1、表1 FIR数字滤波器设计方法及函数调用格式设计方法 调用方法 调用格式 说明窗函数法Fir1Fir2b=fir1(n,Wn)b=fir2（n，f，m）n为阶数；Wn为截止频率f，m为期望幅频向量和幅值向量最优化设计法FirlsRemezRemezordb=firls(n,f,a)bremez(n,f,a,w) n ,fo ,ao ,w =remezord (f ,a ,dev)两者仅算法不同，f为频率点向量，n为指定频率点幅度响应，w为权系数Fo为归一化频率边界，ao为频带内幅值，w为权向量最小二乘法FirclsFircls1b=fircls(n,f,a,up,lo)b=fircls1(n,
2、wo,dp,ds)up,lo为每个频带上边界和下边界频率，f，a为期望幅频特性的频率向量和幅值向量。Wo 为截至频率，dp为离幅值1的最大偏差，ds为阻带离幅值0的最大偏差。3.1 窗函数法设计 FIR滤波器窗函数设计法又称为傅里叶级数法。这种方法首先给出 ，()jdHe表示要逼近的理想滤波器的频率响应，则由 IDTFT可得出滤波器的单位()jdHe脉冲响应为1()2jjkddhkHed(3-1) 由于是理想滤波器，故 是无限长序列。但是我们所要设计的 FIR滤波dhk器，其 hk是有限长的。为了能用 FIR滤波器近似理想滤波器，需将理想滤波器的无线长单位脉冲响应 分别从左右进行截断。当截断后
3、的单位脉冲响应d不是因果系统的时候，可将其右移从而获得因果的 FIR滤波器。dhk另一种设计方案是将线性相位因子 加入到理想滤波器的频率响应(0.5)jMe中，然后利用 IDTFT计算出 后，取 在 0kM 范围的值为 FIR滤波dhkdhk器单位脉冲响应。理想滤波器的频率响应 和设计出的滤波器的频率响应 的()jdHe ()jdHe积分平方误差定义为221()()j jdeed(3-2)也可以表示为222dkhk(3-3)12220 1Mdd dkk kMhhh 上式中的第一项和第三项与所设计出的滤波器参数是没有关系的，为了使上式中的第二项达到最小，可选择,0dhkk(3-4)所以用上面的方
4、法得出的滤波器是在积分平方误差最小意义下的最佳滤波器。Gibbs现象就是理想滤波器的单位脉冲响应 截断获得的 FIR滤波器的dhk幅度函数 在通带和阻带都呈现出振荡现象。随着滤波器阶数的增加，幅度()A函数在通带和阻带振荡的波纹数量也随之增加，波纹的宽度随之减小，然而通带和阻带最大波纹的幅度与滤波器的阶数 M无关。窗函数的主瓣宽度决定了过渡带的宽度，窗函数长度 N增大，过渡带减小。()jdHe下面介绍一些常用的窗函数，用 N=M+1表示窗函数的长度。（1） 矩形窗10kMkotherwis(3-5)矩形窗的主瓣宽度为 。用矩形窗设计的 FIR滤波器过渡带宽度近似4N为 。1.8N（2） Han
5、ning窗(3-6)20.5.cos()(0)()kkMktherwiHanning窗的主瓣宽度为 。由 Hanning窗的定义可知，Hanning 窗在8N其两个端点的值为零，这就使得在实际的应用中不能利用两个端点的数据。我们可将 N+2点的 Hanning窗除去两个端点来定义长度为 N的 Hanning窗。修改后的长度为 N的 Hanning窗定义为(3-2(1)0.5.cos(0)()kkMktherwi7)在 Matlab信号处理工具箱中所采用的就是这种修改后的定义方式。（3） Hamming窗对升余弦加以改进，可以得到旁瓣更小的效果，窗形式为(3-8)0.54.6cos(2/)(0)
6、()kMkkotherwi与汉宁窗相比，主瓣宽度相同为 ，但旁瓣幅度更小，旁瓣峰值小于8N主瓣峰值的 1%。（4） Blackman窗为了更进一步抑制旁瓣，可再加上余弦的二次谐波分量，得到 Blackman窗(3-9)240.4.5cos()0.8cos()(0)()kkMMwktherwiBlackman窗的主瓣宽度为 。1N（5） Kaiser窗此种窗是一种应用广泛的可调节窗，它可以通过改变窗函数的形状来控制窗函数旁瓣的大小，从而在设计中可用滤波器的衰减指标来确定窗函数的形状。长度为 N的 Kaiser窗定义为(3-10) 200(1() ,0kIMk kI其中 是一个可调参数，可以通过改
7、变 的值来调整窗函数的形状，从而达到不同的阻带衰减要求。上式中的 是零阶第一类修正贝塞尔函数。可用幂级0()Ix数表示为(3-11)201(/)()!nnxIx对于任意的一个实变量 x，函数的值都是正的。在实际计算中，上式的求和一般取 20项就能达到所需精度。随着参数 的增加，Kaiser 窗在两端的衰减是逐渐加大的。窗函数法设计FIR数字滤波器的最简单的方法是窗函数法，通常也称之为傅立叶级数法。FIR数字滤波器的设计首先给出要求的理想滤波器的频率响应 ,设计()jwdHe一个FIR数字滤波器频率响应 ，去逼近理想的滤波响应 。然而，()jwHe j窗函数法设计FIR 数字滤波器是在时域进行的
8、，因而必须由理想的频率响应推导出对应的单位取样响应 ，再设计一个FIR数字滤波器的单位取()jwdHe ()dhn样响应 去逼近 。设计过程如下：hn()dn（3-*() ()IDTFwnDTFj jde He 1）加窗的作用是通过把理想滤波器的无限长脉冲响应 乘以窗函数 来()dhn()wn产生一个被截断的脉冲响应，即 并且对频率响应进行平滑。()()dhnwMATLAB工具箱提供的窗函数有：矩形窗(Rectangularwindow)、三角窗(Triangular window)、布拉克曼窗(Blackman window)、汉宁窗(Hanningwindow) 、海明窗(Hamming
9、window)、凯塞窗(Kaiser window)、切比雪夫窗(Chebyshev window)。窗函数主要用来减少序列因截断而产生的Gibbs效应。但当这个窗函数为矩形时，得到的FIR 滤波器幅频响应会有明显的 Gibbs效应，并且任意增加窗函数的长度（即FIR 滤波器的抽头数） Gibbs效应也不能得到改善。为了克服这种现象,窗函数应该使设计的滤波器：（1） 频率特性的主瓣宽度应尽量窄,且尽可能将能量集中在主瓣内；（2） 窗函数频率特性的旁瓣趋于 的过程中，其能量迅速减小为零。2. 窗函数法设计步骤3.1用窗函数设计FIR滤波器的步骤为: (1)选择窗函数类型能够和长度，写出窗函数w（
10、n）表达式。根据阻带最小衰减选择窗函数w(n)的类型，再根据过渡带宽确定所选窗函数的长度N。(2)构造希望逼近的频率响应函数 。根据设计需要，一般选择相)(jwdeH应的线性相位理想滤波器（理想低通，理想高通，理想带通，理想带阻）。应当注意，理想滤波器的截止频率wc点（对低通滤波器 ）近似为)0(21ggH最终设计的FIRDFD的-6dB频率。(3)计算： dweHnh jnjwdd )(21)(4)加窗得到设计结果： )()(nwhnd.1 窗函数法的 Matlab实现在窗函数法的 Matlab实现中，程序中经常使用的函数有 fir1和kaiserord。 程序中fir1函数的用法：b=fi
11、r1(n,Wn,ftype,window)n为滤波器的阶数Wn为滤波器的截止频率，它是一个0到1的数。如果Wn是一个含有两个数的向量，则函数返回一个带通滤波器ftype为滤波器的类型，ftype=high时，设计的是高通滤波器；ftype=stop时，设计的是带阻滤波器；没有此参数时，设计的是低通滤波器window为指定的窗函数，矩形窗为boxcar(n)，汉宁窗为hanning(n)，海明窗为hamming(n)，布莱克曼窗为blackman(n)，凯撒窗为kaiser(n,beta)，没有此参数时，默认为hamming窗程序中kaiserord函数的用法：n,Wn,beta,ftype=k
12、aiserord(f,a,dev,Fs)f是一个向量，为设计滤波器过渡带的起始点和结束点a是一个向量，指定频率段的幅度值dev是一个向量，长度和a相同，为各个通带和阻带内容许的幅度最大误差n为能够满足要求的滤波器的最小阶数Wn为滤波器的截止频率ftype为根据待设计滤波器的要求得到的滤波器的类型高通滤波器是容许高频信号通过、但减弱（或减少）频率低于截止频率信号通过的滤波器。对于不同滤波器而言,每个频率的信号的减弱程度不同。它有时被称为低频剪切滤波器；在音频应用中也使用低音消除滤波器或者噪声滤波器。低通滤波器与高通滤波器特性恰恰相反。(1) 利用窗函数法设计低通滤波器设计要求：使用 hammin
13、g窗，采样频率 2000Hz通带截频 0.1 ，阻带截频 0.17通带衰减小于等于 0.1dB，阻带衰减大于等于 50dB程序参见附录二中的 1-（1）利用窗函数法设计低通滤波器0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000-140-120-100-80-60-40-20020信 信 /信 信信信/信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-1 窗函数法设计低通滤波器的增益响应从参考程序及图4-1可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为2000Hz，滤波器的阶数为266滤波器的通带截频0.1 ，阻带截频0.17 ，过渡带宽0.07 通带衰减为0.0
14、19dB，阻带衰减为53dB对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2-1012信 信 /信信信信 信 信 信 信 信 信 信0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000100200300信 信 /信 信信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-2 信号滤波前的时域图和频域图0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-2-1012信 信 /信信信信 信 信 信 信 信 信 信0
15、100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000020406080信 信 /信 信信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-3 信号滤波后的时域图和频域图从图4-2和图4-3的图像中可以看到：输入信号是由两个不同频率的正弦信号叠加而成，信号频域图中位于滤波器通带内的频率分量保留了下来，位于滤波器阻带内的频率分量被滤除，滤波器的效果符合设计要求。（2） 利用窗函数法设计带通滤波器设计要求：使用 Kaiser窗，采样频率 8000Hz通带截频 0.325 与 0.5525 ，阻带截频 0.25 与 0.6025阻带衰减大于等于 40dB，通带和阻带波纹 0.01程序参
16、见附录二中的 1-（2）利用窗函数法设计带通滤波器0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000-120-100-80-60-40-20020信 信 /信 信信信/信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-4 窗函数法设计带通滤波器的增益响应从参考程序及图4-4可以得到所设计出滤波器的参数如下：滤波器的采样频率为8000Hz，滤波器的阶数为90滤波器的通带截频0.325 与0.5525 ，阻带截频0.25 与0.6025 ，过渡带宽0.075 与 0.05阻带衰减为40dB，通带和阻带的波纹均为0.01对比设计要求与所设计出滤波器的参数可知，其各项参数均满足设计
17、指标，所设计出的滤波器即为设计所要求的滤波器。0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-4-2024信 信 /信信信信 信 信 信 信 信 信 信0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000050100150信 信 /信 信信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-5 信号滤波前的时域图和频域图0.005 0.01 0.015 0.02 0.025-4-2024信 信 /信信信信 信 信 信 信 信 信 信0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000020406080信 信 /信 信信信信 信 信 信 信 信 信 信图4-6 信号滤波后的时域图和频域图从图4-5和图4-6的图像中可以看到：输入信号是由四个不同频率的正弦信
