1、光的衍射是光的波动性的主要标志之一。历史上最早成功地运用波动光学原理解释光的衍射现象的是菲涅耳（1918年）。他把惠更斯在17世纪提出的惠更斯原理用干涉理论加以补充，发展成为惠更斯菲涅耳原理，从而完善地解释了光的衍射。要解决光波经小孔之类的衍射问题，应根据边值条件解波动方程。基尔霍夫运用数学上的格林公式成功地解决了这个问题，完善了菲涅耳的衍射积分公式，得出了菲涅耳基尔霍夫衍射公式，建标量波衍射理论。 过去的物理光学书中，均将衍射分为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射，认为菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射之间是由量变到质变的关系。为此还引入了所谓的傍轴条件和远场条件，这种解释是很牵强的。最近（1999年3月）在J
2、OSA上发表的一篇文章（参考文献8）从理论上严格地论述了菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别及两者的联系。,第三章 光的衍射,31 菲涅耳基尔霍夫衍射公式 菲涅耳基尔霍夫衍射公式：（31）公式中各符号的物理意义如图31所示。 R 点光源发出的球面波在衍射孔处的半径； r在衍射孔中球面波上任一点至接收屏上任一点的距离； b 衍射孔至接收屏的距离； 衍射孔的面积； A 点光源发出的球面波在衍射孔处的振幅。 称为倾斜因子 （32） 衍射孔面上任一点处的法线和入射波矢的夹角； 衍射孔面上任一点处的法线和直线的夹角。,四、光的偏振 光的干涉和衍射说明了光的波动性，光的偏振进一步证实光是横波。产生偏振的原因
3、是介质的折射率发生突变或是各向异性。第一章已讲到光波在界面折、反射时，产生偏振的现象（布儒斯特角），这就是折射率突变发生偏振的例子。当光波在各向异性均匀介质（晶体）中传播时，由麦克斯韦方程组得出的光矢量具有偏振光性质。光的偏振现象在科学技术中有着重要的应用。41 偏振光和自然光麦克斯韦的电磁理论阐明了光波是一种横波，即光矢量垂直于传播方向。若光矢量的振动方向在传播过程中方向始终不变，只是它的大小随位相变化，这种光称线偏振光。线偏振光是一种特殊的偏振光。此外，还有圆偏振光和椭圆偏振光。圆偏振光的特点是：在传播过程中，光矢量方向绕传播轴均匀地转动，端点轨迹是一个圆。椭圆偏振光的光矢量的大小和方向在
4、传播过程中均发生有规律的变化，光矢量端点沿着一个椭圆轨迹转动。从普通光源发出的光不是偏振光，而是自然光。自然光可以看作是具有一切可能的振动方向的许多光波的总和，即在观察时间内，光矢量在各个方向的振动几率和大小相同。自然光可以用两个光矢量互相垂直、大小相同、相位无关联的线偏振光表示，但不能将这两相位没有关联的光矢量合成为一个稳定的偏振光。,图 31,菲涅耳基尔霍夫衍射公式表示当一点光源发出的球面波遇到了障碍物（如一圆孔），在接收屏上就不会象自由传播那样得到均匀一片的照度。因为接收屏处的光矢量表达式已不再是标准球面波的形式。接收屏上任一点的复振幅应按（31）式计算。它是衍射孔处的波面上各点发出的子
5、波的干涉叠加的结果。应指出，倾斜因子和及的位置有关，积分起来很复杂。但在小孔比较小，点距中心也比较小时，特别是衍射孔处为会聚球面波时，和很小，可提到积分号外，使计算变得简单。下面无论在讨论圆孔衍射还是矩孔衍射时，均是这样处理的。,32 圆孔衍射32 圆孔衍射 圆孔衍射是轴对称的。故参考文献 8 在运用菲涅耳基尔霍夫衍射公式推导接收屏上的复振幅及光强分布时，采用的是圆柱坐标系。此时（31）式变为： （33） 积分后得： （34）其中， （35）表示自由传播时，接收屏上中心点处的复振幅 （平面波）； （发散球面波）； （会聚球面波）,（a） （b） （c） 图 32的物理意义如图32所示。由点光源
6、发出的光束若按直线传播，经衍射孔边缘的光线到达接收屏上点，表示点至接收屏中心的距离和衍射孔半径的比值，即 （37） （38）为接收屏上任一点至中心点的距离。为衍射孔上任一点至衍射孔中心距离。则为阶贝塞耳(Bessel)函数。若令 （39） （310）,则点光强为： （311）式中 a) b） 图 33 由于贝塞耳函数是常用的特殊函数（目前一些计算机软件中均有此函数），所以按上面公式计算接收屏上的光强分布很方便。,在没有得出上面公式以前，人们在计算菲涅耳衍射的光强分布时，采用的是数值积分法。图33（a）就是由数学积分法得出的菲涅耳波带数 时光强分布曲线（见参考文献16）。（b）为按上述公式计算的
7、光强分布曲线。两者完全相同。证明参考文献 8 的理论是正确的。应指出，在编计算程序时，n 的取值随菲涅耳波带数 而定， 越大，n的取值应越大。表31列出不同的对应的值。 表 31 由表31可以看出，当 比较小时，如 ，计算很简单，（34）变为： （312）即 （313）,菲涅耳衍射与夫朗禾费射上面给出的光矢量及光强解析表达式为一通用公式。在推导过程中，由于r和b相差很小，故在分子中用b代替了r。这即一些物理光学书中说的傍轴条件。实际上引入傍轴条件并没有什么太大的意义，它只对各干涉光束的振幅起作用。由光波叠加原理得知，不同振幅的光波干涉叠加只影响干涉条纹的对比度，何况一般r和b相差很小，振幅变化
8、并不大。实际上认为倾斜因子 也是基于这种设想。下面讨论所谓的远场条件，一些物光书中将公式（33）中位相的二次项满足下述条件 （314）称为远场条件，认为此时 这样公式（33）式中就没有了位相的二次项，积分变得简单，称之为夫朗禾费衍射。而不满足（314）的条件则为菲涅耳衍射。这种定义，使人很费解。似乎菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的区别只是量的差别。这无论在数学上还是在物理上均是不严谨的。,那么，菲涅耳衍射和夫朗禾费衍射的本质区别是什么？它们之间又有什么联系呢？由（33）式的位相二次项可以看出欲使 ，只有 或 。 的条件平面波衍射， ，接收屏位于无限远， 。 的条件会聚球面波衍射时，若接收屏垂直通过该
9、面球心，则 ， 。因此，可以得出结论：菲涅耳衍射是普遍现象。夫朗禾费衍射是菲涅耳衍射的特例。只有两种情况才能发生夫朗禾费衍射，即平面波衍射且接收屏位于无限远，这是无法实现的；另一种情况是会聚球面波衍射，接收屏垂直通过波面球心。这种情况经常遇到，因为成像光学系统的接收器件如分划板、照相底片、CCD器件等均位于成像面上，接收器件上接收的均是夫朗禾费衍射光强。所以虽然夫朗禾费衍射是特殊情况，但对成像光学系统却是普遍的，夫朗禾费衍射对光学仪器具有重要的现实意义。三、菲涅耳数的物理意义一些文献，特别是论述激光原理的书中，定义为菲涅耳数。顾名思义它表示菲涅耳波带数。但这只适用于平面波衍射。对于球面波衍射，
10、具有通用意义的菲涅耳数应为： （315）当平面波衍射时， ， 。,比如一望远镜或照相物镜，其焦平面处 ，为夫朗禾费衍射，菲涅耳波带数为零。这是因为对于理想光学系统，焦点位于球面波的球心上。焦前或焦后则为菲涅耳衍射，这时非常小，尽管很大，菲涅耳数仍很小。所以，此时只考虑是没有意义的，必须讨论才能正确反映衍射特性。这里顺便指出，这类系统的和均很小，倾斜因子，所以本章开始指出的忽略倾斜因子处理，是根据实际情况而做出的。正如粱铨廷教授在物理光学一书中所说：“菲涅耳衍射的定量解决仍很困难。在许多情况下，需要利用定性和半定量的分析、估算来解决问题”。研究菲涅尔衍射时采用的是菲涅耳波带法和菲涅耳积分法，菲涅
11、耳数也是由此来引出来的。文献 8 成功地解决了这个问题。而且从光矢量的振幅解析表达式得出和菲涅耳波带法及菲涅耳积分法同样的结论，下面论述这个问题。四、圆孔衍射解析表达式的物理意义利用贝塞耳函数母函数的概念，经数学推导，文献 8、9、10 得出： （316） （317） （318）,称为振幅衰减系数。点光强为： （319）由（316）式可以看出，接收屏上任一点的振幅由两项构成：一项为几何波（即直线传播光束），另一项为衍射波（非直线传播光束）。两者均受到振幅衰减系数 的调制。对于衍射波，其振幅按零阶贝塞耳函数分布，而其位相由两项构成： 反映衍射孔边缘子波（边界波）对接收屏上各点的作 用。 反映衍射
12、孔中心子波对屏上任一点p的作用。此讨论是经过严格数学推导得出的，它比所谓的边界衍射波理论更准确、更完善。此外，对于接收屏中心点 ， ， 代入（319）式，得： （320）,显然，当 ) （321）即波带数为奇数时，中心点是亮的，波带数为偶数时，中心点是暗的。这和菲涅耳波带法得出的结论是一致的。（316）式用来分析圆孔衍射的物理意义是有用的，但计算起来比用（34）式及（311）式还复杂，虽然计算结果一致。文献 8 给出了振幅衰减系数的近似表达式，即 （322） a) 近似曲线 b) 精确曲线 图 34,时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大时，仍应按准确公式计算。 由上面分析、讨
13、论可以看出，光波遇到障碍物时，振幅和光强与自由传播明显不同。光能重新分布，接收屏上光强分布不再是均匀的。在几何阴影区外（ ） 也会有照度，这便是衍射现象。 时的近似和精确光强曲线。可见两者非常接近。若菲涅耳数大 33 光学系统像点附近的光强空间分布、瑞利（Rayleigh）判断与斯托列 尔(Strehl)准则 在应用光学中评价光学系统成像质量有两条标准：一为瑞利判断，另一为斯托列尔准则。由像点附近的空间光强分布可以证明这两条标准实际是一回事。 一、像点附近的空间光强分布 早在1885年，洛梅耳(Lommel)就论述了一个点光源的单色像由圆孔衍射造成的 离焦性质，并为此引入了洛梅耳函数，对照明区
14、和几何阴影区采用不同的公式计算（见光学原理一书）。最新出版的文献 10（2000年2 月）利用文献8给出的解析表达式，计算了像点附近的光强分布。,首先讨论振幅衰减系数取近似值的情况。由于此时 （光轴上点）或 （几何阴影区边界上的点），所以 仍是准确的。故分析这两种特殊情况公式仍可用。将像面中心点光强归化为1，且令 、 ，则光强表达式（319）式变为： （323） （323）成像面上， ，为夫朗禾费衍射光轴上， ， 几何阴影区边界， ；,其次要准确计算空间任一点的光强，应采用准确表达式，此时 （324） 在像面处建立直角坐标oxyz，x轴为光轴方向，yz为像平面。由于是轴对称的，故xy平面和xz
15、平面情况相同。在xy平面， ， ， , 如图35所示。 将有关数代入（324）式，经推导并将像面处轴上点光强归化为1，得： 图 35 （325）,上式改为： （326）式中 (327)光强为： 在像面处， ， ； （328） 上式便是许多文献已给出的圆孔夫琅禾费衍射光强计算公式。这再次证明上文引用的圆孔衍射解析表达式是通用公式，既适用于菲涅耳衍射，又适用于夫琅禾费衍射。即 为圆孔夫琅禾费衍射（像面上），其它空间区域为菲涅耳衍射。,图36是按圆孔衍射解析表达式计算的像点附近光强的空间分布，其 中， nm ， 。 图36（a）为空间光强分布曲线， 图36（b）为平面截取的光强分布曲线。 图36（c
16、）为沿光轴方向的光强分布曲线。 图36（d）为像面上光强分布曲线， 即艾利斑。图316（e）为 垂轴截面光强分布曲线。 图36（f）为 垂轴截面光强分布曲线。,瑞利判断与斯托列尔准则 瑞利判断和斯托列尔准则是评价光学系统成像质量的两个原则。瑞利认为当“实际波面与参考波面之间的最大波像差不超过 4时，此波面可看作是无缺陷的。”斯托列尔认为当“衍射光斑中心亮度与理想衍射斑中心亮度的比值 时，则光学系统的成像质量可视为完善的”。实际上，此两种评价标准均是对目视光学系统（望远镜和显微镜）而言，是根据人眼对亮度变化的敏感度得出的，理论上可以证明两者是一回事，见参考文献12。,应明确清晰成像这一概念。由空
17、间光强分布图可以看出，光学系统像面附近的光强绝大部分集中在一个圆柱区内。此圆柱直径 ，长为 。只要接收器件放在此区域内，就可认为成像是清晰的。因为中心亮斑尺寸变化不大，只是中心亮度变了。这对非目视光学系统（如摄影系统）给定光学系统公差是有指导意义的。但是，对于目视光学系统，由于人眼对光斑中心亮度变化是很敏感的，斯托列尔指出实际衍射光斑中心亮度和理想成像光斑中心亮度比 时，眼睛就会感觉这种变化。图37给出离焦 时，垂轴截面的光强曲线。此时光斑中心亮度恰为理想像面光斑中心亮度的0.8倍。这可以作为确定景深和定焦精度的依据，亦可作为目视光学系统给定公差的标准。显然考虑到像面前后，则此范围为 ，恰为应
18、用光学书中所说的一倍焦深，而它是由瑞利判断（ ）导出的。瑞利判断是瑞利一百年前经实验给出的，在理论上并没有证明。这里在理论上证明了瑞利判断，同时使它和斯托列尔准则统一起来。由此可见，目视光学系统的公差并不是根据成像是否清晰，而是根据眼睛对光斑中心亮度变化的灵敏度确定的。,三、光学系统的分辨角 瑞利除研究了眼睛对单个衍射斑中心亮度变化灵敏度外，还讨论了两个衍射光斑光强叠加后，眼睛对亮度差的灵敏度。他认为当一个艾利斑的中心恰位于另一艾利斑的第一暗环上时，即两衍射斑相距为中心亮斑的半径r时，眼睛可以感到亮度的明暗变化，如图3所示。此时 （329） 式中 称为光学系统的最小分辨角， 它是艾利斑第一暗环
19、到光学系统光瞳中心的张角，D为光瞳直径。 道斯（Dawes）则认为，当两艾利斑距离恰为0.85r时，眼睛就能分辨。此时 （330） （329）式和（330）均可做为确定光学系统或零件分辨率的依据。,图 38,四、巴比涅（Babinet）原理 根据圆孔衍射和巴比涅原理可以得出圆屏（球）和圆环衍射的解析表达式。由于篇幅所限，这里只介绍巴比涅原理，关于圆屏（球）和圆环衍射的解析表达式读者可参阅光学学报2000年第三期有关文章（参考文献11。由此文章可以看出圆屏（球）衍射时，接收屏中心始终是亮的。 巴比涅指出，在一对衍射屏中，如果一个屏的透光部分恰为另一个屏的遮光部分，称此二屏为互补屏。设其中一个屏的
20、衍射光场复振幅为 ，另一个衍射光场复振幅为 ，则互补屏产生的衍射光场，即合成复振幅为自由传播的复振幅。即 （331） 这就是巴比涅原理。如图39所示。 a） b) 图 39 两个互补屏,34 矩孔衍射、狭缝衍射、衍射光栅 和圆孔衍射不同，至今尚无人导出矩孔衍射的通用解析表达式，即矩孔菲涅耳衍射的解析表达式。故本节只限于讨论当 （接收屏位于透镜像面上）时的夫朗禾费衍射。一、矩孔衍射 讨论矩孔衍射采用直角坐标系比较方便。图310为产生矩孔衍射的光路图。由于没有了位相因子的二次项，菲涅耳基尔霍夫衍射公式大为简化。积分后得其复振幅表达式为： 图 310 夫琅和费矩孔衍射,（332）光强为： （333）
21、或简写为： （334） 式中 ； （335）图311给出平面光强曲线。图312给出平面衍射图样。,二、单缝衍射 如果矩孔一个方向的宽度远大于另一个方向的宽度，如 ，矩孔就变成了狭缝。单缝的夫朗禾费衍射光路（如图313）所示，由于 ，y方向的衍射效应可忽略。光强表达式为： （336） 图 313 单缝夫琅和费衍射装置中央亮纹半角宽度为： （337）,三、多缝衍射 多缝夫琅禾费衍射装置（如图314）所示。图中是与图面垂直的线光源，位于透镜 的焦平面上，G是开有多个等宽等间距狭缝（缝宽为a，缝距为d）的衍射屏，缝的方向与线光源平行。1、衍射光强分布 每个单缝均发生衍射，单缝衍射场之间相干，多缝夫朗禾
22、衍射的复 振幅分布是所有单缝夫琅禾费衍射振幅的干涉叠加。 透镜 后焦平面处的接收屏上任一点的单缝衍射复振幅为： （338）相邻单缝在点产生的位相差为： 图 314 多缝夫琅和费衍射的实验,多缝在点产生的复振幅是个振幅相同、位相差相等的多光束干涉的叠加 点光强为: (339) （339）式中包含两个因子：单缝衍射因子 和多光束干涉因子两者相乘相当于无线电学中的调制。,衍射图样多缝衍射的亮纹和暗纹的位置可以通过分析干涉因子和衍射因子的极大值和极小值得到。由分析干涉因子得知，当 ) （340）或 （341）时，有极大值，其数值为 ，称为主极大。式（340）又称为光栅方程。它表明主极大的位置与缝数无关
23、。当 等于 的整数倍，而 不是的整数值时，即 , , 时，它有极小值，其数值为零。不难看出，在两个相邻主极大间有 个零值。相邻两个零值之间（ 的角距离 （342）主极大和相邻零值间角距离也是如此。故 称为主极大的半角宽度。它表明缝数 越大，主极大的宽度越小，反映在观察面上亮纹越细。,此外，相邻零值间有次极大。次极大的强度与它离开主极大的远近有关，但主极大旁边的最强次极大，其强度也只有主极大强度的 。显然，次极大的宽度也随 增大而减小。当 很大时，它们将与零值点混成一片，成为衍射图样的背景。图315（c）给出了四缝衍射的光强分布曲线。图315（a）为干涉因子曲线， 图 3-15 4缝衍射的强度分
24、布曲线,图315（b）为衍射因子曲线。显然（a）经（b）调制后得（c）。由图315（c）可以看出，各级主极大强度为： （343）零级主极大强度最大，等于 。当干涉因子的某级主极大恰与衍射因子某级零值重合时，这些主极大被调制为零，对应的主极大就消失了。这种现象称为缺级。缺级的条件是： （344）式中m为干涉因子的级次,n为衍射因子的级次。图316给出不同缝数的衍射图样。,四、衍射光栅 多缝的缝数N很大，缝宽a和缝距d很小就变成了衍射光栅。衍射光栅的种类很 多，分类方法也不尽相同。按对光波的调制方式划分，可分为振幅型和位相型；按工作方式划分，可分为透射型和反射型；按形状划分，又可分为平面光栅和凹面
25、光栅；按对入射波的空间划分，又分为二维平面光栅和三维体积光栅；按制作方式划分，又可分为机刻光栅、复制光栅及全息光栅等。此外，随着制造工艺的发展，现在已可以制造缝宽和缝距为波长级的光栅，此时已不能用标量波衍射理论去分析，而应用矢量波衍射理论设计光栅。因篇幅所限，这里只讨论衍射光栅的基本工作原理及其分光性能。1、光栅方程 （341）式是正入射时的光栅方程。下面以反射光栅为例，导出更为普遍的斜入射情况的光栅方程。如图317所示，设平行光束以入射角斜入射到反射光栅上，并且考察的衍射光与入射光分居于光栅法线的两侧，当入射光束到达光栅时，两支相邻光束的光程差为 。 图 317 光束斜入射到反射光栅上发生的衍射,因此，光栅方程的普遍形式为： ) （345）在考察与入射光同一侧的衍射光时，上式取正号；考察与入射光异侧的衍射光时，上式取负号。公式（345）对透射光栅也适用。3、光栅的色分辨本领和干涉仪类似，光栅的色分辨本领定义为： （348）根据谱线的半角宽度（351）式及角色散表达式（355），得 （349）光栅色分辨本领为： （350） 上式和 干涉仪的色分辨本领计算公式在形式上是一样的，但这里的 是光栅的刻线数，又称光栅数，它是一个很大的数。虽然 干涉仪和光栅色分辨本领都很高，但 干涉是靠高干涉级m得到的，光栅是靠大光栅数N得到的。,
