1、第 1 页高考数学二轮复习名师精编精析-不等式的应用高考在考什么【考题回放】1(北京) 若不等式组 表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（ 20xya ， ， ， D ） 或43a 1 413 01a 432(福建) 已知 为 R 上的减函数，则满足 的实数的取值范围是（C）()fx(|)(1ffxA （1，1） B （0，1） C （1，0） （0，1） D （，1） （1，）3 （陕西）已知不等式 对任意正实数 恒成立，则正实数的最小值为 ()9axy,xy（B）（）8 （）6 （C）4 （D）24 （重庆）若动点（ ）在曲线 上变化，则 的最大值为（ yx, )0(142byx y
2、x2A ）A B)4(2,04b)2(2,4bC D25(重庆）一元二次方程 有一个正根和一个负根的充分不必要条210,()axa件是 （ C ）A B C D0a11a6、(浙江卷)已知 则不等式 5 的解集是 ,)(xf )2()(xfx.23,高考要考什么第 2 页不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一，作为解决问题的工具，与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用均值不等式求最值问题、本难点提供相关的思想方法，使考生能够运用不等式的性质、定理和方法解决函数、方程、实际应用等方面的问
3、题. 突 破 重 难 点【范例 1】已知函数 的图象与 轴分别相交于点 A、B，bkxf)(yx,（ 分别是与 轴正半轴同方向的单位向量） ，函数 。jiAB2i,y, 6)(2xg（1）求 的值；bk,（2）当满足 时，求函数 的最小值。)(xgf)(1xfg解：（1）由已知得 ,0, bkABbkA则于是 .21,2b（2）由 ,6),(xxgxf得即 4204)( 得 ,515)(12xxfg由于 ，其中等号当且仅当 x+2=1，即 x=1 时成立，3)(,0fg则 时的最小值是 3.)(1xfg【范例 2】已知 a， b， c 是实数，函数 f(x)=ax2+bx+c， g(x)=ax
4、+b，当1 x1 时|f(x)|1.(1)证明：| c|1；(2)证明：当1 x1 时，| g(x)|2；(3)设 a0，有1 x1 时， g(x)的最大值为 2，求 f(x).第 3 页命题意图：本题主要考查二次函数的性质、含有绝对值不等式的性质，以及综合应用数学知识分析问题和解决问题的能力.属较难题目.知识依托：二次函数的有关性质、函数的单调性是药引，而绝对值不等式的性质灵活运用是本题的灵魂.错解分析：本题综合性较强，其解答的关键是对函数 f(x)的单调性的深刻理解，以及对条件“1 x1 时| f(x)|1”的运用；绝对值不等式的性质使用不当，会使解题过程空洞，缺乏严密，从而使题目陷于僵局
5、.技巧与方法：本题(2)问有三种证法，证法一利用 g(x)的单调性；证法二利用绝对值不等式：| a| b| ab| a|+|b|；而证法三则是整体处理 g(x)与 f(x)的关系.(1)证明：由条件当=1 x1 时，| f(x)|1，取 x=0 得：| c|=|f(0)|1，即| c|1.(2)证法一：依题设| f(0)|1 而 f(0)=c，所以| c|1.当 a0 时， g(x)=ax+b 在1，1上是增函数，于是g(1) g(x) g(1)，(1 x1).| f(x)|1，(1 x1)，| c|1， g(1)=a+b=f(1) c| f(1)|+|c|=2，g(1)= a+b= f(1)
6、+ c(| f(2)|+| c|)2，因此得| g(x)|2 (1 x1)；当 a0 时， g(x)=ax+b 在1，1上是减函数，于是 g(1) g(x) g(1)，(1 x1)，| f(x)|1 (1 x1)，| c|1| g(x)|=|f(1) c| f(1)|+|c|2.综合以上结果，当1 x1 时，都有| g(x)|2.证法二：| f(x)|1(1 x1)| f(1)|1，| f(1)|1，| f(0)|1， f(x)=ax2+bx+c，| a b+c|1，| a+b+c|1，| c|1，因此，根据绝对值不等式性质得：|a b|=|(a b+c) c| a b+c|+|c|2，|a+
7、b|=|(a+b+c) c| a+b+c|+|c|2， g(x)=ax+b，| g(1)|=|a+b|=|ab|2，函数 g(x)=ax+b 的图象是一条直线，因此| g(x)|在1，1上的最大值只能在区间的端点 x=1 或 x=1 处取得，于是由| g(1)|2 得| g(x)|2，(1 x1 .)21()( )21()( )21()( ,)2)(4:2 22 xff cxbacbaxg证 法 三第 4 页当1 x1 时，有 0 1，1 0，21x21x| f(x)|1，(1 x1)，| f |1，| f( )|1；)(x因此当1 x1 时，| g(x)| f |+|f( )|2.21(3)
8、解：因为 a0， g(x)在1，1上是增函数，当 x=1 时取得最大值 2，即g(1)=a+b=f(1) f(0)=2. 1 f(0)=f(1)212=1， c=f(0)=1.因为当1 x1 时， f(x)1，即 f(x) f(0)，根据二次函数的性质，直线 x=0 为 f(x)的图象的对称轴，由此得 0 ，即 b=0.a2由得 a=2，所以 f(x)=2x21.【范例 3】已知二次函数 的图像经过坐标原点，其导函数为 .数列fy26xf的前项和为 ，点 均在函数 的图像上.nanS*,Nnxfy（）求数列 的通项公式；a（）设 ， 是数列 的前项和，求使得 对所有 都成13nbTnb20mT
9、n*Nn立的最小正整数.点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数 f(x) ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于 f(x)=6x 2,得a=3 , b= 2, 所以 f(x) 3x2 2x.又因为点 均在函数 的图像上，所以 3n2 2n.(,)nSN()yfxnS当 n2 时 ， an Sn Sn 1（ 3n2 2n） 6n 5.)1(32n（当 n 1 时， a1 S1 312 2 61 5， 所以， an 6n 5 （ ）N第 5 页（）由（）得知 ，13nab5)1(6(3n)16(2n故 Tn （1 ）.i12 )(.)37()(因此，要使 （ 1 ） （ ）成立的 m,必须且仅须满足 ，即6n20mnN20mm 10，所以满足要求的最小正整数 m 为 10.
