1、第三章 柯西积分（25）一、内容摘要1. 复变积分的概念及其简单的性质。复变积分的定义：与普通实变函数积分相似，设 是复平面上 点到 点的一条lab光滑(或分段光滑)曲线, 复变函数 在 上连续。把曲线 任意分为 个弧段)(zf ln: ,在每个弧段 上任意取一点1kz0121,knazzb 1kz求和: ，当 时,即每个弧段kk,nk nkkkff11)()( n长趋于 0 时,若和的极限存在,则称此极限为函数 在 上的积分,记作:zfl. 将lnkkzfdzf1)(lim)(),)(,)fzuxyivdxiy代 入式,得 .lnkkff1li ll lfdu复积分的基本性质：(1) 若 分
2、为 段，则 .即全lnl,21 12()()()()nlll lfzdfzfzdfzd路径的积分等于各段路径上积分之和。(2) ，即几个函数和的积分等于各个函1212()()()l llfzdzfzfdz数积分的和。(3) .()()l lafzdfz(4) .其中曲线 与 的走向相反。llffl(5) .其中 ，是积分曲线 的弧元。llfzdfz 2dyxzdsl(6) ,其中 是 在积分曲线上取值的上界,即 ,lfMl)(f )(zfM是积分曲线的线长。2. 柯西积分定理及其推广单连通区域的柯西定理：若函数 在单连通区域 内解析,则沿 内任何一)(zfG条分段光滑的闭合围道 ( 可以是区域
3、的边界)的积分，即 .复连通区l ()0lfzdA域的柯西积分: 若 是复连通区域 内的单值解析函数,则zf. 01()()knl lfdfdzA上式中,所有的积分围道的走向都是逆时针(或都是顺时针)的。其中的是构成复连通区域 的边界的各个分段光滑的闭合曲线, 包nll,210 Gnll,21含在 的内部，并且所有的积分路径走向相同。不定积分或原函数：在区域 内满足 的函数 称为 在区域D()Fzf()Fz()fz内的一个不定积分或原函数。D3. 柯西积分公式及其推广Cauchy 积分公式：设 在有界区域 上单值解析, 的边界是分段光滑曲)(zfG线, 为 内任意一点,则 ，通常写为 。aG1
4、()2lfdiaA()2.()lfzdifaA定理: 如果 在有界区域 上单值解析, 则在 内 的任意阶导数都存在,且)(zfGG)(zf或 .() 1!2nnlf diA()1()2.!nnlfidz二、习题1. 填空题（1） =_,=3CdzIA1.Cz其 中 为 正 向 圆 周（2） = =_, 为包围圆周 的任意简单闭合曲线。I21z（3） =_,其中 ： 为正向， ： 为负向。123cosCIdzA1C2z2C3z（4） =_, =_,其中的积分围5cos=1lzId2=.1zleIdA道 是圆: . l（5） =_. 2cosbaIzd2分别沿 与 算出积分 的值。xy2idzyx
5、102)(3沿指定曲线的正向计算下列各积分：（1） . ,:21zCedA（2） .2,:za（3） . 23,:21izCediA（4） .,:z（5） . 231,:1()CdzCrzA（6） . 213,:()42CdzCzA（7） . sin,:Cz（8） . 2i,:()dzA4. 计算下列积分：（1） 。43(),412CdzCziA其 中 ： 为 正 向（2） 。2,-16i其 中 ： 为 正 向（3） 。1,25CdziiA其 中 为 以 为 顶 点 的 正 向 菱 形5. 设 在区域 内解析， 为 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：对)(fDC在 内,但不在 上的任意一点 ，
6、等式： 成立。0z 200()()CCfzfzddA6. 利用积分估值定理，证明：（1） ,积分路径是直线段。2ixy（2） ,积分路径是联 到 的右半圆周。2i i（3）证明 ，积分路径是直线段。2idz7. 计算 .111,zzzzd8. 由积分 之值证明：2cdz，其中 取单位圆周。012cos054dc9. 设 表示圆周 ，求 .C22371,()cxyfzzfi10. 设 在 内解析，试证明对任何 ，都有()fzaR(0)rR.201eiifafredr三、参考答案1. 填空题（1）0 .（2） .i4（3）0 .（4） , .512isin14（5） .2siiba2解：沿 ，yx
7、120()iydz120()(xidix120()ixid156i沿 ， .2yx11 1222200 015()()()()6iydzxidixixidi3. 解：（1）用柯西积分公式可得 .22.()zCedifieA（2）用柯西积分公式可得：.2111/()12.().() 2CCCzaidzddifaiaaz aAA（3）令 ，则 在 内解析，由柯西积分公式可得，()izef()fz.（4）利用单连通区域的柯西定理可得， .03CzdA（5）由单连通区域的柯西定理可知，函数 在区域内解析，则该积分为 0.()f（6）令 ,则 在区域内解析，又因为 2()1/4)fz()fz，所以可得2
8、1zizi2221/(4)1/(4)1/(4) ()4CCCCzzddzddiiiAAA .2.()0ifif（7）由柯西积分公式可得：.sin2.(0).sin0CzdifA（8）令 ，则 在 内解析，由高阶导数公式可得，()sifz()fz1.2in.()2.cos01!()Cidfiz4. 解：（1）有两个奇点 和 2 , 做两个小圆 把它包围起来,由复连通区域柯西1i12C定理可得2/2.()1izizCCeddifeA1 21122434343()()()21CCCdzdzdzziiizi iAAA.（2）有两个奇点 和- , 做两个小圆 把它包围起来，由复连通区域柯西i 12,C定
9、理可得 121 22 1/()/()CCCiiidzdzdziiAA.2.().()0ffi（3）因为 在 的内部，由柯西积分公式可得iC12.().12dzifiiiA5. 解：分两种情况：（1）若 在 的外部，则 及 在 内解析，由单连通区域的柯0zC0()fz20()fC西定理有.200()()CCfzfzddA（2）若 在 的外部，在 内解析的函数 ，其导函数 也是 内的0z ()fz()fzC解析函数，由柯西积分公式可得， .00()2.()CfzdifzA由高阶导数公式可得， .0020().()2.()1!Cfzifzifz4.03.4i所以， .200()()CCfzfzddA
10、综上，对在 内但不在 上的任意一点 ， .D0z200()()CCfzfzddA6.证明：（1）在 到 的直线段上 ，而此直线段的长度为 2，所以i21wiy，证毕。2ixy（2）设积分路径的参数方程为 ，即 ，从而沿,2itzetcos,inwtyt积分路径被积函数的模有一下估计，积分路径的长度为 ，所以242cosin1cosin1wiytt ，证毕。2ix（3）设积分路径的参数方程为 ，沿此积分路径有如下估计2,0ztit，所以 ，证毕。2114zt2idz7. 解：（1） . 210itzdei（2） .11zz（3） . 210itzde（4） .210zt8. 证明：22100sincosin(12cos)0i54zd d于是 ，200cos又由 ，221cos1cos54542dd 012cos54ttd所以 ，证毕。0s0co9. 解: 由柯西积分公式得当 时， ，于是3z2()(371)fziz，所以 .()2(61),fziz16)fi10. 证明：令 为圆周 ，由柯西积分公式(,),ifareuivrCzar得 ，又由柯西积分定理，有22011() iczfdedi ，两端乘以 后再取共轭得00icfzdruve 21ri，将式和式相加得201iver，证毕。22001()Rei iifaudfaredr
