1、第二章 圆锥曲线与方程 单元测试A 组题（共 100 分）选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1方程 231xy所表示的曲线是 （ ）（A）双曲线 （B）椭圆 （C ）双曲线的一部分 （D）椭圆的一部分2椭圆 142ayx与双曲线 12yax有相同的焦点，则 a 的值是 （ ）（A） （B）1 或 2 （C）1 或 （D）112 123.双曲线2xyab的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 （ ）（A）2 （B） 3 （C） 2 （D） 234. 若抛物线的准线方程为 x=7, 则抛物线的标准方程为 （ ）（A）x
2、 2=28y （B）y 2=28x （C）y 2=28x （D）x 228y5. 抛物线 y2= 4x 上一点 P 到焦点 F 的距离是 10, 则 P 点的坐标是 （ ）（A） （9, 6） （B） （6, 9） （C） （6, 9） （D） （9, 6）填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。6双曲线 的两个焦点分别为 F1、F 2, 双曲线上的点 P 到 F1 的距离为 12, 则 P 到x225y29 = 1F2 的距离为 .7双曲线 4yx的焦点到渐近线的距离等于 .8经过点 P(4,2)的抛物线的标准方程为 .9已知点 P(6, y)在抛物线 y2=2px (p0
3、)上，F 为抛物线焦点， 若|PF|=8, 则点 F 到抛物线准线的距离等于 解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10双曲线 12byax（a0,b0） ，过焦点 F1 的弦 AB(A、B 在双曲线的同支上)长为 m，另一焦点为 F2，求 ABF 2 的周长.11焦点在 y 轴上的抛物线上一点 P(m,3)到焦点的距离为 5, 求抛物线的标准方程.12已知抛物线 y2=6x, 过点 P(4, 1)引一弦，使它恰在点 P 被平分，求这条弦所在的直线 l的方程.B 组题（共 100 分）选择题：本大题共 5 题，每小题 7 分，共 35 分。在每小题
4、给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。13如果双曲线 136y4x2上一点 P 到它的右焦点的距离是 8，那么 P 到它的左准线距离是（ ）（A） （B） （C） （D）965 865 856 83614 设 0ka 2, 那么双曲线 与双曲线 有 （ ）x2a2k y2b2 + k = 1 x2a2 y2b2 = 1（A）相同的虚轴 （B）相同的实轴 （C）相同的渐近线 （D）相同的焦点15抛物线 y= x2 (a0)焦点坐标是 （ ）1a（A）(0, )或(0, ) （B）(0, ) （C） （0 , )或(0, ) （D）(0, )a4 a4 a4 14a 14a 14a16若抛物
5、线 y2= 2px (p0)上一点 P 到准线及对称轴的距离分别为 10 和 6, 则 p 的值等于（ ）（A）2 或 18 （B）4 或 18 （C）2 或 16 （D）4 或 1617过抛物线 y2= 2px（p0）的焦点 F 作一条直线 l 交抛物线于 A、B 两点，以 AB 为直径的圆和该抛物线的准线 l 的位置关系是 （ ）（A）相交 （B）相离 （C）相切 （D）不能确定填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分。18若方程 1ky2|x表示焦点在 y 轴上的双曲线，则它的半焦距 c 的取值范围是 .19若双曲线与椭圆 3672有相同焦点，且经过点 (15,4)，则该
6、双曲线的方程为 20在直角坐标系 xOy 中, 有一定点 A（2 ，1）,若线段 OA 的垂直平分线过抛物线2(0)ypx的焦点，则该抛物线的准线方程是 .21点 M 到点 F(0, 2)的距离比它到直线 l：y3=0 的距离小 1, 则点 M 的轨迹方程是 .解答题：本大题共 3 小题，共 41 分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22已知焦点在坐标轴上的双曲线, 它的两条渐近线方程为 y03x,焦点到渐近线的距离为 3,求此双曲线的方程.xolMBACF23双曲线21xyab(a0,b0)满足如下条件:(1) ab= 3;(2)过右焦点 F 的直线 l 的斜率为1，交 y 轴于点
7、 P，线段 PF 交双曲线于点 Q，且|PQ|:|QF|=2:1,求双曲线的方程.24过抛物线 y= x2 的顶点作互相垂直的两条弦 OA、OB, 抛物线的顶点 O 在直线 AB 上的射影为 P, 求动点 P 的轨迹方程.C 组题（共 50 分）选择或填空题：本大题共 2 题。25双曲线 12yx右支上一点( a, b)到直线 l：y = x 的距离 2d则 a+b= （ ）（A） （B ） （C） 21或 （D）或 21226已知抛物线 y2=x 与直线 y=k(x + 1)相交于 A、B 两点，则AOB 的形状是 .解答题：本大题共 2 小题，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27
8、. 直线 y=kx+1 与双曲线 x2y 2=1 的左支交于 A,B 两点,直线 l 过点（2,0）和 AB 的中点,求直线 l 在 y 轴上截距 b 的取值范围.28如图所示，点 ),0(,aF点 P 在 y轴上运动，M 在 x 轴上，N 为动点，且PNM,0 （1）求点 N 的轨迹 C 的方程；（2）过点 ),(a的直线 l（不与 x 轴垂直）与曲线 C 交于 A，B 两点，设点 )0,(aK， BA与 的夹角为 ，求证： .20参考答案xyABPOA 组一、1、C. 2、D. 3、C. 4、B. 5、D. 二、6、答：2 或 22. |PF2|12|=2 a=10，|PF 2|1210.
9、7、答：2. 焦点 F(3, 0)到渐近线 2x y0 的距离为 = 2.5698、答：y 2=x 或 x2=8y. 当抛物线焦点在 x 轴上时，设抛物线方程为 y2=ax，P 点代入解得a1；当抛物线焦点在 y 轴上时，设抛物线方程为 x2=ay，P 点代入解得 a8. 抛物线方程为 y2=x 或 x2=8y.9、答：4. 由|PF|=6 8,得 p=4，即焦准距等于 4.p2三、10. 解 |AF 2|AF 1|2a，|BF 2|AF 1|2a ，(|AF 2|AF 1|)(|BF 2|BF 1|)4a, 又|AF 1|BF 1|AB|m，|AF 2|BF 2|4a(|AF 1|BF 1|
10、)=4am.ABF 2 的周长等于|AF 2| |BF2|AB|4a 2m.11、 解：依题意，设抛物线方程为为 x2=2py (p0)点 P 在抛物线上，到准线的距离为 5，又点 P 到 x 轴的距离为 3，所以准线到 x 轴的距离为 2， 2，p 4，抛物线方程为 x2=8y.p212、解：设 l 交抛物线于 A(x1,y1)、B(x 2,y2)两点，由 y12=6x1、y 22=6x2，得 (y1y 2)(y1+y2)=6(x1x 2)，又 P(4, 1)是 A、B 的中点，y 1y 2=2，直线 l 的斜率 k= 3 ，直线 l 的方程为 3xy11= 0.y1 y2x1 x2B 组四
11、、13 、选 A. 设 P 到右焦点的距离为|PF 1|8 ，则 P 到左焦点的距离|PF2|2a |PF 1|24. e ，P 到左准线的距离 d .54 |PF2|e 96514、选 D. 15、 B. 将抛物线方程化为 x2= ay，当 a0 时，p ，焦点为(0, )，a2 a4当 a2. c 2=k 1k22k31，c1.192145yx双 曲 线 的 方 程 为20. 答： 5x. OA 的垂直平分线的方程是 12()yx，令 y=0 得到抛物线的焦点为（ 4， 0） ，抛物线的准线方程为 54x.21、答 x2=8y. 设 M(x,y), 依题意， 22(0)()31y且 y0
12、时，a 2=k,b2= 3k,c2= 4此时焦点为(0, k34),由题意得 3= ,解得 k=27，双曲线方程为 y23x 2=27；当 k0 时， a2= 3k,b2=k,c 2= k34,此时焦点为( k34,0),由题意得 3= 4,解得 k=9,双曲线方程为 y23x 2=9,即 3x2y 2=9.所求双曲线方程为y2 3x2=27 或 3x2y 2=9.23. 解:设直线 l: y= 1(xc)，令 x=0，得 P(0, 21c),设 = 2|QFP ，Q(x,y)，则有 cycx621132，又 Q( 1,36c)在双曲线上, b 2( 3c)2a 2( c)2= a 2b2,a
13、 2+b2=c2,2247()(1)9a, 解得 2b=3,又由 ab= 3,可得21,所求双曲线方程为 23yx.24、解法一：设 12(,),)(,)PABxy:0ABlykxbxyABPO由 2,ykxb 消去 y 得： 20xkb， 12xb.OA OB， 0,OAB 12y，所以 212()()xb,b0 ， b1 ， 直线 AB 过定点 M(0, 1),又 OPAB，点 P 的轨迹是以 OM 为直径的圆（不含原点 O） ，点 P 的轨迹方程为 221()(0)4xyy.解法二：设 P(x,y)，l OB： k，l OA： xk，分别代入 y= x2，得 221(,)(,)BkA.由
14、 0OPA得220xyk，消去 k 得点 P 的轨迹方程为2()xy.C 组七、25 、选 B. 点 P 在直线 l：y = x 的下方，所以 ba, 所以 2bd得 ab,又 21ab, 2a.26、答：直角三角形. 由 (1)yxk得 222(1)0kx，设 A(x1,y1)、B(x 2,y2)，x 1x2y 1y2x 1x2k 2(x1 + 1)(x2 + 1)=1+k2(1 +1)=0，2k2+1k2 0，OAOB，所以AOB 是直角三角形. 八、27. 解：设 A(x1,y1),B(x2,y2),将直线 y=kx+1 与 x2y 2=1 联立得(1k 2)x22kx2=0 ,又 1k
15、 2 0,方程有两个不大于1 的不等实根, 120()x, 即22224(1)01kk,解得 1k 2;AB 的中点为（ 2， 2）,直线 l 的方程为 y= 21()xk, 截距 b= 2217()46kk, (,)(,)b28、解：（1）设 ),0(,yPxMyN则 .,),(),( 00 xNaFxP由 20y得 MN0， ),(00x得 0，即 ,2,02yxyx即并代入，得 axy42为所求.（2 ）设 l 的方程为 .04,)(,4).( 222 aykxakyaxky得消 去由设 ),(),(21BxA则 ),(), 21221 KByA 2212 44)( aayaxK.0|)|2(41)(41 22 ay.0,|cosKBA说明：1、第 15 题为 2007 年广东高考理科数学试题 .3、第 23 题为自编题，揭示了过抛物线顶点的两条互相垂直的弦端点连线过定点的规律.2、第 28 题改编题，综合了解析几何与平面向量基础知识和基本思想方法.向这也是这类问题命题的一个趋势.
