1、第十一章 Fourier 变换(13)一、内容摘要1积分变换法：积分变换方法的基本思想是把某函数类 中的函数 经过Afx某种可逆的积分手续变成另一函数类 中的 . BFp=,Fpkxfd称为 的象函数或象, 称为 的原象。在这种变换下，原来的f xp偏微分方程的自变量个数减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以到原问题的解。2Fourier 变换： ixFfed12ixfx称为函数 的 Fourier 变换, ixffedfx称为 的 Fourier 逆变换(也称作函数12ixFF F的 Fourier 积分表达式 )。Fourier 变换和逆
2、变换还可以表示为如下对称形式：f1122ixixfxFedFf3Fourier 变换的性质（1）线性性质 若 为任意常数，则对任意两个函数 有,12,f1212FfFff（2）延迟性质 设 为任意常数，则 000ixFef（3）位移性质 设 为任意常数，则00ixfxeF（4）相似性质 设 为不为零的常数，则a1Ffx（5）微分性质 若 时， ，则有10,0nfxfx2fxiFfF （6）积分性质 01xfdFfxi（7）卷积性质 ，其中卷积定义为：1212Fff12fxxdx（8）像函数的卷积定理 1212fFff4Fourier 积分定理设 在 上有定义且：()fx,（1）在任意有限区间上
3、满足 Dirichlet 条件；（2）在整个实轴上绝对可积 。fxd则 Fourier 积分公式：12iixfxfed在 的连续点成立，且在第一类间断点 ，积分收敛于()fx 00012fx5 函数的 Fourier 变换：11, 122ixix ixxFededFxed 6高维 Fourier 变换：设 ，则123123,nn 112ixnnixnFfxfedFd 7微分方程的基本解：线性微分方程 的解称为线性微分方程 的基本解。LuMN LufM根据叠加原理，如果 是 的基本解，则有：,vuf,vdN二、习题1填空题（1）设函数 的 Fourier 变换 ，则 的 Fourier 变换为(
4、)fx24e4()fx_（2） (其中 为常数)=_ ； _；axFe 2cos=F=_2sin（3）设 为实常数，且 的傅里叶变换 存在，则cfxfx_ _=Ffx=Ffc2证明：（1） 20cosd（2） 40in33求 的傅里叶变换式。,xx4求下列函数的傅里叶变换：（1） 0,sintft（2） 21,0xf5用傅里叶变换解无界弦的振动问题：22/0xattuce6求解质量为 ，具有阻尼的（经典）谐振子的受迫振动方程1，其中 是已知函数 是常数。20xttxtfft 20,7无限长梁在初始位移和初始速度下的自由振动可归结为求解下列定解问题：，试求解该定解问题。20,txtua8求解无限
5、长细杆的热传导问题 20, .txtuax9求解弦振动的Cauchy问题： 2,0,0.txtuatx三、参考答案1填空题（1） 24e（2） ， ， 2a2cos42sin4（3） ， iceFfx1 0c2证明：（1）因为 的正弦傅里叶变换为 ，再用1 0sfxx21cossF得：220ssfdFd210 01cosdx于是 ，证毕。201cosd（2）因为 ，利用21 02sin2,xf F得： ，于是：22fxdFd 242si143xd，证毕。40sin33解：（1） 1122ixFxed（2） 011 222ixixdiFxee （3） 20 ixixixede 4解：（1） 11
6、22itit itititeFftfedded 112sin2it itii （2）注意到 在 中是偶函数，于是由 Fourier 变换公式有：fx1 12 20cosincositFftedxdxxd12 330 0sin 42sinin 5解：令 的傅里叶换式为 ， 。附加,uxt,Ukt 1,2kxtuted上自然边界条件 ，则有：,lim,0li0xxut，所以，原来的偏微分方程，经傅里叶22, ,ik ikutedted变换后，变为常微分方程 。初始条件也作相应的变换。22,0Uctt因为 ，故 满足的初始条件为： 2/ /xakaikee ,kt2/00,katduU代入反演公式，
7、就求得： 2/01, cos22kaikx ikxuuxttedeted 222 /04 xtctakaicticte6解：记 ；对方程中各项施行傅氏变换，则由线()()Fxtftf性性质和微分性质有： ，所以220ixixf，由查表和位移性质可知：222 2001fxfi i，其中20220011sintFeHti，称为 Heaviside 单位函数或阶梯函数。故：,tH对上式两边取傅氏逆变换并20201()()sintFxtFfteHt 用卷积定理，立即可得所求受迫振动方程的特接记为 ，以示区别为：sxt，从而解得原问题的解为：20201sinttsxtfetd，其中：1sctxt是原问题
8、所对应的齐次方程的线2 2020sin,costte t 性独立解， 是任意常数。1,7解： 2,0txtua （1）记 ，则定解问题,=,=,=FuxttFxFx变为：: 2242,+,0,0= tdtautu （2）解定解问题 得： : 22,=cossinutatat（3）求 得逆变换得：,ut2 211, cos sin442xtxdxdat atat at 8解: 对方程作Fourier 变换，并设 , ,原,FuxtUtFx问题变为： 20,.tUa这个常微分方程的初值问题的解是： 对 U进行Fourier逆变2,.atUte换即得原问题的解为： 241,2xatuxt edt9解：对泛定方程及定解条件作关于x的Fourier 变换，并记，有：,0FutUtFux2,0.Ua该问题的解为 原定解问题的解为：,cos.Utat, cos12 ixuxtFUtatedxt1
