1、利用相似多边形的对应元素构造三角形相似武汉市第三寄宿中学 蔡剑雄近几年全国各省市中考出现了开放探究类热门试题，这也是符合新课改的精神，即应加强对学生探索学习过程与方法的考察，突出在图像变化过程中的观察、归纳与证明，涉及全等形、相似形等几何知识的综合应用，本文就此作一些探讨。例 1： 点 B、C 、E 在同一直线上，点 A、D 在直线 CE 的同侧，AB=AC、EC=ED、BAC=CED, 直线 AE、BD 交于点 F（1）如图 1，若BAC=，则AFB= (用含 的式子表示)（2）将图 1 中的ABC 绕 C 旋转（点 F 不与 A、B 重合）得图 2 或图 3，在图 2 中，AFB 与 的数
2、量关系是 ，在图 2 中，AFB 与 的数量关系是 BACDFCBADFEDCB AF图 1 图 2 图 3 解：（1）图 1、图 2 中，AFB=90- ，证明如下：1AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACEBCADECBD=CAE AFB=ACB=90- 12(2) 图 3 中，AFB=90+ ，证明如下：12AB=AC、EC=ED、BAC=CED ABCEDC ACB=ECD BCD=ACE BCDACEBCADE BDC=AEC AFD=ECD=90- 12AFB=180-AFD=9 0+ 12本题从两个相似的等腰三角形ABC、
3、EDC 出发，可得BCDACE。其中BCD的 BC、CD 边分别为ABC、EDC 的对应底边，而 ACE 的 AC、CE 边则分别为ABC、EDC 的腰，由原来两个相似三角形的对应边的特征去发现两个新的相似三角形，问题即可解决。还可作如下探究：例 2：A、C、E 三点在同一直线上，点 B、D 在直线 CE 同侧，且AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，M、N 分别为 BC、DE 中点，直线 MN、CD 交于点 F（1）图 4 中，若BAC=，则DFM= (用含 的式子表示)（2）将图 4 中的DAE 绕 A 旋转得图 5 或图 6，图 5 中DFM 与 的数量关系是 图 6 中DFM 与 的
4、数量关系是 FFANFMC EB DC ADEBCBEDAM N MN图 4 图 5 图 6解：（1）图 4、图 5 中，DFM=180- ，证明如下：12连结 AM、AN AB=AC 、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB= =NAD=NAE AMCAND 12ACDMN又CAD=CAM+MAD MAN=NAD+MAD CAD= MAN CAD MAN ACD= AMN CFM=CAM= DFM=180- CFM=180- 1212（2）图 6 中，DFM= ，证明如下：连结 AM、AN AB=AC 、AD=AE AMC=AND=90,MAC=MAB= =NAD=NAE AMCA
5、ND 12ACDMN又CAD=NAD-CAN MAN= MAC-CAN CAD= MAN CAD MAN ACD= AMN DFM=CAM= 12本题由两个相似的等腰三角形ABC、DAE 出发，由对应高之比等于相似比， 得AMCAND，其中 AM、AN 分别为ABC、DAE 的对应高，而 AC、AD为原三角形的腰构造了两个新的三角形相似，问题即可解决。类似的还可如此探讨：例 3：将正方形 ABCD、正方形 BEFG 如图 7 摆放，则 = ，DMC= DFCG将图 7 中的正方形 BEFG 绕 B 点旋转得图 8 位置，则 = ，DMC= MBACDG FABDCEGFEM图 7 图 8解：（
6、1）图 7 中， = ， DMC=45 证明如下：DC2连结 BD、BF 得 BD= BC BF= BG 又DBF=CBG=902 DBF CBG BDF=BCGFBGC DMC=DBC=45（2）图 8 中， = ， DMC=45 证明如下：连结 BD、BFD2得 BD= BC BF= BG ，又DBF=GBF+DBG=45+DBGCBG=CBD+DBG=45 +DBG DBFCBG BDF=BCG 2FBCGBDF=BCG DMC= DBC=45本题由两个正方形的对角线之比等于边长之比，构造了DBFCBG，其中DBF的两边由两个正方形的对角线 BD、BF 构成，而CBG 由两个正方形的边长
7、构成，找到了这样有特点的DBF、CBG，离解决问题就已经不远了。例 4：如图 9，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,B 与 D 重合，M、N、P分别是 CE、AB、DF 中点，则 MN 与 MP 的数量关系为 ，如图 10，AC=BC、ACB=90、ED=EF、DEF=90,C 与 D 重合，M、N、P 分别是 AF、BC、DE 中点，则 MN 与 MP 的数量关系为 ，ACBEF B CAEFMN PH GNMPH G图 9 图 10解：（1）图 9 中，MN=MP 证明如下：分别取 BC、BE 的中点 H、G , 连结 HM、HN、GM 、GP HN= AC MG= BC
8、 HM= DE PG= EF HN= MG HM= PG2121又可证得MHN= PGM MHNPGM MN=MP（2）图 10 中，MN= MP 证明如下：分别取 AC、DF 的中点 H、G , 连结 HM、HN、GM 、GP HN= AB MG= AC HM= DF PG= EF HN= MG HM= PG12122又可证得MHN= PGM MHNPGM MN= MPMNP本题中，借助两个相似的ABC、DFE 的中位线 HM、HN、GM、GP 来构造三角形全等或相似。在以上几例当中，都可由原相似三角形的或正方形的基础上，去构造新的全等或相似，因在证明的过程中涉及到的全等或相似往往有两次，学生不易掌握。但如果能归纳总结其内在规律性的方法，即依据原相似多边形的对应元素去构造三角形全等或相似，而这个对应元素可以是两个相似的等腰三角形的底边，如例 1；可以是两个相似的三角形的对应边上的高，如例 2; 可以是两个正方形的对角线，如例 3；可以是两个相似的三角形的对应边上的中位线，如例 4 等等。依据这些对应元素去发现或构造三角形全等或相似以后，问题将迎刃而解！关键词： 相似多边形 相似三角形 等腰三角形 对应参考文献： 2007 年武汉市中考题
