1、1楚雄师范学院数学系课程教案(数学分析(二),周学时 6 节)周 次第 12 周 (2008.5.12-2008.5.18)课 题第十二章 数项级数12.1 级数的敛散性学 时2 学时教学内容（主要）一.背景问题二.级数收敛与发散的定义三.将无限循环小数化为分数教 学 目 标1.深刻理解级数的背景问题2.深刻理解并掌握级数收敛与发散的定义3.熟练掌握将无限循环小数化为分数的基本方法教学重点1.级数的背景问题2.级数收敛与发散的定义3.将无限循环小数化为分数的基本方法教学难点1.级数的背景问题2.级数收敛与发散的定义3.将无限循环小数化为分数的基本方法教学方法与手段分析教学方法、探索式的教学方法
2、、讲练结合以练为主教学方法(借助多媒体辅助教学)教 学 进 程(教学设计)第十二章 数项级数12.1 级数的敛散性一.背景问题问题 1.根据数的加法的结合律及交换律,将有限个数 相加,可以定义为12,.nu将这有限个数依次相加,即.12.nu12341.nu问题 2.古人语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.把每天截下的那一部分的长度依次相加起来,即为尺子之长.即.234.2n 问题 3.一般地,将无限个数 相加,是否可以定义为将这无限个数依次1,.nu相加,即.12.nu2341.nuu5这样定义的合理性是,数满足加法的结合律及交换律.我们说数满足加法的结合律及交换律,是指, .ababc对于无
3、限个数相加,它要进行无限次的结合及交换,其结果的存在性及唯一性都难于确定.如将无限个数 相加,按上述办法定义,则1,.1.10.这是矛盾的.故不能按上述办法定义无限个数相加.探究: ().关于尺子之长问题 ,可以理解为(1) .先将有限个数 相加21,.n.23411.2n nnS (2).再取极限 .lim1nS(). ,可以定义为12,.u(1).先将有限个数 相加12.,nu.341.n nSu(2).再取极限 ,若此极限存在,则将其定义为 的和.linS 12,.,nu二.级数收敛与发散的定义定义 1.设有数列 ,将它的各项依此用加号连接起来的表达式nu12.nu叫做级数,记为 .即
4、,其中 叫做 的通项.1nn n1nu定义 2.设有级数 ,令 ,称它为 的 项 ,nu12.nSnn数列 叫的 数列.若极限 存在,则称 收敛,其极限叫做 的和,nS1limn1nu1u记为 .即 .若极限 不存在,则称 发散.nulinSnSn例 1. 判定下列级数的敛散性.(1). , (2). , (3). .13n1n1651n解: (1).因为.2 13.1323nnn nS5故 ,因此 收敛,且 .1lim2nS13n132n(2).因为.23. 1nnn故 ,因此 发散.linS13n(3).因为 1.7965n n.11 11.63656nn 故 ,因此 收敛,且 .lim2
5、nS1651nn1例 2. 讨论 (几何 级数)的敛散性.10nar解: (1).当 时, 因为.nnSaa个故 ,因此 发散.limnS1nr(2).当 时 , 因为r.1naa.2 0n1.S故 ,故 不存在,因此 发散.22lim0,linnlimnS1nr(3).当 时 , 因为r.1.nnnarr个故 ,因此 收敛.li1naSr1n(4).当 时 , 因为.1.nnnarSr个故 ,因此 发散. limnS1na故 1,;.n rar收 敛 于发 散5例 3.判定下列级数的敛散性.(1). , (2). , (3). , (4). .123nn132n1n10na例 4.判定 (调
6、和级数)的敛散性.1n证明:因为.123nSn故 ,于是由数列的2 1. .12n nS准则, 发散.于是 发散.Cauchyn1n三.将无限循环小数化为分数任何一个分数均可化为无限循环小数,或 .012.nqap01212.nmqabp反回来, 01212.nmab 12123.00nnnmmbb012122.n.0nnmab0112.01nmnab0121212.nnmab.0.9mnab个 个即 .01212. 012012.9nmnnaba个 个例 1.将下列车无限循环小数化为分数(1). . (2). ,(3).2.345678901236780.解: (1). .459 (2). .0.15(3). .67890.课后教学总结课 外 作 业习题 1.(1)-(5)5P实 践 与 思 考单元测试与分析
