1、圆锥曲线与方程中的数学方法和技巧一、要掌握解析几何的基本方法坐标法求曲线的方程是解析几何的两大任务之一，要使求出的曲线方程简单优美，更容易研究性质，选择恰当的坐标系是关键课本中圆锥曲线的标准方程都是在选定恰当的坐标系下求出的，它们的形式都特别简单因此选择恰当的坐标系是简化曲线方程形式的关键例 已知抛物线形拱桥的顶点距离水面 2m 时，测得水面宽 8m，当水面升高 1m 后，求水面的宽度解：如图，以 为坐标原点，以与 平行的直线为 x 轴，建立直角坐标系抛物AB线的方程可设为 2(0)xpy在抛物线上，(4)B， 16( 4抛物线的方程为 ，得 28xy2x水面的宽度为 4m点评：本题也可以以
2、AB 所在直线为 x 轴，以 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系，但此种解法较繁琐，所以一般地，根据标准方程的图象性质建系，所得方程简单二、要重视求曲线方程的常用方法直接法、定义法、相关点法、待定系数法等1直接法是求轨迹方程的基本方法，直接利用题设条件建立 x，y 之间的关系即可例 2 已知直角坐标系内点 和圆 ，动点 到圆 的切线长与(20)Q，2:1OxyMO的比等于常数 求动点 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？MQ()M解：如图 2，设切点为 ，N则 ，221NO设 ，则 ，()xy，2xy21()整理，得 ，222()410xyx当 ，即 时，2101方程化为 ，它表示一条平
3、行于 轴的直线；54xy当 ，即 且 时，2101方程化为 ，223()xy它表示圆心为 ，半径为 的圆201，212定义法是指利用圆锥曲线的定义来解题特别地，当思路受阻或解法较繁琐时，回归定义，常能起到打通思路，简化计算的作用例 3 已知 ，椭圆过 两点，且以 点为其中一个焦点，(70)(21)ABC， AB，C求椭圆另一个焦点的轨迹方程解：设另一焦点为 ， ，且 ，()Pxy53A，PB， ，2BA B点 的轨迹是以 为焦点，实轴长为 2，焦距为 14 的双曲线的左支 ，故点 的轨迹方程为 P21(0)48yxx3相关点法又称代入法，其特点是动点 的坐标取决于已知曲线 上的点()Mxy，
4、C的坐标，可先用 表示 ，再代入曲线 的方程，即得点 的轨迹方程()xy，xy，CM例 4 已知点 是椭圆 上的任意一点， 为线段 上一点，且(20)AB21xyPAB，求点 的轨迹方程12APB解：设 ，则 ， ，()()xyB， 12x21y， 34 3代入 ，得 21xy22(4)(31xy点 的轨迹方程为 P294待定系数法是指在已知曲线类型的前提下，先设出曲线的方程再去求解的方法例 5 求焦点在坐标轴上，且经过 和 两点的椭圆的标准方程(32)A，(31)B，解：椭圆的方程可设为 210mxnyn椭圆经过 和 两点， (3)A，(3)B，解得 3412mn， 15n，所求椭圆的标准方程为 2xy点评：如果圆锥曲线的焦点位置不确定，就会很自然地想到分情况进行讨论，但本题如果分焦点在 x 轴，焦点在 y 轴两种情况讨论则比较繁琐，而上述解法避免了讨论因为若 ，则椭圆的焦点在 x 轴上，若 ，则椭圆的焦点在 y 轴上概括了应讨0nm 0mn论的两种情况，可见，使用待定系数法解题时，根据题设条件，恰当地选取待定系数是关键
