1、1楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时 6 节)周 次第 16 周 (2008.6.9-2008.6.15)课 题第十四章 幂级数14.1幂级数学 时2学时教学内容（主要）一.幂级数的定义二.幂级数的收敛区间三.幂级数的运算教 学 目 标1.理解幂级数的定义2.深刻理解并掌握求幂级数收敛区间的基本方法3.深刻理解并掌握幂级数的运算法则教学重点1.幂级数的定义2.求幂级数收敛区间的基本方法3.幂级数的运算法则教学难点1.求幂级数收敛区间的基本方法2.幂级数的运算法则教学方法与手段分析教学方法、探索式的教学方法、讲练结合以练为主教学方法(借助多媒体辅助教学)教 学 进 程(教学设计)
2、第十四章 幂级数14.1幂级数一.幂级数的定义定义 1(1).级数20102000n nn naxaxaxax 叫做关于 的幂级数.(2).级数2010n naxax 叫做关于 的幂级数.2二.幂级数的收敛区间问题 1:设 在 收敛,探究 收敛与 收敛的关系.0nax00nax0nax探究:由于.0nnnuxx而 收敛,故 ,于是存在 ,使得 .故0nax0limnaM0naN.00nnxuxa若 ,即 ,则 收敛,于是由比较判别法 在01x0, 10nx0nax收敛,故 在 绝对收敛.又由 判别法 在,0nax, Mn一致收敛.0x于是,我们有定理 1(阿贝尔定理).若 在 收敛,则对任何的
3、 ,0nax00hxna在闭区间 上绝对收敛,且一致收敛.,h收敛( )0xh0h0x问题 2:设 在 发散,探究 发散与 发散的关系.0na10nax1na探究:因为 发散,故在 外,即 和 处处发nx1,x,散,这是因为,若 在 和 内有收敛点 ,则由定理 1,0na,x1,0在 内收敛,而 ,故 在 收敛.矛盾.0nax,x10,x0nax1于是,我们有推论 1.若 在 发散,则当 时, 发散.0n110n收敛发散 发散( ) ( )0x101x03推论 2.若 在 收敛,又 在 发散,则存在唯一的 使得0nax00nax1 0r在 内绝对收敛,而在 外处处发散.0nxr,r发散 发散收
4、敛) ) ) ( ( ( ( ) ) ) ) ( ( (1xr000xr1定义 2.设 0na(1).若 仅在 收敛,则令 .nx0r(2).若 在 收敛,则令 .0na(3).若 在 收敛,又 在 发散, 则令x00nax11supnr收 敛上述的 叫做 收敛半径, 叫做 收敛区间,收敛区间加上收r0nax,r0nax敛端点叫做 收敛域.n问题 3:设 ,探究 收敛的收敛半径的计算公式.0nax0nax探究:由于.11nnnuaxx若 ,则1lim0nal(1).当 时, ;若 ,即 ,则 绝对收l 1linuxl1lxl0nax敛,若 ,即 ,则 发散.故 .1lxl0narl(2).当
5、时, , ,故 在 收敛,于是0l1im1nuxlxR0naxR.r(3).当 时, , ,故 在 发l1linlux0n散,仅在 收敛,故 .0xr8若 则 .1lim,nalinal于是,我们有定理 1.若 或 ,则 的收敛半径 ,且收敛1li,nlimnl1nax1rl区间为 . ,r定理 2.若 或 ,则 的收敛半径 ,且1li,nalinal01nnxrl收敛区间为 . 0,xr例 1.求下列幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域.(1). ;(2). ; (3). ; (4). . 12n1!nx1nx21nnx解:(1).因 ,故 .2limlilimnnnar又当 时, 发散.2x
6、111nnnx当 时, 收敛.2故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为 .1nxr21,2(2).因 ,故 .1!1limlilim0nnar故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为 .1!nxr,(3).因 ,故 .lililinna0r故 的收敛半径为 .1nx0r(4).因 ,故 .221limlilim1nnnar又当 ,即 时, 收敛.21x3x2211nnx当 ,即 时, 收敛.故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为 .21nnxr31,3例 2.求下列幂级数的收敛半径,收敛区间,收敛域.7(1). ; (2). ; 211nnx21!nnx(3). ; (4). . 2
7、9n 123n解:(1). 1 21 21limli limnnn nxux x故当 ,即 时, 收敛,而当 ,即2x1nx 21时, 发散.于是 .11nnr又当 时, 收敛.x211 12nnnx当 时, 收敛.1n故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为 .12nxr1,(2). ,12 21 !limli lim0nnnnxu xnx.,x故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为21!nnxr.,(3). .221222191limli lim99nnnnxux x故当 ,即 时, 收敛,而当 ,即29x3x2219nnx2时, 发散.于是 .13x221nn r又当 ,即 时,
8、收敛.4x222119nnx当 ,即 时, 收敛.3xnn故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域为 .2219nn3r42,47(4). ,故2321 2221 1limli lim33nnnnxux x当 ,即 时, 收敛,而当23xx21213nnx2即 时, 发散.于是 .213nr又当 ,即 时, 收敛.xx21221 33nnx当 ,即 时, 收敛.1nn故 的收敛半径为 ,收敛区间为 ,收敛域21213nnxr 3,为 .3,例 3.求下列幂级数的收敛域.(1). ; (2). ; (3). .12nnx1lgnx21nx解:(1).令 ,则 ,于是t112nnt,故 收敛半径
9、,于是13limlilim3nna 12nnt1r收敛区间为 .12nnt,由 ,得 .1x由 ,无解;由 ,得 .当 时, 1x0x发散.1122nn故 收敛域为 .x,(2).令 ,则 ,于是 收敛半径 ,收敛区间为lgt11lgnnt1nt1r.1,由 ,得 .lx0x由 ,得 ;由 ,得 .g1lg0x7当 时, 发散.10x1lgl0nnnx当 时, 发散.111nnn故 收敛域为 .1lgnx0,(3).令 ,则 ,于是 收敛半径 ,收敛区间为t2211nnt21nt1r.,由 ,得 ,或 .1xx由 ,得 ;由 ,得 .11当 时, 发散.2211nnx当 时, 发散.xnn故
10、收敛域为 .21n,三.幂级数的运算(a) 2010n naxax (b) 2n nbb 定义.若幂级数(a)与(b)在某 内有相同的和函数,则称幂级数(a)与0U(b)在 内相等.0,U定理 1.若幂级数(a)与(b)在某 内相等,则它们的同次幂系数相等,即,2nab定理 2.若幂级数(a)与(b)的收敛半径分别为 ,则abr. (1)00,nnacaxcxr. (2),nnnnbbxr= . (3)0nax0n0,nc其中 . mi,abkrrc70a102a 0n 0a102a 0n1 1 12 2 230132 3n 30132 3n nana nana 课后教学总结课 外 作 业习题 1.(1)-(8).50P实 践 与 思 考单元测试与分析
