1、1南昌大学第三届高等数学竞赛理工类试题答案一、 填空题1、 3. 2、6 . 3、 . 2ln84、 或 或 . 5、 .5arcosarcsinarct ,1二、 选择题1、B 2、C 3、D 4、A 5、C三、 dyxIba10 dyxba10 ba y1ln .abl四、在 与 处分别将 展成一阶泰勒公式0x1xf, ,21210xfxfff 1,0, . 22211 ffxfxf ,上两式将 代入再相减,得.812ff因为,fffff 21212其中2, .21,maxfff 1,0从而.4f五、, ,yxfP2112xyfQ2ff ,x所以曲线积分与路径无关.设 ,则 .321CCB
2、AL原式 dyfdxf 23213 1943 22313yff4六、令 , 得 ,由 得0xy02f0f1ftxft0limtxt0lim tfxft1li0 f由 知对任意 , .于是0fx,dxff0,cxlnln,xfef03将 代入得 ,故 .10fcxfef0七、由 得 ,21lnim20xx 21lnlim2n于是 收敛,1lnn从而 存在,1l2limn故,0ln12limn由 得1lnim 1ln21limn八、设所求曲线方程为 ,xfy由题意得 且01f,3021xfxdfx两边求导并整理得,xfxf 26解一阶非线性微分方程得,cf21由 解得 ,故01f5cxx56九、先
3、计算 .dyzhI34将 分为六张平面:取后侧; 取前侧; 取左侧;0:1xax:2 0:3y取右侧; 取下侧; 取上侧. by4 05zcz6由于 , , , 在 平面上的投影区域是一线段,故1234xoy0dxyzhdzhdzhdxyzh 4321又 ,005 abxyba.chdchdxyzbyax06故有.abcI03同理可得,cfdyzxf.agbg0故 dxyzhydzxf abhc0bcf0acg0 hgf十、令 ,nnnI 12222311 222llllnI nii12ldxn10llim 24l5从而 ,即原式24limeIn 24e十一、令 ,则xS1nnx122nn,2x从 0 到 积分得x, .tdSxarctn1201再从 0 到 积分得, .20 lrt2rt xxx 1当 时, 也收敛,故收敛域为 .11nn1n,十二, .2yxz2yxz因而,12yxzSDdxyzx21 ,2y其中 是 ,于是 ,故 .xDdx4S2