1、1第三章 目标规划第一节 目标规划的数学模型目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。一、举例例 1 某厂生产、两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。生产有关数据表 拥有量原材料 （公斤） 2 1 11设备台时（小时）利润 （元/件）1821010用线性规划方法求解：设、两种产品产量分别为 x1，x 2 0,28ma
2、x121z可得 Z=62 元，X=（4，3） T但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：据市场信息，产品销售量下降，要求产品产量低于产品产量；2尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；达到并超过计划利润指标 56 元。这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。下面结合上述例题介绍有关建立目标规划数学模型的基本概念。二、目标规划基本概念1. 设 x1，x 2 为决策变量，并引入正、负偏差变量 d+、d 正偏差变量 d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量 d表示决策值未达到目标值的部分，d +，d 0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有 d+d 0。2.绝对
3、约束和目标约束绝对约束指必须严格满足的“，” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d +、d ”表示，称为软约束。约束的一般形式为： iiiji gdXC式中 第 个目标约束的目标值；ig目标约束中决策变量的参数；ij以目标值 为标准而设置的偏差变量。iid、 ig线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。例如，例 1 中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x1 + 10x
4、2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x1 + 10x2 =56 + d+ d ；而同样，线性规划问题的绝对约束：2x 1 + x2 11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x 1 + x2 = 11 d 。建立约束需注意的问题时：3（1）对于绝对约束， 则为资源限制值，上式中不加 。ig iid、（2）非负约束是指偏差变量非负， ，至于决策变量是否要0iid、求非负，依具体问题要求决定。（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。（4）如果有明显的目标要求，可在 中只选一个。iid和3.优先级与权系数要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标
5、是有主次之分的。要求首先达到的目标赋予优先级 P1，稍次者赋予 P2 ，。这里规定：不同级目标重要性差异悬殊，P k Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数 wj 。4.目标函数目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d+、d ，优先级 Pk 与权系数 wj 所构成的。与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量 xj 。当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。因此，目标规划问题的目标函数只能是：Min Z = f (d+，d )。其基本形式
6、有下列三种：要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f (d+ + d )要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f (d+ )要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式：min Z = f ( d )由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看作是绝对的。决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目4标函数。下面举例说明。例 2 某构件公司商品混凝土车间生产能力为 20t/h，每天工作 8h，现有2 个施工现场分别需要商品混凝土 A 为 150t，商品混凝土
7、B 为 100t，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：原材料消耗、拥有量 R 单位利润表A B 拥有资源量水泥/t 0.35 0.25 50t砂/t 0.55 0.65 130t单位利润/元 100 80（1）充分利用生产能力；（2）加班不超过 2h；（3）产量尽量满足两工地需求；（4）力争实现利润 2 万元/天试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。解：1.确定变量设 分别为两种混凝土的产量。21x、2.约束条件（1）目标约束：级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。P其中要求160121dx 01d级：要求可以加班，但每日不超过 2h，即日
8、产量不超过 200t。2其中要求221x2级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。3P其中要求15031dx03d5其中要求1042dx04d因需求量不能超过其需求，故 =043，级：目标利润超过 2 万元。4P其中要求208015dx 05d（2）资源约束水泥需求不超过现有资源：502.35.01x砂需求不超过现有资源： 36.21（3）非负约束 )51(0021 ，、， idxii3.目标函数依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即 100:80，故 W1=5，W 2=4。故目标函数为 54321min )5(dPdPdZ整理得该问题的目标规划模型
9、为：目标： 54321in )(P约束条件： 60121dx2531x042d208521dx.35.61306.5.021x)521(，、， idxii例 3 例 1 的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品产量低于产品产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达到并超过计划利润指标 56 元，求决策方案。解 按决策者的要求，分别赋予三个目标不同的优先级 P1，P 2，P 3。然后建立目标规划模型如下：min z = P1d1+ + P2(d2+d2 ) + P3d32x1 + x2 11x1x 2 + d1 d1+ = 0x1 +2x2 + d2 d2+ = 108x
10、1 +10x2 + d3 d 3+ = 56x1，x 2，d i ，d i+ 0， i = 1，2，3目标规划数学模型的一般形式：njdx mibaKkgdxcwpzkjnj iji kkjjk klKklLl ,21,0, ,)( ,1,)(mi11 建立目标规划数学模型时，需要确定目标值，优先级，权系数等，它们都具有一定的主观性，模糊性，通常采用专家评定法给予量化。7第二节 目标规划的图解法对于只有两个决策变量的目标规划数学模型，可采用图解法分析求解，这对于了解目标规划一般问题的解题思路也很有帮助。下面用例 2 加以说明。类似于线性规划，先在平面直角坐标系第一象限绘出各约束条件。绝对约束的
11、作图与线性规划相同，对于目标约束，先绘出 di+，d i = 0 对应的直线，然后在直线旁相应侧标注 di+，d i ，如图 3-1 所示。根据目标函数中的优先级对下图进行分析，即可找到满意解（由于目标规划问题常出现非可行解，因此称目标规划问题的最优解为满意解） 。图 3-1 例 2 的目标规划的图解由图可见，首先考虑绝对约束：2x 1 + x2 11，解的可行域为三角形 x2B11d1 d1+d2d2+A0 5.5 7 d3+ 10 x1FEd3D CG80AB，然后按优先级 P1，目标函数中要求 min d1+，解域缩减至 0BC 内；再按优先级 P2，目标函数中要求 min (d2+d2
12、 )，解域缩减至线段 ED 上；最后按优先级 P3，目标函数中要求 min d3 ，因此最终满意解域为线段 GD。可求得相应坐标：G（2，4） ，D（10/3，10/3） 。GD 的凸线性组合都是该目标规 划的解。目标规划问题求解时，把绝对约束作为最高优先级（但不必赋 P1）例中能依次满足 d1+=0，d 2+d2 =0 d3 =0，因此 z*=0。但大多数情况下并非如此，还可能出现矛盾，这可以通过下面的例子加以说明。例 3 某电子设备厂装配 A、B 两种型号同类产品，每装配一台需占用装配线 1 小时。每周装配线开动 40 小时，预计每周销售：A 产品 24 台，每台可获利 80 元；B 产品
13、 30 台，每台可获利 40 元。该厂确定的目标为：第一目标：充分利用装配线每周开动 40 小时；第二目标：允许装配线加班，但加班时间每周不超过 10 小时；第三目标：装配数量尽量满足市场需求。要求建立上述问题的数学模型并求解。解 设 x1， x2 分别为产品 A、B 的计划产量。对于第三目标，由于每台A 产品利润是 B 产品的 2 倍，因此取其权系数分别为 2，1。建立目标规划模型：min z = P1d1 + P2d2+ + P3(2d3 +d4 )x1 + x2 + d1 d1+ = 40x1+ x2 + d2 d2+ = 50x1 + d3 d3+ = 24x2 + d4 d4+ =
14、30x1，x 2，d i ，d i+ 0， i = 1，2，3，4E d2+d1+DB GF Hx2d3 d3+d4+d4-d1-d2-0 24 A C x19图 3-2 例 3 的目标规划的图解由图 3-2 可见，在考虑了第一目标和第二目标之后，x 1 和 x2 的取值范围为 ABCD。考虑 P3 的目标要求时，由于 d3 的权系数大于 d4 ，应先满足d3 = 0，因此这时 x1 和 x2 的取值范围是 ACEH，而其中只有 H 点使 d4 取值最小，故取 H 点为满意解。其坐标为（24，26） ，即该厂每周应装配 A 产品24 台，B 产品 26 台。 （可与 G 端点的结果比较一下利润上的差别。 ）对于多于两个变量的情况，类似于线性规划，可用单纯型法求解。
