去分母，得 3(x1)5(x1)0解 得 x4检验：当 x4 时，( x1)(x1)0x4 是原方程的解原方程的解为 x4(2)原方程变形为 去分母得 x114(x5)解得 .451 32x检验：当 时，x5032 是原方程的解x原方程的解为 32x(3)去分母，得 4(x 2)2x，解得 x2检验：当 x2
13、 时，x (x2)0x2 是增根原方程无解说明 解分式方程的基本思路是把分式方程转化为整式方程，常用方法是“去分母法”解分式方程时，可能会产生增根，无论采取什么解法，解分式方程验根都是必不可少的重要步骤例 6 若 0 是关于 x 的方程( m2)x 23xm 22m 8 0 的解，求实数 m 的值，并讨论此方程解的情况解 由题意得 m22m80得 m12，m 24当 m2 时，原方程为 3x0此时，方程只有一个实数根 x0当 m4 时，原方程为 2x2x0解 得 x10， 2说明 这是一道解关于待定系数 m 的方程的问题，又要根据所得的 m 的值讨论方程解的情况，需要分类讨论例 7 m 为何值
14、时，方程(m1) x22mxm30(1)有实根?(2)只有一个实根?(3)有两个实根?解 (1)当 m1 时，方程为 2x40，方程有一个实数根；当 m1 时，由题意，要使方程有实根，只需 b24ac(2 m)24(m1)(m3)8m 120解得 23m当 且 时，方程有两个实数根3综上所述， 时，方程有实根2(2)由题意，方程为一元一次方程此时 m10解得 m1当 m1 时，方程为 2x40，方程只有一个实数根(3)由题意得 m1 且 b24ac0解 得 且 m13当 且 m1 时，方程有两个实数根2说明 (1)如果方程只有一个实数根，那么方程是一元一次方程；如果方程有两个实数根，那么方程为
15、一元二次方程，二次项系数不为 0，并且判别式的值 b24ac0；如果方程有实根则需要讨论方程是一元一次还是一元二次方程(2) 讨论一元二次方程的根的情况，前提是二次项系数不为 0，要分清楚：b 24ac0；b 24ac0；b 24ac0；b 24ac0所对应的方程根的情况例 8 北京市实施交通管理新措施以来，全市公共交通客运量显著增加据统计，2008 年 10 月 11 日至 2009 年 2 月 28 日期间，地面公交日均客运量与轨道交通日均客运量总和为 1696 万人次，地面公交日均客运量比轨道交通日均客运量的 4 倍少 69 万人次在此期间，地面公交和轨道交通日均客运量各为多少万人次?解
16、法一 设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为(4x69) 万人次依题意，得 x(4 x69)1696解得 x3534x694353691343答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次解法二 设轨道交通日均客运量为 x 万人次，则地面公交日均客运量为 y 万人次依题意，得 .694,1xy解得 .134,5yx答：轨道交通日均客运量为 353 万人次，地面公交日均客运量为 1343 万人次例 9 某城市在道路改造过程中，需要铺设一条长为 1500 米的管道，为了尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时，工作效率比原计划提高了 20，结果
17、提前 2 天完成了任务求实际每天铺设了多少米管道?解 设原计划每天铺设 x 米管道则实际每天铺设了(120)x 米管道由题意得 .2%)01(5整理，得 .6xx解得 x125经检验，x125 是原方程的解所以 (米) 1502)201(答：实际每天铺设了 150 米管道例 10 (2009 江苏) 一辆汽车从 A 地驶往 B 地，前 路段为普通公路，其余路段为高速31公路已知汽车在普通公路上行驶的速度为 60km/h，在高速公路上行驶的速度为100km/h，汽车从 A 地到 B 地一共行驶了 2.2h请你根据以上信息，就该汽车行驶的“路程”或“时间” ，提出一个用二元一次方程组解决的问题，并
18、写出解答过程问题一：普通公路和高速公路各为多少千米?解 设普通公路长为 x 千米，高速公路长为 y 千米，由题意得 .2106,2yx解得 .120,6yx答：普通公路长为 60 千米，高速公路长为 120 千米问题二：汽车在普通公路和高速公路上各行驶了多少小时?解 设汽车在普通公路上行驶了 x 小时，在高速公路上行驶了 y 小时，由题意得，解得yx1026,.21,答：汽车在普通公路上行驶了 1 小时，在高速公路上行驶了 1.2 小时说明 和差倍分问题、行程问题、工程问题等几类传统应用问题，在问题设置上可以多一些变式，掌握好这些问题对进一步分析、解决其他类型应用题，有很大的益处例 11 芜湖
19、供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：0022：00，14 小时；谷段为 22：00次日 8：00，10 小时平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮 0.03 元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下调 0.25 元，小明家 5 月份实用平段电量 40 千瓦时，谷段电量 60 千瓦时，按分时电价付费 42.73 元(1)问小明该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元?(2)如不使用分时电价结算，5 月份小明家将多支付电费多少元 ?解 (1)设原销售电价为每千瓦时 x 元，根据题意得 40(x0.03)60(x0.25)42.73去括号，得 40x1.260x 1542.7
20、3合并，得 100x56.53系数化 1，得 x0.5653当 x0.5653 时，x 0.030.5953；x0.250.3153答：小明家该月支付平段电价为每千瓦时 0.5953 元、谷段电价每千瓦时 0.3153 元(2)1000.565342.7313.8( 元)答：如不使用分时电价结算，小明家 5 月份将多支付 13.8 元说明 分段计算问题是日常生活中常见的一类问题常见的类型有：出租车计费问题、水电费收取问题、赋税问题、支付邮费问题、优惠购买问题等三、课标下新题展示例 12 某项工程，由甲、乙两个施工队合作完成，先由甲施工队单独施工 3 天，剩下的工作由甲、乙两个施工队合作完成工程
21、进度满足如图 41 所示的函数关系，该项工程共支付工资 8000 元图 41(1)完成此项工程共需多少天?(2)若按完成工作量的多少支付工资，甲施工队应得多少元?(1)解法一解 设一次函数的解析式(合作部分 )是 ykxb(k0，k，b 是常数)由待定系数法解得 81,bk一次函数的表达式为 xy当 y1 时， 解得 x918x完成此项工程共需 9 天解法二解 由正比例函数图象可知：甲的工作效率是 12乙工作的效率是 21)42(4甲、乙合作的天数为 (天) 63甲先工作了 3 天，完成此项工程共需 9 天(2)由正比例函数图象可知：甲的工作效率是 12甲 9 天完成的工作量是 43129甲得
22、到的工资是 (元) 60843例 13 星期天，小强骑自行车到郊外与同学一起游玩，从家出发 2 小时后到达目的地，游玩 3 小时后按原路以原速返回，小强离家 4 小时 40 分钟后，妈妈驾车沿相同路线迎接小强，如图 42 是他们离家的路程 y(千米) 与时间 x(时)的函数图象已知小强骑车的速度为15 千米/时，妈妈驾车的速度为 60 千米/ 时图 42(1)小强家与游玩地的距离是多少?(2)妈妈出发多长时间与小强相遇?解 (1)由题意，得 21530( 千米)答：小强家与游玩地的距离是 30 千米(2)方法一：设妈妈出发 x 小时与小强相遇由题意 .30)62(1560解 得 7x答：妈妈出
23、发 小时与小强相遇15方法二：设小强从游玩地返回 y 小时与妈妈相遇由题意，得 .3015)62(0yy解得 152y760答：妈妈出发 小时与小强相遇15四、课标考试达标题(一)选择题1已知 是方程 xay2 的一个解，那么 a 的值为 ( )1,yxA1 B3 C1 D32关于 x 的一元二次方程 x2mx(m2)0 的根的情况是( )A有两个不相等的实数根B有两个相等的实数根C没有实数根D无法确定3已知A、B 互余，A 比B 大 30设A、B 的度数分别为 x、y ，则下列方程组中符合题意的是( )A B30,18yx 30,18yxC D,9 ,94某商品原价 289 元，经连续两次降
24、价后售价为 256 元设平均降价的百分率为 x，则下面所列方程正确的是( )A289(1x) 2256B256(1x) 2289C 289(12x)256D256(12x)2895若三角形的两边长分别为 3 和 6，第三边的长是方程 x26x80 的一个根，则这个三角形的周长是( )A9 B11 C13 D11 或 136若关于 x 的一元二次方程 ax22x 50 有且仅有一根在 0 与 1 之间( 不含 0 和 1)，则 a的取值范围是( )Aa3 Ba 3 Ca3 Da37下列命题：若 abc0，则 b24ac0；若 bac，则一元二次方程 ax2bx c0 有两个不相等的实数根；若 b2a3c，则一元二次方程 ax2bx c0 有两个不相等的实数根；若 b24ac0，则二次函数 yax 2bxc 的图象与坐标轴的公共点的个数是 2 或3其中正确的命题是( )A BC D(二)填空题8方程 x(x1)x 的解是_9当 m_时，关于 x 的分式方程 1 无解32xm10如图 43 中，标有相同字母的物体的质量相同，若 A 的质量为 20 克，当天平处于平衡状态时，B 的质量为_克
