1、1.1.1 集合的含义与表示（1）知识要点： 集合的定义；元素的三个特性（确定性，互异性，无序性） ；集合的分类（有限集，无限集，空集）自学评价：1集合的含义： 构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述. （2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的2集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用大写拉丁字母表示，如集合 A, 元素一般用小写拉丁字母表示.如 a,b,c等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】 3集合中元素的特性：（1）确定性.设 A 是一个给定的集合，x 是某一
2、元素，则 x 是 A 的元素，或者不是 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立. （2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的. （3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4常用数集及其记法： 一般地，自然数集记作_正整数集记作_或_整数集记作_有理数记作_实数集记作_5元素与集合的关系：如果 a 是集合 A 的元素，就记作_读作“_”；如果 a 不是集合 A 的元素，就记作_或_读作“_”试试 4：填或 ：0 N，0 R，3.7 N，3.7 Z， Q， 332R.6集合的分类：按它的元素个数多少来分：（i） _叫做有限集；（ii）_叫做无限集；（iii） _叫做空集，记
3、为_精选题型：例 1下列研究的对象能否构成集合（1）世界上最高的山峰 （2）高一数学课本中的难题 （3）中国国旗的颜色 （4）充分小的负数的全体 （5）book 中的字母 （6）立方等于本身的实数（7）不等式 2x-813 的正整数解 提示:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确定性.例 2：集合 M 中的元素为 1，x，x 2-x，求 x 的范围？ 提示: 元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例 3：三个元素的集合 1，a， ，也可表示为 0，a 2，a+b，求 a2005+ b2006 的
4、值b例 4：集合 A 中的元素由 x=a+b (aZ,bZ) 组成，判断下列元素与集合 A 的关系？2（1）0 （2） （3）1122()abab322()abab322)2()拓展练习:1. 下列说法正确的是（ ）.A某个村子里的高个子组成一个集合B所有小正数组成一个集合C集合 和 表示同一个1,2345,321集合D 这六个数能组成一个集6,0.,合2. 给出下列关系： ； ；12RQ ； 其中正确的个数为3N3.（ ）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3. 集合 Ax x 2x10，Bx Nx（x 26x 10）0，Cx Q4x50，Dx x 为小于 2 的质数，其中是空集的是（
5、）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个4设集合 A1,2,3，B1,3,5 ，xA，且xB，则 x 等于( )A1 B2 C3 D55已知集合 P 4,5,6，Q1,2,3定义PQx|xpq，pP ，qQ ，则集合 PQ 的所有元素之和为（ ）.A1 B0 C2 D26. 设 A 表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：深圳 A； 广州 A. （填或 ）7. “方程 的所有实数根”组成的集合230x用列举法表示为_.8 由实数-x， |x|， ，x， 组成的集23合最多含有元素的个数是_个9已知集合 P 4,5,6，Q1,2,3定义PQx|xpq，pP ，qQ ，则集合 PQ 的所有元素之和
6、为_10已知集合 Ax|ax 22x10，aR，若A 中只有一个元素，求 a 的值，并求出这个元素11.已知 x21,0,x，求实数 x 的值。12不包含-1，0，1 的实数集 A 满足条件 aA，则 A，如果 2A,求 A 中的元素？a1.1.1 集合的含义与表示（2）知识要点： 集合的定义；元素的三个特性（确定性，互异性，无序性） ；集合的分类（有限集，无限集，空集） ；集合的表示方法（自然语言法，列举法，描述法） ；自学评价：1. 集合的表示方法.(1)把集合的元素 出来，并用 括起来表示集合的方法叫列举法。一般地，在 的情况下，宜采用列举法，它具有直观明了的特点;对于含有 的集合，如果
7、构成该集合的元素有规律，也可用列举法表示，但必须把元素的规律显示清楚后才能用省略号。如，正整数集可表示为1,2,3,4,5 。(2)用集合所含元素的 表示集合的方法称为描述法。具体方法是：在“ ”内先写上这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素 。对元素个数 的集合，一般采用描述法表示，它的优点是形式简洁，能充分体现集合中元素的特征。22008 年所有参加北京奥运会的国家是否能构成一个集合？_3在集合 中，实数 应满足怎样的取值要求？_2,x4用适当的方法表示下列集合；方程 x2-2=0 的所有实根组成的集合记作 A;_由所有大于 10 小于 20
8、的整数组成的集合记作 B;_正整数的倒数组成的集合记作 C;_所有直角三角形组成的集合记作 D;_不等式 4x-53 的解集组成的集合记作 E;_第一象限的点组成的集合记作 F。_精选题型：例 1.试分别用列举法和描述法表示下列集合:(1)方程 x2-2=0 的所有实数根组成的集合 ;(2)由大于 10 小于 20 的所有整数组成的集合.例 2. 已知集合 ，集合 . 试用列举法分别|3,AxxZ2(,)|1,BxyxA表示集合 A、B.例 3. 集合 A 中的元素由关于 x 的方程 kx2-3x+2=0 的解构成,其中 kR, 若 A 中仅有一个元素,求 k 的值.例 4. 已知 f(x)x
9、 2ax b(a、bR )，AxR |f(x)x0，BxR|f(x) ax0，若A1 ，3 ，试用列举法表示集合 B.如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的两个根是 x1，x 2，那么 ， , xabx21c21( b24 ac 0 )acb2拓展练习:1.下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）AM（3，2），N（2，3 ）BM3，2，N2，3CM（x，y ）xy1，N yxy1DM1，2，N（1，2）2. 已知集合 M xN|(8 x)N ，则 M 中元素的个数是( )A10 B9 C8 D无数个3.已知集合 中的三个元素可构成某,abc个三角形的三条边长，那么此三角形一定不是(
10、)A直角三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形4. 已知集合 AxN| x ，则必有( )3 3A1A B0A C. A D2A35. 定义集合运算:AB=z|z=xy(x+y),xA,yB,设集合 A=0,1,B=2,3,则集合 AB 的所有元素之和为( )A.0 B.6 C.12 D.186. 由所有偶数组成的集合可表示为 x7. 当 a 满足 时, 集合 A表示单元集30,xxN8对于集合 A2，4，6，若 a A，则6 a A，那么 a 的值是_9数集0，1，x 2x 中的 x 不能取的数值是_10设 Ax| x2（a2）xa 10 ，求 A 中所有元素之和11. 已知集合
11、Ax| xmn ，m，n Z2（1）证明任何整数都是 A 的元素；（2）设 x1， x2 A，求证：x 1x2 A12 m,n 满足什么条件时，集合A=x|m2x2+n=0,xR是有限集，无限集，空集？1.1.2 集合间的基本关系知识要点：集合之间包含与相等的含义；.子集、真子集的概念；空集的含义.自学评价：1.如果集合 A 的_都是集合 B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合 B 的_（subset） ，记作： ，读作：A_（is contained in）()A或B，或 B 包含(contains)A . 符号语言 ：任意 xA，有 xB，则 A B2.在数学中，我们经常
12、用平面上_的内部代表集合，这种图称为 Venn 图. 用 Venn 图表示两个集合间的“包含”关系为：.()或3.集合相等：若 ，则 ,即两个集合中的元素是一样的。AB且 AB4.真子集：若集合 ，存在元素 ，则称集合_是集合_的真子集x且（proper subset） ，记作：A B（或 B A） ，读作：A_ B（或 B_A）.5.空集：不含有_的集合称为空集（empty set） ，记作： . 并规定：空集是任何集合的子集，是任何_的真子集.用适当的符号填空.（1） ， ；（2） ， ,ab,abc,abc2|30xR；（3）N ，Q N；（4） .0,10|0x精选题型：例 1 写出集
13、合 的所有的子集，并指出其中哪些是它的真子集.,abc例 2 判断下列集合间的关系：（1） 与 ；|32Ax|50Bx（2）设集合 A=0,1，集合 ，则 A 与 B 的关系如何？例 3 若集合 ， ，且满足 ，求实数 的取值范围.|xa|250xaB A例 4 设 a、 bZ，E( x,y)|(x a)23 b6 y，点(2，1)E，但(1，0) E，(3，2)E。求 a， b 的值。幂的运算性质：a mana mn amana mn (a m)na mn (ab) na nbn ， a n ， ( ) n( )na 01(a0)1拓展练习:1. 下列结论正确的是（ ）.A. A B. 0C
14、. D. 1,2Z,12. 设 ，且 ，,xBxaAB则实数 a 的取值范围为（ ）.A. B. C. D. 113. 若 ，则（ ）.2,|0xbcA. B. 3b3,2C. D. ,4. 集合1，2，3的真子集共有（ ）A、5 个 B、6 个 C、7 个 D、8 个5. 给出下列关系：（） （）R21Q2（） （）N33其中正确的个数为 （ ） 6. 设集合 M=正方形，N=平行四边形，P=四边形，Q=矩形，则 M，N，P，Q 的包含关系是 。7. 满足 的集合 A 有 ,dcbaA个.8. 设集合 A= ,B=x 23x1k,且 A B，则实数 k 的取值范围12kx是 。9. 已知集合
15、 A=1,3,a, B=a2，并且 B 是 A 的真子集，则实数 a 的值是 _。10. 规定 表示集合的元素个数，当A,1A， 时，写出集合 A 的子集的个数，23你从中能发现什么规律？你能由自己获取的规律得出 时集合 A 的子集个数吗？n11.集合 A= xx 2+x-6=0，B= xmx+1=0，若B A，求实数 m 所构成的集合 M。12.已知集合 A= ,B=21/x,C= ,是AxRay,2/ xz/2否存在实数 a，使 C B？若存在，求出 a 的范围；若不存在，说明理由。1.1.3 集合的基本运算（1）知识要点：交集与并集的概念及运算， 自学评价：1. 交集：由_集合 A_集合
16、 B 的元素所组成的集合，叫作 A、B 的交集（intersection set） ，记作_，读“_” ，即：Venn 图如右表示.|,.ABxB且2. 并集：由 _集合 A_集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的并集（union set） ，记作：_，读作：_，用描述法表示是：.|,x或Venn 图如右表示.3. AA ；A A .A ；A .精选题型：例 1 设 ， ，求 AB、AB.|18x|45Bx或例 2 设 ， ，求 AB.(,)|46Axy(,)|327Bxy例 3 集合 Ax|2x1 或 x1 ，B x|axb ，若 ABx|x2，ABx|1x3求 a、b 的值A
17、BA B例 4 设集合 A=x/x2-3x+2=0,B=x/x2-4x+a=0,若 AB=B，求实数 a 的取值范围。平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 如： abc，直线 l1 与 l2分别与直线 a、 b、 c 相交与点 A、 B、 C,D、 E、 F，则有 ,ABDEBCEFCAD拓展练习:1设集合 M4,5,6,8，集合 N3,5,7,8，那么 MN 等于( )A3,4,5,6,7,8 B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,82设集合 Ax|2x13，Bx|3x2，则 AB 等于 ( )Ax|3x1 Bx|1x 2Cx|x3 Dx|x13第二十九届夏
18、季奥林匹克运动会于 2008 年 8月 8 日在北京举行若集合 A参加北京奥运会比赛的运动员，集合 B参加北京奥运会比赛的男运动员，集合 C参加北京奥运会比赛的女运动员，则下列关系正确的是( )AAB BB CCABC DBCA4已知集合 M(x，y)|xy2 ，N(x，y)|xy4，那么集合 MN 为( )Ax3，y1 B(3，1)C3， 1 D(3，1)5满足 Ma 1，a 2，a 3，a 4，且 Ma 1，a 2，a 3a 1，a 2的集合 M 的个数是( )A1 B2 C3 D46设集合 A3,0,1，B t 2t1 若ABA，则 t_.7已知集合 A 0，m，B nZ |0n3，若A
19、B，则 m 的值为_8设 ， ，若|xa|03x，求实数 a 的取值范围是 .9定义集合 M 与 N 的新运算如下：M*Nx|xMN，且 xMN 若M 0,2,4,6,8,10,12，N0,3,6,9,12,15，则(M*N)*M_.101. 设平面内直线 上点的集合为 ，直线1l1L上点的集合为 ，试分别说明下面三种情况时2l2L直线 与直线 的位置关系？1l（1） ；P点（2） ；2（3） .112L11若关于 x 的方程 3x2+px7=0 的解集为 A，方程 3x27 x+q=0 的解集为 B，且 AB= ，求13.AB12已知 A2,4，a 32a 2a 7 ，B4 ，a3，a 22
20、a 2，a 3 a23a7，且AB2,5 (1)求实数 a 的值；(2)求 AB.1.1.3 集合的基本运算（2）知识要点：子集的补集的含义及运算；自学评价：1. 全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的_，那么就称这个集合为全集（Universe） ，通常记作 _. 2. 补集：已知集合 U, 集合 A U，由 U 中所有_的元素组成的集合，叫作 A 相对于 U 的补集（complementary set） ，记作：_ ，读作：“A 在 U 中补集” ，即.补集的 Venn 图表示如右：|CAx且说明：全集是相对于所研究问题而言的一个相对概 念，补集的概念必须要有全集的限制.3. U=
21、2,3,4，A=4,3，B=，则 = ， = ；UCAUB4. 设 Ux|x8，且 xN，Ax|(x-2)(x-4)(x-5)0，则 ；UCA设 U 三角形 ，A锐角三角形，则 。精选题型：例 1 设 Ux |x13，且 xN ，A8 的正约数 ，B12 的正约数，求 、 .UB例 2 设 U=R，Ax |1x2，Bx|1x 3，求 AB 、AB、 、 .UCB例 3 设 AxZ|x|6，B1,2,3 ，C3,4,5,6，求：(1)A(BC)；(2)AA(BC)例 4 已知全集 I=小于 10 的正整数 ，其子集 A、B 满足 ，()1,9IICB， . 求集合 A、B.(),68ICAB2A
22、B0sinA1，0cosA1，tanA 0sin(90A)cosA，cos(90A)sinA sin30cos60 ，21sin45cos45 ，sin60 cos30 ， tan30 ，tan451，tan60 22333拓展练习:1. 设全集 U=R，集合 ，则2|1Ax=（ ）UCAA. 1 B. 1，1C. D. ,2.已知集合 U= ，|0x，那么集合 （ ）.|2AA. B. 或 |2x或C. D. |3. 设全集 Ua，b，c，d，e，集合M a，c，d，Nb，d，e，那么( UM)( UN)是( )A BdCa ，c Db，e4已知 U2,3,4,5,6,7，M3,4,5,7，
23、N2,4,5,6，则( )A.MN4,6 BM NUC( UN)MU D( UM)NN5设全集 U1,2,3,4,5，集合 A1 ， a2,5，UA2,4，则 a 的值为( )A3 B4 C5 D66已知 U=xN|x10，A =小于 11 的质数，则 = .7设全集 U=2，3， m2+2 m -3，A=|m+1|,2，则 CuA=5,求 m= _。8定义 AB=x|xA，且 x B，若M=1,2,3,4,5，N =2,4,8，则 NM= .9设全集 U0,1,2,3,4,5，AB1，A( UB)2，( UA)( UB)0,5，则( UA)B_.10已知全集 I= ，若2,3a， ，求实数 .,2Ab5IC,b11已知全集 U=R，集合 A=， 20xp250,Bxq若 ，试用列举法表示集合 A 奎 屯王 新 敞新 疆()CA12已知全集 U1,2,3,4,5，Ax|x 25xm0，Bx|x 2nx120，
