1、一、填空题 (共 10 题,每题 2 分,共 20 分)1只于自身合同的矩阵是 零 矩阵。2二次型 的矩阵为_ _。11212237,6xfx3963设 是实对称矩阵,则当实数 _充分大_, 是正定矩阵。At tEA4正交变换在标准正交基下的矩阵为_正交矩阵_。5标准正交基下的度量矩阵为_ _。E6线性变换可对角化的充要条件为_。7在 中定义线性变换 为: ,写出 在基 下2PabXcd1212,E的矩阵_。8设 、 都是线性空间 的子空间,且 ,若 ,则1V2V12V12imdiV_。9叙述维数公式_。10向量 在基 (1)与基 (2)下的坐标分别为 、 ,且从12,n1,n xy基(1)到
2、基(2)的过渡矩阵为 ,则 与 的关系为Axy_。二、判断题 (共 10 题,每题 1 分,共 10 分)1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。 ( )2设 为 维线性空间 上的线性变换,则 。 ( )nV10V3平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合,对于向量的加法和数量乘法,构成实数域上的线性空间。 ( )4设 与 分别是齐次线性方程组 与 的解空间,则1V2 12nxx12nx( )nP5 为正定二次型。 ( )2211iix6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。 ( )7把复数域 看作复数域上的线性空间, ,令 ,则 是线性变换。 ( CC)8若 是正交变换,那么 的不变子空间的真
3、正交补也是 的不变子空间。 ( )9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。 ( )10若 为 ( )中的微分变换,则 不可对角化。 ( )nPx1三、计算题 (共 3 题,每题 10 分,共 30 分)1设线性变换 在基 下的矩阵为 ,求 的特征值与特征向量,123,12A并判断 是否可对角化?2 取什么值时,下列二次型是正定的?t2213131232,54fxxtxx3设三维线性空间 上的线性变换 在基 下的矩阵为: ,求V123,12133aA在基 , 下的矩阵 。12,0kPk且 3B四、证明题 (共 4 题,每题 10 分,共 40 分)1证明:与 相似,其中 是 的一2nA 12iii
4、nB 12,nii,个排列。2证明:和 是直和的充要条件为: 。1siV102,3ijVis3设 是 级实对称矩阵,且 ,证明:存在正交矩阵 ,使得: An2AT110T 4证明: 与 合同,12nA 12iiinB其中 是 的一个排列。12,nii,答案一1 2 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有 个线性无关的特396 En征向量7. 8. 9. 0abcd 12V121212dimiimiVV10. XAY二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解: (3 分)221251AfE所以, 的特征值为 (二重)和 。把 代入方程组121得:0EX基础解系为 1
5、20x10n201因此, 属于 得两个线性无关得特征向量为: 1223,因而属于 的全部特征向量就是 , 、 取遍 中不全为零的全部数对 112k1k2P(6 分) ,再用 代入 得:基础解系 ,因此,属于 5 的全部特250EAX3n征向量是 , 是 中任意不等于零的数。 (9 分)3kP因为 有三个线性无关的特征向量,所以 可能对角化。 (10 分)2.解: 的矩阵为: f125tA, , 。得:10210t240At405t当 时, 是正定的。405tf3解: (2.5 分)12131aka(2.5 分)22k(2.5 分)31233k在基下的矩阵为 (2.5 分)12133123aaBkk四1.证:任意 维向量空间 , 的基 ,则 唯一 使nV12,nLV(3 分)121212nnn即 ii,11ii22iiinin在基 下的矩阵为 (6 分)12,iiB与 相似(1 分)AB2证: 是直和 (3 分)1sjiV0iijV(2 分)1ijiji1ij令 10ss 11ss(3 分)1sjV,同理0s 210s是直和。 (2 分)1siV3证:设 是 的任一特征值A,使022,2020或1实对称矩阵A正交矩阵 ,使T110A 4证: 、 对应的二次型分别为B2211,nnfxxx2iiigyyy令 , 12inixy22111, ,niinngxfx所以, 与 合同。AB