1、第 1 页高考二轮名师精编精析-求通项公式求通项公式高考在考什么【考题回放】1. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn，且 Sn=2(an -1)，则 a2 等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -22在数列 na中， 2,a，且 21)nna*N，则 10S 35 3在数列an中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项 an=_2 n+1-3_.4对正整数 n，设曲线 )1(xyn在 x2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 na，则数列1an的前 n 项和的公式是 2n+1-2 .5.已知数列 的前项和29nS，则其通项 na ；若它的第 k项满足58ka
2、，则 . 2n-10 ; 86.已知数列 n对于任意*pqN，有 pqpa，若 19a，则 3647. 已知正项数列an，其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1, a3, a15 成等比数列，求数列an的通项 an .解析 10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2 an12)+6(anan 1)，即(an+an1)(an an15)=0 an+an10 ， anan1=5 (n2) 当 a1=3 时，a3=13，a15=73 a1， a3，
3、a15 不成等比数列a1 3;当 a1=2 时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， a1=2， an=5n3 高考要考什么一、 根据数列an的前 n 项和求通项 Sn= a1+ a2+ a3+ + an 21nSan已知数列前 n 项和 Sn,相当于知道了 n2 时候 an,但不可忽视 n=1.二、由递推关系求数列的通项1. 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推 qpann1,我们通常将其化为 Aapann1看成bn的等比数列。3.利用换元思想（变形为前一项与后一项成等差等比关系，直接写出新数列通项化简得 an） 。第
4、2 页4.对含 an 与 Sn 的题，进行熟练转化为同一种解题，注意化简时 n 的范围。 突 破 重 难 点【范例 1】 ).1(0521681 naaannn且满 足 记).1(2nabn（）求 b1、b2 、b3、b4 的值；（）求数列 nb的通项公式及数列 nb的前 n 项和 .nS解析（I）,052168,2121 nnn aaa代 入 递 推 关 系得整理得,34,0364111 nnn bbb即 .2,8,2, 43a所 以有由（）由,0324),(,4111 bbbnnn所以故的 等 比 数 列公 比是 首 项 为 ,2,3qn1212414112,(). ,3 2()53()(
5、21).13nn nnnnnnnnbbbabSaa 即即【变式】数列 na中， 12， 1nac（是常数， 2n， ， ， ） ，且 123a， ， 成公比不为的等比数列 （I ）求的值；（II）求 n的通项公式解：（I） 1， 2c， 3c，因为 a， 2， 3成等比数列，所以2()(3)，解得 0c或 2第 3 页当 0c时， 123a，不符合题意舍去，故 2c（II）当 n 时，由于21c，3a，1()nc，所以 1(1)2()2n nac又 1， c，故 (23)nan， ， 当 1n时，上式也成立，所以2(12)na， ，【范例 2】设数列 na的首项113(0234nna， ， ，
6、 ， ， ， （1 ）求 n的通项公式；（2）设 nnb，证明 1nb，其中为正整数解：（1）由13234nna， ， ， ， ，整理得 1()2nna又 10a，所以 n是首项为 1a，公比为 的等比数列，得11()2n（2 ）方法一： 由（1）可知302na，故 0nb则1nb222 2211339(3)() ()(1).4nnnnnnaaaaa第 4 页又由（1）知 0na且 1n，故210nb，因此 1nb， 为正整数方法二：由（1）可知3nna，因为 132nna，所以 11(3)2nnnab由 n可得3()nnna，即22()nnnaA两边开平方得2nnnaA即 1nb， 为正整数
7、【变式】已知数列 中，对一切自然数，都有10,an且 021nnaa求证：(1)； (2)若 S表示数列 na的前项之和，则 12aSn解析： (1)由已知 021nna得21n，又因为 10,an，所以 , 因此 a，即 na(2) 由结论(1)可知 1212annn，即12，于是212111nnnSa aa ，即 12aSn【范例 3】由坐标原点 O 向曲线 )0(32bxxy引切线，切于 O 以外的点 P1),(1yx，再由 P1 引此曲线的切线，切于 P1 以外的点 P2 2,y） ，如此进行下去，得到点列 Pn n,.求：（） )2(1x与 的关系式；第 5 页（）数列 nx的通项公
8、式；（） （理）当 时， nP的极限位置的坐 解析 （）由题得 baxf63)(2 过点 P1（ ,1yx的切线为 ),0()(: 111 xfyl1l过原点 322111113()36,.2axbaba即又过点 Pn（ ,)ny的 :()nnlyfx因为 l过点 Pn-1（ 1,)x 11()nnfx整理得 .0)(32 121 nnnxa1 1()()0, 23.2n nx a即（）由（I）得 1().2nnax所以数列xn-a是以 公比为 的等比数列 .)21()21( axax nnnn （）,(limlian.23li3abfyn nP点的极限位置为（ ).,3b【点睛】注意曲线的切
9、线方程 11:()lyfx的应用，从而得出递推式求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知 Sn，求通项，破解方法：利用 Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3 ）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。【变式】已知函数 f (x)= 32x，数列x n(x 0)的第一项 x n1，以后各项按如下第 6 页方式取定：曲线 x=f (x)在 )(,1nxf处的切线与经过（0，0）和（x n,f (x )）两点的直线平行（如图）.求证：当 n *N时，() x ;2312nn（）21)()2(nnx.解、 (I ) 证明：因为 ,f所以曲线 ()yx在 1,()nx处的切线斜率 123.nkx即 (0,)和 ,nf两点的直线斜率是2,n以21nx.（II）因为函数2()hx，当 0x时单调递增，而2113nnnx214n211()nnx，所以 1n，即,nx因此2121().nn又因为 122(),nnxx令2,nnyx则.ny因为211,y所以12()().n因此22(),nnx故12()().nnx
