第十讲平面向量.doc

1、平面向量知识点归纳 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkygco 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为 0 的向量，记为 ，其方向是任意的， 与任意向量平行00单位向量：模为 1 个单位长度的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 相等向量：长度相等且方向相同的向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j h

2、tp:/w.xjkygco126t:/.j2、 向量加法：设 ，则 + = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j,ABaCbaABC（1 ） ；（2）向量加法满足交换律与结合律；0，但这时必须“首尾相连” ABCDPQR3、 向量的减法： 相反向量：与 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jaa向量减法：向量 加上 的相反向量叫做 与 的差，作图法： 可以表示为从 的终点指向 的终abbbba点的向量（ 、 有共同起点） 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4、实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作

3、，它的长度与方向规定如下：aa（） ； （ ）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方a00a向相反；当 时， ，方向是任意的 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j05、 两个向量共线定理：向量 与非零向量 共线 有且只有一个实数 ，使得 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jbaba6、平面向量的基本定理：如果 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量 ，有且21,e a只有一对实数 使： ，其中不共线的向量 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j21,a21,e二.平面向量的坐标表示1

4、 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标表示：平面内的任一向量 可表示成 ，记作 =(x,y)。 axiyja2 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量的坐标运算：(1) 若 ，则12,aybxy 12,bx(2) 若 ，则BxA2Ay(3) 若 =(x,y)，则 =( x, y)a(4) 若 ，则12,aybxy121/0abx(5) 若 ，则 若 ，则x yab02121yx三平面向量的数量积1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，则 = cos 叫做 与 的数量积（或内积） 头

5、htp:/w.xjkygcom126t:/.j ababab规定 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j02 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的投影： cos = R，称为向量 在 方向上的投影 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jb|aba3 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j数量积的几何意义： 等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j4 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的模与平方的关系： 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j|5 头htp:/w.xjkyg

6、com126t:/.j乘法公式成立： ； 22abab 22abab2ab6 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j平面向量数量积的运算律：交换律成立： 对实数的结合律成立： ababR分配律成立： cc7 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量 ，则 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j12(,)(,)axybab128 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j向量的夹角：已知两个非零向量 与 ，作 = , = ,则AOB= （ ）叫做向量 与OABb0018a的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t

7、:/.jbcos = = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.js,ab212yx当且仅当两个非零向量 与 同方向时，=0 0，当且仅当 与 反方向时 =180 0，ab9 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j垂直：如果 与 的夹角为 900则称 与 垂直，记作 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jabab10 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j两个非零向量垂直的充要条件 ： O 奎 屯王 新 敞新 疆 平面向量数量积的性质21yx例 1 给出下列命题： 若| | |，则 = ； 若 / ， / ，则 / ，ababca 若 = ， = ，则 =

8、 ， = 的充要条件是| |=| |且 / ；c b若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件； ABDC其中正确的序号是 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j例 2 设 A、 B、 C、 D、 O 是平面上的任意五点，试化简：特别注意：（1）结合律不成立：；cc（2）消去律不成立 不能得到abbc（3） =0 不能得到 = 或 = 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j ， ABCDBACDOACB例 3 已知向量 ， ，且 ，求实数 的值 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j(1,2)(,)2abxuabva/

9、uv例 4 已知两单位向量 与 的夹角为 ，若 ，试求 与 的夹角 头htp:/w.xjkygcom126t:/.jab012,3cabdacd例 5 已知 ， ，且 与 夹角为 120求4|a2|bab ； ； 与 的夹角。)(|2|ab例 6 已知向量 = ， = 。a)2,1(b),3(求 与 ； 当 为何值时，向量 与 垂直？|kbak3 当 为何值时，向量 与 平行？并确定此时它们是同向还是反向？kab平面向量高考精选1.设 ，向量 且 ，则xR(,1)(,2)axbab|（A） （B） （C ） （D）505102.设 a，b 是两个非零向量。下列选项正确的是（ ）A.若|a+b|

10、=|a|-|b|，则 ab B.若 ab，则|a+b|=|a|-|b|C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数 ，使得 b=aD.若存在实数 ，使得 b=a，则|a+b|=|a|-|b|3.设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 成立的充分条件是（ ）ab|abA、 且 B、 C、 D、|/ab/ 2ab4.设向量 =（ 1. ）与 =（-1， 2 ）垂直，则 等于 （ ）acoscoscos2A B C .0 D.-1215.已知向量 a = (1,1)，b = (2,x).若 a b = 1,则 x =（ ）(A) 1 (B) (C) (D)112126.若向量 ， ，则 （ ）(,

11、)AB(3,4)CAA. B. C. D. (4,66(2,)(2,)7.已知向量 a=（x-1,2） ，b=（2,1） ，则 ab 的充要条件是A.x=- 12 B.x-1 C.x=5 D.x=0二、填空题1.已知向量 夹角为 ，且 ；则,ab451,20ab_b2.设向量 ， ， ，若 ，则 _.)2,1(m),(),(mcca)(|a3 设单位向量 m=（x，y） ，b=（2，-1） 。若 ，则 =_4.已知向量 a=（1,0） ，b=（1,1） ，则（）与 2a+b 同向的单位向量的坐标表示为_；（）向量 b-3a 与向量 a 夹角的余弦值为_。5.已知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 的值为_， 的最大值为CBDE DCE_。