1、平面向量的线性运算与坐标表示一、知识梳理1、 向量的基本概念（1）向量是 的量，物理学中又叫 如： 不可比较大小（2）向量的表示：用有向线段来表示，如 ， ，或 ，abABCD（3）向量 的长度又称 记作： ， 注意：向量的模是数量，且a 0a（4）零向量： 的向量叫作零向量，记作： ， 零向量的方向是 。（5）单位向量： 叫作单位向量，与 共线的单位向量等于 。a与 同向的单位向量等于 。与 反向的单位向量等于 。a（6）共线向量： 叫作共线向量（又叫 ）若向量 与 共线（平行） ，记作： ab。（7）相等的向量： 叫作相等的向量，若向量 与 相等则记作： 。2、向量的线性运算：（1）向量的
2、加法（2）向量的减法（3）数乘向量： 叫作向量的数乘，记作： 规定：1） 为实数， 为向量。 2） 仍为一个 aa3）方向：当 0, 与 方向 . 当 0, 与 方向 .a当 =0, = . 与 一定 .4)长度 = ;3、两个向量共线的充要条件： ab4、平面向量基本定理：若 、 是同一平面内的两个 的向量，那么对于这一平面内的任一向量 ， 1e2 a一对实数 ， ，使得 = + 其中 , 称为 . 121e25、向量的坐标运算：加、减、数乘：若 ， 则 。 ),(1yxa),(2yxbba b。 。已知点 A ，点 B ，则向量 = 。),(1yx,2AB平行判定：（向量法） （坐标法）
3、垂直判定：（向量法） （坐标法） abab二、基础训练：（1）平行四边形法则： （2）三角形法则： 要点： 要点： 作：图表示三角形法则： 要点： 作图1、 （2007 海南、宁夏）已知平面向量 (1)(1)，ab，则向量 32ab（ ） (21)， 2 0， (1)，2、 （2008 全国 I）在 ABC 中，c， ACb若点 D满足 BC，则 AD（ ）A 3bcB 53C 13cD 23bc3、 （2008 全国 II）设向量 (12)()， ， ，a，若向量 a与向量 (47)， 共线，则 三、典型例题：例 1 设两个非零向量 与 不共线。b（1） ， ， ，求证 A、B 、C 三点共
4、线；aABaC82)(3baD（2）试确定实数 k,使 共线。k,例 2.在三角形 OAB 中， , 与 交于点 ，设 ， ，OBDAOC21,4CMaOAbB以 为基底表示 .ba,M四、巩固练习1、 【06 上海 13】在平行四边形 中，下列结论中错误的是 （ ）ABCD（A） （B）BDC（C） （D）02、 【07 浙江文 9】若非零向量 、 满足 一 ，则（） abb(A) 2 一 2 (B) 2 一 2 b a(C) 2 2 一 (D) 2 2 一 a3、 、 【07 全国5】在 中，已知 是 边上一点，若 ，则ABC DAB123ADBCAB，A B C D213234、 【08
5、 安徽理 3】在平行四边形 ABCD 中，AC 为一条对角线，若 ， ,则(2,4)AB(13)CA （2，4） B （3， 5）C （3，5） D （2，4） 5、 【08 广东文 3】已知平面向量 ， ，且 / ，则 (1,2)a(,)bmab3A、 B、 C、 D、(,10)(4,8)6(,)6、设向量 ，则锐角 为：ba且),54cossin2,5 A. B. C. D.7307、 【07 陕西 15】如图，平面内有三个向量 、 、 ,其中与 与 的夹角为 120， 与OABCOABOA的夹角为 30,且| | | |1，| | ，若 + （ ， R）,则OCOAB32 + 的值为 .
6、8、梯形 ABCD，ABCD，且 AB=2CD，M、N 分别是 DC 和 AB 的中点，如图，若 = , = ，试用 ， 表示 和 ，BaDbaC则 = , =_。BCMN9、设 M 为ABC 的重心，证明对任意一点 O，有 = ( + + )MOABC10、 （ 2009 广 东 卷 理 ） 若平面向量 a， b满足 1， ba平行于 x轴， )1,2(b，则a. 11、已知 ，分别求使下列结论成立的实数 的值：)1,(,(b （1） ；a（2） ；/12、 （2009 湖南）已知向量 (sin,co2sin),(12).ab（1）若 /ab，求 t的值； （2）若 |,0,求 的值。 五、
7、深化提高：1、(2009 年广东卷)已知平面向量 a= ,1x（ ） ， b= 2,x（ ） ， 则向量 ab ( )A 平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 2、 （2009 北京卷）已知向量 (1,0)(,)(),abckabRdab，如果 /cdA 1k且 c与 d同向 B k且 与 d反向 C 1且 c与 同向 D 1k且 与 反向3、(2009 山东卷理)设 P 是ABC 所在平面内的一点， 2BAP，则（ ）A. 0P B. 0A C. 0P D. 0BCEFDCBA4、 （2009 湖南卷）如图 1， D，E，F 分别是 ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则( )A 0BC B 0CFC D
