1、一章习题解答1.1 给定三个矢量 A、 B和 C如下：23xyze45xz求：（1） Aa；（2） ；（3） A；（4） AB；（5） 在 上的分量；（6）C；（7） ()B和 ()C；（8） ()C和 ()。解 （1）2212341413xyzA xyzeee（2） ()()xyzyz65xyz（3） BeA11（4）由 cosB147238，得 1cosAB1()5.238（5） A在 上的分量 BAcosAB17（6） C12350xyze4130xyzee（7）由于 B2xyz852xyzeA1304xyze104xyze所以 ()C(2)xyzeA(852)Bxz（8） ()ABC1
2、0452xyze05xyzee()380xyze541xyzee1.2 三角形的三个顶点为 1(,2)P、 (,3)和 (6,25)P。（1）判断 123是否为一直角三角形；（2）求三角形的面积。解 （1）三个顶点 (0,)、 2(4,)和 3(,)的位置矢量分别为yzre， 2xyzre， 625xyzre则 121zR， 2328Re，3367xy由此可见 12(4)(8)0zxyzeeAA故 123P为一直角三角形。（2）三角形的面积 1231231769.13SRR1.3 求 (,14)点到 (,)P点的距离矢量 及 的方向。解 3Pxyzre， xyzre，则 5且 R与 、 、 轴
3、的夹角分别为 11cos()cos()32.1xPxeRA110.475yyPcos()cos()9.3zz eRA1.4 给定两矢量 23xyze和 6xyzBe，求它们之间的夹角和 A在B上的分量。解 A与 之间的夹角为 11cos()cos()13297 AB 在 上的分量为 3.571.5 给定两矢量 234xyzAe和 64xyzBe，求 AB在xyzCe上的分量。解 AB23461xyze3210xyzee所以 在 C上的分量为 ()CAB()2514.3A1.6 证明：如果 和 ，则 BC；解 由 ，则有 ()，即()()()A由于 AB，于是得到 故 1.7 如果给定一未知矢量
4、与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 为一已知矢量， pAX而 P， p和 P已知，试求 X。解 由 P，有 ()()()()AA故得 1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,3)定出，求该点在：（1）直角坐标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。解 （1）在直角坐标系中 cosx、 4sin(23)y、 3z故该点的直角坐标为 (2,3)。（2）在球坐标系中 245r、 1ta)5.、 120故该点的球坐标为 5,.101.9 用球坐标表示的场 2rEe，（1）求在直角坐标中点 (3,45)处的 和 xE；（2）求在直角坐标中点 处 与矢量 2yzBe构成的夹角。解 （1）
5、在直角坐标中点 ,处， 22(3)4(5)0r，故1rEecos2205xrxA（2）在直角坐标中点 (3,45)处， 34xyze，所以23455102xyzreE故 E与 B构成的夹角为 19(02)cos()cos153.6BEA1.10 球坐标中两个点 1,r和 2,r定出两个位置矢量 R和 2。证明 1和2R间夹角的余弦为 121212coscosinsco()解 由 1inisxyzrrreee22222得到 1cosRA121212incsiosinsisncos1 12(c)i)co1.11 一球面 S的半径为 5，球心在原点上，计算： (3si)drSeA的值。解 (3sin
6、)d(3sin)dr rrSSeeAA2220in5i751.12 在由 、 0z和 4围成的圆柱形区域，对矢量 rze验证散度定理。解 在圆柱坐标系中 21()()32rzrA所以 42500d3d10z又 2()()rzrzSSSSeeeAA4522005d4d120r故有 1ASA1.13 求（1）矢量2223xyzxyee的散度；（2）求 A对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 对此立方体表面的积分，验证散度定理。解 （1）2 2()(4)7xyzA（2） 对中心在原点的一个单位立方体的积分为12221d(7)d24xyxzyzA（3） 对此立方体表面的积分 121222()d
7、()S zz12122dxx12 12323214()d4()24yyxy 故有 dASA1.14 计算矢量 r对一个球心在原点、半径为 a的球表面的积分，并求 rA对球体积的积分。解 2230ddsin4rSSeA又在球坐标系中，21()3r，所以 230dsind4araA1.15 求矢量2xyzee沿 xy平面上的一个边长为 2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与 轴和 轴相重合。再求 A对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。解 22220000ddd8CAl又 22xyzxzyee所以 0d()d8xzzS xyAA故有 8ClS1.16 求矢量2xye沿圆周 22xya的
8、线积分，再计算 A对此圆面积的积分。解 2ddCxyAl 42420(cosincosin)daaa ()xzzSSASee 4220diyrr1.17 证明：（1） 3R；（2） ；（3） ()AR。其中xyzRe， 为一常矢量。解 （1）xyzA（2） xyzeR0（3）设 xyzAee，则 xyzAR，故()()()xyzxyzAezxzexyze1.18 一径向矢量场 ()rfF表示，如果 0FA，那么函数 ()fr会有什么特点呢？ 解 在圆柱坐标系中，由 1d()rf可得到 ()Cfr为任意常数。在球坐标系中，由 21d()0rfFA可得到 2()fr1.19 给定矢量函数 xyEe
9、，试求从点 1(2,)P到点 2(8,1)的线积分dElA：（1）沿抛物线 2y；（2）沿连接该两点的直线。这个 E是保守场吗？ 解 （1） ddxClAdCx221()yy2164y（2）连接点 (,P到点 8,)直线方程为281xy即 640xy故 21dd(64)()dxyCEylA 21()d14y由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20 求标量函数 2z的梯度及 在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345500xyzee定出；求 (,31)点的方向导数值。 解 222()xyzzxxyeeze故沿方向345500lxyze的方向导数为26lxxylA点 (2,31)处沿 e
10、的方向导数值为 310155l1.21 试采用与推导直角坐标中yxzA相似的方法推导圆柱坐标下的公式1()zrA。解 在圆柱坐标中，取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场 沿 e方向穿出该六面体的表面的通量为 ()ddz zrr rArA (),(,)rrzz()()1r rAz同理 ddz rr zAAr(,)(,)zr Azrddrzz zrrrzoxyz题 1.21 图(,)(,)zzArArzzzAr因此，矢量场 穿出该六面体的表面的通量为 1rzrz 故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()limrzA1.22 方程22xyzuabc给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。解
11、由于 22xyzuabcee()()故椭球表面上任意点的单位法向矢量为 2222()()(xyzuxyzabcabcnee1.23 现有三个矢量 A、 B、 C为sinososinre22zzzre(3)xyxe（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。解（1）在球坐标系中 211()(sin)isir AArA2 1sncoco)(sin)i sirr s2i 0inrr2in1sinsirrAAee2 sin1 0sincoscosisrrrr reee故矢量 A既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表
12、示；在圆柱坐标系中 1()zrBB=221sin(cos)(sin)zrzr2iiir22110sincosinzr zrzBzr eee故矢量 B可以由一个标量函数的梯度表示；直角在坐标系中 yxzC=A22(3)()()0xz22(6)3xyzyeeC故矢量 可以由一个矢量函数的旋度表示。（2）这些矢量的源分布为0A， ；sinrB=， 0B；C， (26)zxye1.24 利用直角坐标，证明 ffAA解 在直角坐标中 ()()yxzxyzfffA()()()yx zAAAffffxyzfff1.25 证明 ()HHAA解 根据 算子的微分运算性质，有 ()()式中 A表示只对矢量 作微分运算， 表示只对矢量 作微分运算。由 ()abcb，可得()()()AA同理 HHA故有 1.26 利用直角坐标，证明 ()ffGG解 在直角坐标中 ( )()y yx xz zxffGeeef )(zyyxzzyxffffff所以 ff()()yzxzyGffzexy zGffx()()yz xye)yzxff(xzfGfze()yxzGfe()f1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明 ()0u及()0A，试证明之。解 （1）对于任意闭合曲线 C为边界的任意曲面 S，由斯托克斯定理有()dd0S CuullAA由于曲面 是任意的，故有 (0
