1、1高三一轮不等式一、不等式的解法1.一元二次不等式的解法需要充分理解三个二次之间的关系，记住技巧，二次项系数总可以化为正数，口诀是：“大于取两边，小于取中间。 ”2.含参数的一元二次不等式要注意分类讨论（1）基本的方法和步骤：要确定讨论对象以及所要讨论对象的全体的范围；确定分类便准，正确进行合理分类；对分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；进行总结归纳，综合得出结论。（2）讨论的一般顺序：讨论二次项系数是否为 0，这决定此不等式是否为二次不等式；当二次项系数不为 0 时，讨论判别式是否大于 0；当判别式大于 0 时，讨论二次项系数是否大于 0，这决定所求不等式的不等号的方向；判断二次不等
2、式两根的大小。3.不等式恒成立问题（1）根的分布（2）最值法（3）分离参数法4.典型例题例 1.解不等式（1）x 2+（1-a）x-a0；（2）ax 2-（2a+1）x+20例 2.已知 f(x)=x2-2ax+2，当 x-1，+)时，f(x)a 恒成立，求 a 的取值范围.例 3.（2010 安徽）设 为实数，函数 。a2,xfeaR() 求 的单调区间与极值；fx()求证：当 且 时， 。ln21a0x21xea（2011 浙江）设函数 ， R()f2)lna（）若 为 的极值点，求实数 ；xeyx2（）求实数 的取值范围，使得对任意的 （0,3 ，恒有 4 成立axe()fx2e二、线性
3、规划只需要在直线的某一侧取一个特殊点( x0 , y0)，从 0ABCy的正负即可判断不等式AxByC0表示直线哪一侧的平面区域，这种方法称为代点法概括为： “直线定界，特殊点定域” 特别地，当 时，常把原点作为特殊点，即“直线定界、原点定域” 1.转化为在 y 轴上的截距例 1.在约束条件41032xy下，如何求目标函数 2Pxy的最大值？首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为 ，如图（1）所示其次，将目标函数 2Pxy变形为 2x的形式，它表示一条直线，斜率为，且在 y轴上的截距为P平移直线 2yxP，当它经过两直线 410xy与 4320xy的交点 5(,)4A时，直线在 y轴
4、上的截距最大，如图（2）所示因此，当 5,4时，目标函数取得最大值 527.，即当甲、乙两种产品分别生产 54t和 时，可获得最大利润 7.万元这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为 问题其中 (,)使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的 对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决说明：平移直线 2yxP时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点） 例 2.【2012 高考真题四川理 9】某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 原料 1 千克、A原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 原料 2 千克， 原料 1 千克。每桶甲产品的
5、利润是 300 元，每桶乙产品BAB的利润是 400 元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 、 原料都不超过 12 千克。通过合理安排AB生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）A、1800 元 B、2400 元 C、2800 元 D、3100 元【答案】C.3【解析】设生产 桶甲产品， 桶乙产品，总利润为 Z，xy则约束条件为 ，目标函数为 ，012y304xy可行域为，当目标函数直线经过点 M 时 有最大值，联立方程组z得 ，代入目标函数得 ，故选 C.12yx)4,(280例 3.【2012 高考真题山东理 5】已知变量 满足约束条件,xy，则目标
6、函数 的取值范围是41xy3z（A） （B） 3,62,12（C） （D） 36【答案】A【解析】做出不等式所表示的区域如图，由 得 ，平移yxz3zx直线 ，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距xy3)0,2(E最小，此时 最大为 ，当直线经过 点时，直线截距最大，此时 最小，由 ，解得z63yxCz421yx，此时 ，所以 的取值范围是 ，选 A.321yx2z yxz36,232.转化为直线的斜率3.转化为亮点间的距离4.含参数的问题例 4.【2012 高考真题福建理 9】若函数 y=2x 图像上存在点（x，y）满足约束条件 ，则实数 m 的最大值为xy032A B.1 C. D.2
7、132【答案】【解析】如图当直线 经过函数 的图像与直线 的交点时，函数 的图像仅有一个mxxy03yxxy24点在可行域内，有方程组 得 ，所以 ，故选032yxx1m三、均值不等式均值定理：若 a0 b0， ， （当且仅当 a=b 时，等号成立）2ab我 们 习 惯 上 ， 把 上 述 公 式 写 成1.两个正数的算术平均数 不小于不小于它们的几何平均数2.两个正数的等差中项不小于它们的等比中项作用：当两个正数的积为定值时求出这两个正数的和的最小值；（积定和最小）当两个正数的和为定值时求出这两个正数的积的最大值；（和定积最大）注意：在运用均值不等式求最值时，要注意使用条件，即一正，二定，三
8、相等，而在寻找定值时，有时条件不够明显，常通过恰当的拆项，添项，变形等配凑的技巧，化隐为显，使问题快速解决，常见变形应用：以下不等式中的 均是正实数,abc1、 2()2、 3、21abab+ 4、 3c请熟记以上公式，以后经常用到。1. 凑系数例 1. 当 时，求 的最大值。04xyx()82评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。2. 凑项例 2. 已知 ，求函数 的最大值。x54fxx()42155评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。3. 分离例 3. 求 的值域。yxx2710()评注：分式函数求最值，通常化
9、成 ，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用ymgxABm()()0，均值不等式来求最值。4。整体代换例 4. 已知 x0,y0，且 + =1，求 x+y 的最小值.x1y9黑色陷阱：本题容易犯这样的错误：+ 2 ,即 1, 6.x1y9xy6x+y2 26=12.x+y 的最小值是 12.产生不同结果的原因是不等式等号成立的条件是 = ，不等式等号成立的条件是 x=y.在同一个题目中连x1y9续运用了两次基本不等式,但是两个基本不等式等号成立的条件不同，会导致错误结论.5.换元例 5. 求函数 的最大值。yx25评注：本题通过换元法使问题得到了简化，而且将问题转化为熟悉的分式型函数的求最值问题，
10、从而为构造积为定值创造有利条件。变式训练：61.若 1x，则 =_时, 1x有最小值，最小值为_.2.（1）已知 0x ，求函数 y=x(1-3x)的最大值;3（2）求函数 y=x+ 的值域.3.求函数 y= 的最小值.1324x4.已知 ，求 的最小值。aba0， ， tab15.已知 x0，y0，且 3x+4y=12，求 lgx+lgy 的最大值及此时 x、y 的值 例 6：（2010 福建）某种汽车的购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费约为 0.9万元，年维修费用第一年是 0.2万元，以后逐年递增 0.2万元。问这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？
11、变式：(2010 年高考吉林卷)某单位用 2160 万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x(x10)层，则每平方米的平均建筑费用为 56048x(单位：元)为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用平均建筑费用平均购地费用，平均购地费用 )购 地 总 费 用建 筑 总 面 积解析:搞清楚购地总费用和建筑总面积.例 6：解析：年维修费用成等差数列,年维修费用加上其他费用是汽车的消费总费用.解:设使用 ()xN年的年平均费用为 y万元 则使用 年的维修总费用为 0.20.1xx 万元 依题得 2
12、1.9(.)(.)yx 7101023xx 当且仅当 即 时取等号 10x时 y取得最小值 3 万元. 答：这种汽车使用 10 年时，它的年平均费用最小，最小值是 3 万元.例 6 变式：解：设将楼房建为 x 层，则每平方米的平均购地费用为 .21601042000x 10800x每平方米的平均综合费用,y56048x 56048(x )10800x 225x当 x 取最小值时，y 有最小值x0，x 2 30，225x 225x x225x当且仅当 x ，即 x15 时，上式等号成立所以当 x15 时，y 有最小值 2000 元225x因此该楼房建为 15 层时，每平方米的平均综合费用最小7.
13、解法一: 由 a、bR +，由重要不等式得 a+b2 ab，则 ab=a+b+32 ab+3，即 32b )1)(3(0b 03， ab9 解法二: a、b 为正数， ab=a+b+3 0，两边立方得 a 3b33 4ab a2b23 4，ab0，ab9 解法三: 原条件式变为 ab-3=a+b， a、b 均为正数，故式两边都为正数，两边平方得a2b2-6ab+9=a2+b2+2ab， a 2+b22ab， a 2b2-6ab+94ab，即 a2b2-10ab+90，(ab-1)(ab-9)0，由式可知 ab3， ab9 解法四: 把 a、bR +看作一元二次方程的两个根，此方程为x2+(3-
14、ab)x+ab=0，则=(3-ab) 2-4ab0，即 (ab) 2-10ab+90， (ab-9)(ab-1)0，ab-1=a+b+20 成立， ab9 解法五: 由已知得 a(b-1)=b+3，显然 a1， 13ba，541)(5)(132bba 92，即 ab9 2012 高考题1.【2012 高考真题重庆理 2】不等式 的解集为0xA. B. C. D. 对 1,21, ,12. ,12,【答案】A8【2012 高考真题辽宁理 8】设变量 x，y 满足 则 的最大值为,1502yxyx3(A) 20 (B) 35 (C) 45 (D) 55【答案】D11.【2012 高考真题山东理 1
15、3】若不等式 的解集为 ，则实数 _.42kx13xk【答案】 2k【解析】由 可得 ，所以 ，所以 ，故 。|4|x62312k212.【2012 高考真题安徽理 11】若 满足约束条件： ；则 的取值范围为 ,xy03xyxy_【答案】 3,0【命题立意】本题考查线性规划知识，会求目标函数的范围。【解析】约束条件对应 边际及内的区域： ，则 。ABC3(0,),(1,)2ABC3,0txy17.【2012 高考真题新课标理 14】 设 满足约束条件： ；则 的取值范围为 ,xy03xy2z【答案】 3,【解析】做出不等式所表示的区域如图 ，由 得 ，平移直线yxz2zx21，由图象可知当直线经过点 时，直线 的截距最小，此时 最大为 ，xy21)0,3(Dxy12 3y当直线经过 点时，直线截距最大，此时 最小，由 ，解得 ，即 ，此时Bz321yx),(B，所以 ，即 的取值范围是 .3412yxz 3,
