1、第 1 页 共 16 页 1专题四:平面向量【考点分析】：向量是数学中的重要概念，以向量为工具可以把几何问题（平面、空间）转化为简单的向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现形与数的结合.有关向量的命题，具有很强的时代气息，深受命题者的喜爱.综观近几届高考，向量由只考关于向量概念或运算小题，到考察以向量为背景的解析几何大题.尤其与圆锥曲线的综合有一定难度.在有些立体几何的解答题中，建立空间直角坐标系，以向量为工具，运用空间向量的坐标和数量积解决角度、长度的问题，比传统立体几何方法更简便快捷.向量与三角函数有着密切的联系，一个以向量和三角函数为载体的数学问题能考察中学数学多方面的内容，更
2、能考察学生的创新意识和创造性解决问题的能力，所以向量内容在高考中的分值会逐渐增加.平面向量大题在以前高考卷很少单独出现，估计以后将会成为高考的一个命题点.但在高考中,平面向量与其他章节的综合题已经出现，因此，在复习中一方面要重视教材的基础作用，加强基础知识的学习.做到概念清、运算准，对于定比分点、图形平移等要掌握公式及寻求规律；另一方面，也要注意综合能力的训练，平面向量与空间向量的数量积及坐标运算是高考重点，复习中要注意培养准确运算能力和灵活运用知识的能力.【疑难点拨】1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量） ，而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较
3、大小，只有它的模才能比较大小.记号“ ”错了，而| | |才有意义.abab有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向） ，故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.第 2 页 共 16 页 2单位向量是模为 1 的向量，其坐标表示为（ ）,其中 、 满足 yxxy1（可用（ cos ,sin ） （0 2）表示） .2xy零向量 的长度为 0，是有方向的，并且方向是任意的，实数 0 仅仅是一个无方向的实数.有向线段是向量的一种表示方法，
4、并不是说向量就是有向线段.2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量.当两个向量 和 不共线时， 的方向与 、 都不相同，且ababab| | | |；ab当两个向量 和 共线且同向时， 、 、 的方向都相同，且；| |当向量 和 反向时，若| | |， 与 方向相同 ，且ababa| |=| |-| |；b若| | |时, 与 方向相同，且| |=| |-| |.b向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ,（在ABC 中）ABC0.( ABCD 中)D判定两向量共线的注意事项如果两个非零向量 ， ，
5、使 = （R） ，那么 ；abab反之，如 ，且 0，那么 = .ab第 3 页 共 16 页 3这里在“反之”中，没有指出 是非零向量，其原因为 =0 时，与 的aab方向规定为平行. 数量积的 8 个重要性质两向量的夹角为 0 .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设 、 都是非零向量， 是单位向量， 是 与 的夹角，则abeab)1|.(cos|e （ =90，0)0cos在实数运算中 =0 =0 或 b=0.而在向量运算中 = = 或 =ab ba0b是错误的，故 或 是 =0 的充分而不必要条件
6、.0b当 与 同向时 = ( =0,cos =1);|当 与 反向时， =- ( =,cos =-1)，即 的另一个充aba| ab要条件是 .|特殊情况有 = .2|或 = = = .|aa2yx如果表示向量 的有向线段的起点和终点的坐标分别为( , ),( , ),则1xy2=| 2121)(yx 。 （因 ）|ba 1cos数量积不适合乘法结合律.如 （因为 与 共线，而 与 共线）).()(c cba)( )(cba数量积的消去律不成立.第 4 页 共 16 页 4若 、 、 是非零向量且 并不能得到 这是因为向量不能abccbaba作除数，即 是无意义的.16与平面向量基本定理及平移
7、有关的问题平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的线性组合.平面向量基本定理可联系物理学中力的分解模型进行理解。点的平移公式：点 按给定平移向量 平移后得新点 的坐标公式为),(yxP),(kha),(yxp;,kyhx反之，由新点求旧点公式变为 ;,kyhx由新旧两点求平移向量公式为 .,ykxh图象（图形）平移：给定平移向量 = ，由旧解析式求新解析式，用公式a(),khkyhx,代入旧解析式中，整理得到；由新解析式求旧解析式，用公式kyhx,第 5 页 共 16 页 5代入新式，整理得到。应用以上公式要注意公式中平移前的坐标 、平
8、移后的坐标 、),(yx),(yx平移向量坐标 都在同一坐标系中。),(kh确定平移向量一般可采用如下两种方法：其一，配凑法：按题目要求进行配凑，如将 化简，即3)6sin(2xy可配凑为： 则公式为 此时平移向量为),18(3sin2xy318yx).,18(其二，待定系数法：按要求代入公式，再根据题目要求求出 .,kh【经典题例】【例 1】 是不共线的两个向量,ba已知 ,2,2baCDBkA若 三点共线,求 值.D【思路分析】由于 三点共线,因此必存在实数 ,使 ,因而可BDA根据已知条件和向量相等的条件得到关于 的方程,从而求 .kk解:略 =-1.k【点评】用向量共线的充要条件有时可
9、以很容易解决几何中的三点共线问题.【例 2】证明三角形三条高线交于一点.【思路分析】此题可利用“形” 、 “数”结合的方法，通过直角坐标系将几何图形数字化，则问题解决更简洁、更易接受.证明：如图建立直角坐标系，设 )0,(),0(),( 231 xOCyAxOB yP,()21xPC ,321xAB,0AxyPCB第 6 页 共 16 页 6所以 是 上的高，故 的三条高交于一点 .CPABABCP【点评】本题把两直线是否垂直的问题转化为两个非零向量的数量积是否为零的问题.【例 3】已知向量 321,OP满足条件 , ,OP321 1| 321P求证: 是正三角形.3【思路分析】观察条件中的两
10、个等式,联系向量模及加法的几何意义,可构造图形巧证.如图 1.又据条件易知 O 为定点,故可适当选取坐标系,借助向量的坐标运算,将几何问题代数化.如图 2.也可联想三角知识进行坐标选取.如使得选取具有任意性.)sin,(co),sin,(co),sin,(co321 PPOP且巧妙运用了三角变形.证明 为正三角形可从边或角的关系着手，联系21两个向量数量积的有关知识可获得两种证法.证法一：如图 1 略.证法 2 如图 2 略.证法三：据| |= ，1OP1|32P令 ).sin,(co),sin,(co),sin,(co31 O由 得 3210ii可求得| |= ，所以 为正三角形.1OP3|
11、2P321P证法四：设 ,cObaP1 P1 PP1P3 P1 P2 P1 O P1 图 1 P3P2 OP1第 7 页 共 16 页 7由已知得 | |= ，所以 为正三角形。21ba1OP3|2P321P证法五：同证法四求得 ，于是 = 所以bacos21O|ba，由此可证 为正三角形.120OP321P【点评】以上五种证法，不仅实现了向量重要知识的一次大聚会，而且通过向量与三角、几何联姻，开阔了学生的眼界，培养了综合运用知识的能力.【例 4】如图，已知点 是 的重心，GABO求 ;BGA若 过 的重心 ，且 求证：PQ,ba,bnOQamP.31nm【思路分析】充分运用向量的几何形式运算
12、.及向量平行的定理及推论,把相关向量用已知向量表示即可.解： .0GOBA显然 M)(21ba因为 是 的重心，C所以 =3)(由 、 、 三点共线,有 共线,所以,有且只有一个实数 , PGQGQP.而 = - =O ,31)()(31bambaOQG,nban)(31所以 m= .又因为 、 不共线,所以)(abA M BQOP G第 8 页 共 16 页 8,消去 ,整理得 3 = ,故 .)31(nmmn31n【点评】建立 与 的关系关键是由 三点共线得出.为此要熟练运用已QGP,知向量表示未知向量.【例 5】如图,直三棱柱 ,底面 中,ABC1ABC, ,棱 ， 分别是 , 的中点.
13、 z1CBA902MN1求 的长;N求 , 的值;cos1求证 .BAMC【思路分析】以 为原点建立空间坐标系,写出有关点的坐标,并进行有关运算.解:如图,以 为原点建立空间直角坐标系 O- .xyz依题意得 =(0,1,0), =(1,0,1).N| |=BN222)01()()01(= .3依题意得 A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0), B1(0,1,2). =(1,-1,2), =(0,1,2).11CB| |= ,| |= ,3B615 , =cos1A|1B03依题意得 (0,0,2),M(1C)2,=(-1,1,-2), =( .B1M= .A 02x0(C)A
14、A1BNM B1C1y第 9 页 共 16 页 9 ， C .BA1MCBA1【点评】利用题中已知条件,选取恰当点建立空间坐标系,并写出相应点的坐标是这类题的关键.【例 6】四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 是一个平行四边形, , AB41,2=4,2,0, =-1,2,-1.AD求证:PA底面 ABCD;求四棱锥 PABCD 的体积;对于向量 定义一种运算:, 321 zyxczyxbzyxa( =)bc .1212313231 试计算( ) 的绝对值的值;说明其与四棱锥 PABCD 体积的关系,ABDP并由此猜想向量这一运算( ) 的绝对值的几何意义.ABDP【思路分析】根据所给向量
15、的坐标,结合运算法则进行运算.解: APAB042又 APAD,AB、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，,ADPAP底面 ABCD。设 与 的夹角为 ，则B,1053461428|cos ADV= | | |=31Bsin|P16493|( ) |=|-4-32-4-8|=48.它是四棱锥 PABCD 体积的 3 倍.猜测:| ( ) |在几何上可表示以 AB、AD、AP 为棱的平行六面体的ABD体积（或以 AB、AD、AP 为棱的直四棱锥的体积） 。【点评】本题考察空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的第 10 页 共 16 页 10充要条件、空间向量夹角运算公式和直线
16、与平面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.【例 7】如图,已知椭圆 ,直线 ： P 是 上一点，射线 OP1624yxl2x,18yl交椭圆与点 R，又点 Q 在 OP 上，且满足| OQ|OP|= .当点 P 在 L 上移动时，2|OR求点 Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.【思路分析】将 看作向量，则它们共线而切同向，利用向量共线OP,的充要条件，结合平面向量的坐标表示可迅速解题.解：设 ).,(),(),( RPyxyxyx 、 同向，且| OQ|OP|=OPQ OQROQP22 |,|,|,|22yRyxxP代入 L 方程得 1)8(|2yxOQ同向RyR|代入椭圆方程得 1)624(|xOQ由、得 不全为 0） ， 点 Q 的轨迹为椭圆yyx.(812（去掉原点）.35)(2)1(22x0yQPRl
