1、书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库高考数学必胜秘诀在哪？概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结四、三角函数1、角的概念的推广：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。2、象限角的概念：在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负x半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。3. 终边相同的角的表示： （1） 终边与 终边相同( 的
2、终边在 终边所在射线上) ，注2()kZ意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.如与角 的终边相同，且185绝对值最小的角的度数是，合弧度。 （答： ； ）236（2） 终边与 终边共线( 的终边在 终边所在直线上) .()k（3） 终边与 终边关于 轴对称 .x()kZ（4） 终边与 终边关于 轴对称 .y（5） 终边与 终边关于原点对称 .2（6） 终边在 轴上的角可表示为： ； 终边在 轴上的角可表示为：,y； 终边在坐标轴上的角可表示为： .如 的终边与,2kZ,kZ的终边关于直线 对称，则 _。 （答： ）6xy324、 与 的终边关系：由“两等分各象限、一二三四”确定.
3、如若 是第二象限角，则 是第_ 象限角（答：一、三）25.弧长公式： ，扇形面积公式： ，1 弧度(1rad) . |lR21|2SlR573如已知扇形 AOB 的周长是 6cm，该扇形的中心角是 1 弧度，求该扇形的面积。 （答：2）2cm6、任意角的三角函数的定义：设 是任意一个角，P 是 的终边上的任意一点(,)xy（异于原点） ，它与原点的距离是 ，那么 ，20rxysin,cosxrr， ， ， 。三角tan,0yxcoty()secr0y函数值只与角的大小有关，而与终边上点 P 的位置无关。如（1）已知角 的终边经过点P(5， 12)，则 的值为。 （答： ） ； （2）设 是第三
4、、四象限角，sin73，则 的取值范围是_（答：（1， ） ；（3）若m432sin )，试判断 的符号0|cos|i|tan(cos)cot(si（答：负）7.三角函数线的特征是：正弦线 MP“站在 轴上(起点在xy T A x BSOMP 书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库轴上)” 、余弦线 OM“躺在 轴上(起点是原点)” 、正切线 AT“站在点 处(起点是xx 1,0)A)”.三角函数线的重要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。如（1）若A，则 的大小关系为_(答： )；08sin,cotatansico（2）若 为锐角，则 的大小关系为_ （答： ） ；,ta
5、n（3）函数 的定义域是_（答：)3sin2lg(1xy）(,)3kkZ8.特殊角的三角函数值：30 45 60 0 90 180 270 15 75sin2120 1 0 1 624co311 0 1 0tan1 30 0 2- 32+cot31 0 0 2+ 2-9. 同角三角函数的基本关系式：（1）平方关系： 222222sincos1,tansec,1otcs（2）倒数关系：sin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,（3）商数关系： iota,ti同角三角函数的基本关系式的主要应用是，已知一个角的三角函数值，求此角的其它三角函数值。在运用平方关系解题时，要根据已
6、知角的范围和三角函数的取值，尽可能地压缩角的范围，以便进行定号；在具体求三角函数值时，一般不需用同角三角函数的基本关系式，而是先根据角的范围确定三角函数值的符号，再利用解直角三角形求出此三角函数值的绝对值。如（1）函数 的值的符号为_（答：大于 0） ；（2）若sintacoy，则使 成立的 的取值范围是_（答：20xx2i12 ,4） ；（3）已知 ， ，则 _（答：,4 53snm)2(54smtan） ；（4）已知 ，则1251ta_； _（答： ； ） ；（5）已cosincosisi231知 ，则 等于 A 、 B、 C 、 060tn21a2aa2D、 （答：B） ；（6）已知 ，
7、则 的值为_（答：a21xf3cos)()30(sinf1） 。书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库10.三角函数诱导公式（ ）的本质是：奇变偶不变（对 而言，指 取奇数或2kk偶数） ，符号看象限（看原函数，同时可把 看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：（1）负角变正角，再写成 2k + , ；(2)转化为锐02角三角函数。如（1） 的值为 _（答： ） ；97costan()si2146 3（2）已知 ，则 _，若 为第二象限角，则5)50sin( 0c_。 （答： ； ）18ta3)i(2 5410311、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角
8、公式： sinsincosinsin2icos令 22222co coin1sitat +stan s1n cointata1n令 如（1）下列各式中，值为 的是 A、 B、15sicoC、 D 、 （答：C） ；（2）命题 P：22cosi251ta.n 302，命题 Q： ，则 P 是 Q 的 A、充要条件 B 、充分0tan(AB)0AtB不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件（答：C） ；（3）已知，那么 的值为_（答： ） ；（4）35sicso()sicos725的值是_ （答：4） ；(5)已知 ，求 的值（用 a 表1308ini 0tan10tan示）甲求得
9、的结果是 ，乙求得的结果是 ，对甲、乙求得的结果的正确性你1a2的判断是_（答：甲、乙都对）12. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦” ；第三观察代数式的结构特点。基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如 ， ，()()2()()， ， 等） ，如（1）2()()2已知 ， ，那么 的值是_（答： ） ；2tan51tan()4tan()432书利华教育网 【www.S
10、huLiH】您的教学资源库（2）已知 ，且 ， ，求02129cos()23sin()的值（答： ） ；（3）已知 为锐角， ，cos()4907,cosxy，则 与 的函数关系为_（答：35yx）21(1)yx(2)三角函数名互化(切割化弦)，如（1）求值 （答：1） ；sin50(13tan0)（2）已知 ，求 的值（答： ）sinco2,tan()23ta2)8(3)公式变形使用（ 。如（1）已知ttA、B 为锐角，且满足 ，则 _（答：tn1ABcos()AB） ；(2)设 中， ， ，则2Canttan34icos此三角形是_三角形（答：等边）(4)三角函数次数的降升(降幂公式： ，
11、 与升21coscs21i幂公式： ， )。如(1)若 ，化简21coss1oin3(,)为_（答： ） ；（2）函数2si2553f(x)sincxx的单调递增区间为_（答： ）3R)512k,(kZ)(5)式子结构的转化(对角、函数名、式子结构化同)。如（1） tancosi（答： ） ；（2）求证： ；（3）化简：sintacosin2sin11t（答： ）4212stan()i()xxcos2x(6)常值变换主要指“1”的变换（ 221incosx22etantcotxx等） ，如已知 ，求 （答：tsi42 taics3）.35(7)正余弦“三兄妹 ”的内存联系“知一求二” ，如（1
12、）sinco sixx、若 ，则 _（答： )，特别提醒：这里sincoxt21t书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库；（2）若 ，求 的值。 （答： ） ；,t 1(0,)sinco2tan473（3）已知 ，试用 表示 的值（答：2sini1tak)4ksico） 。k13、辅助角公式中辅助角的确定： (其中 角所2sincoinaxbabx在的象限由 a, b 的符号确定， 角的值由 确定) 在求最值、化简时起着重要作用。t如（1）若方程 有实数解，则 的取值范围是_.（答：sin3cosx2,2） ；（2）当函数 取得最大值时， 的值是_(答： )；2yxsintanx
13、32（3）如果 是奇函数，则 = (答：2) ；（4）求i()f值： _(答： 32)0si640cos1sin22214、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数 和余弦函数 图象的作sinyxcosyx图方法：五点法：先取横坐标分别为 0， 的五点，再用光滑的曲线把这五点3,2连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。15、正弦函数 、余弦函数 的性质：sin()yxRcos()yxR（1）定义域：都是 R。（2）值域：都是 ，对 ，当 时， 取最大值 1；1,sinyx2kZy当 时， 取最小值1；对 ，当 时， 取3xkZcosyx2k最大值 1，当 时， 取最小值1。 如（1）
14、若函数k的最大值为 ，最小值为 ，则 _， （答：sin()6yab232ab或 ） ；（2）函数 （ ）的值域是,2 xxfcos3sin)(2,_（答：1, 2） ；（3）若 ，则 的最大值和最小值分别6yin是_ 、_（答：7；5） ；（4）函数 2()s()3sinfxx的最小值是_，此时 _（答：2； ） ；（5）sincoxx12kZ己知 ，求 的变化范围（答： ） ；（6）若21cosint 0,，求 的最大、最小值（答： ，cssii2 22iny maxy） 。特别提醒：在解含有正余弦函数的问题时，你深入挖掘正余弦函数的有miny界性了吗？（3）周期性： 、 的最小正周期都是
15、 2 ；sinxcosx和 的最小正周期都是 。如(1)若()si()fxAx()fA|T书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库，则 _（答：0） ；(2) 函数3sin)(xf(1)2(3)(23)fff4coicosx的最小正周期为_（答： ） ；(3) 设函数 ，若对任意i )52sin()(xxf都有 成立，则 的最小值为_（答：2）Rx)()(21fxf|1x（4）奇偶性与对称性：正弦函数 是奇函数，对称中心是sin(yR，对称轴是直线 ；余弦函数 是偶函数，,0kZxkZcos()yxR对称中心是 ，对称轴是直线 （正( 余)弦型函数的对称,02Z xk轴为过最高点或
16、最低点且垂直于 轴的直线，对称中心为图象与 轴的交点） 。如（1）函数 的奇偶性是_（答：偶函数） ；（2）已知函数5ysinx为常数） ，且 ，则 _（答：5） ；31f(x)abi(a,b57f()f()（3）函数 的图象的对称中心和对称轴分别是)cosncs2x_、_（答： 、 ） ；（4）已128k(,Z28kx(Z)知 为偶函数，求 的值。 （答： ）3f(x)si()s)6(k)（5）单调性： 上单调递增，在in,yxkk在单调递减； 在 上单调递减，2,2kZcosyx2,kZ在 上单调递增。特别提醒，别忘了 ！ k16、形如 的函数：sin()yAx（1）几个物理量：A振幅；
17、频率（周期的倒数） ； 相位； 初1fTx相；（2）函数 表达式的确定：A 由最值确定；si()yx由周期确定； 由图象上的特殊点确定，如， 的图象如图所示，()sin()0,fx|)2则 _（答： ） ；15(sin(3fxx（3）函数 图象的画法：“五点法”设 ，令si)yAXx 0， 求出相应的 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；图象X,2变换法：这是作函数简图常用方法。（4）函数 的图象与 图象间的关系：函数sin()yxksinyx的图象纵坐标不变，横坐标向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位得sinyx |的图象；函数 图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的 ，sinyx 123
18、题 图29Y X-223书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库得到函数 的图象；函数 图象的横坐标不变，纵坐标变sinyxsinyx为原来的 A 倍，得到函数 的图象；函数 图象的横sin()yAxsin()yAx坐标不变，纵坐标向上（ ）或向下（ ） ，得到 的图象。0k0kk要特别注意，若由 得到 的图象，则向左或向右平移应平移ii个单位，如（1）函数 的图象经过怎样的变换才能得到|2si()14yx的图象？（答： 向上平移 1 个单位得 的sinyxn2sin()4yx图象，再向左平移 个单位得 的图象，横坐标扩大到原来的 2 倍得8siyx的图象，最后将纵坐标缩小到原来的
19、 即得 的图象） ；(2) 要得到函2siyx 2sinyx数 的图象，只需把函数 的图象向_平移_个单位（答：左；co()4siny） ；（3）将函数 图像，按向量 平移后得到的函数图像关于原点对272sin()13yxa称，这样的向量是否唯一？若唯一，求出 ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ） ；（4）若函数(,)6a的图象与直线 有且仅有四个不同的交点，则 的cosin02fxxykk取值范围是 （答： ）1,)（5）研究函数 性质的方法：类比于研究 的性质，只需将si(yAsinyx中的 看成 中的 ，但在求 的单调区si()yAsinyx()A间时，要特别
20、注意 A 和 的符号，通过诱导公式先将 化正。如（1）函数的递减区间是_（答： ） ；（2）23inx52k,kZ的递减区间是_（答： ） ；124ylogcs() 364()（3）设函数 的图象关于直线 对称，),0)(inAxf 3x它的周期是 ，则 A、 B、 在区间 上是减函数 )21的 图 象 过 点f (fx52,1C、 D、 的最大值是 A（答：C） ；（4）对于,5()( 是的 图 象 的 一 个 对 称 中 心xf函数 给出下列结论：图象关于原点成中心对称；图象关于直线2sin3x成轴对称；图象可由函数 的图像向左平移 个单位得到；图像向1x2sinyx3左平移 个单位，即得
21、到函数 的图像。其中正确结论是_（答：） ；2co（5）已知函数 图象与直线 的交点中，距离最近两点间的距离()2sin()fx1y为 ，那么此函数的周期是_（答： ）3书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库17、正切函数 的图象和性质：tanyx（1）定义域： 。遇到有关正切函数问题时，你注意到正切函|,2kZ数的定义域了吗？（2）值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值；（3）周期性：是周期函数且周期是 ，它与直线 的两个相邻交点之间的距离是ya一个周期 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响：一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变既为周期函
22、数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定。 如 的周期都是 , 但xysin,i2sinyx的周期为 ，而 ， 的周cosx21|sin(3)|(3)2|66yx|ta|期不变；（4）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是 ，特别提醒：正(余),02kZ切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 轴的交点，另一类是渐近线与 轴的交点，xx但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（5）单调性：正切函数在开区间 内都是增函数。但要注,kk意在整个定义域上不具有单调性。如下图：18. 三角形中的有关公式： (1)内角和定理：三角形三角和为 ，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能
23、忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方.(2)正弦定理： (R 为三角形外接圆的半径).注意：正弦2sinisinabcABC定理的一些变式： ；isin,si,sin2abABCR； ；已知三角形两边一对角，求解三2cR2si,si,iab角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.(3)余弦定理： 等，常选用余弦定理鉴2222co,sbcaA定三角形的形状.三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=2x4邻 中 心 |x3-4|= T/2邻 渐
24、 近 线 |x1-2|=T无 穷 对 称 中 心 :由 y=0或 y无 意 义 确 定y=Atan( x+ )x3 无 对 称 轴任 意 一 条 y轴 的 垂 线 与 正 切函 数 图 象 都 相 交 ,且 相 邻 两交 点 的 距 离 为 一 个 周 期 ！三 角 函 数 图 象 几 何 性 质 xOyx=1x=24邻 中 心 |x3-4|=T/2邻 轴 |x1-2|T/无 穷 对 称 中 心 :由 y=0确 定 无 穷 对 称 轴 :由 y=A或 -确 定y=Asin( x+ )x3 4T邻 中 心 轴 相 距书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库(4)面积公式： （其中 为
25、三角形内切圆半径）11sin()22aShbCrabcr.如 中，若 ，判断 的形状（答：直ABCBA2sicosinABC角三角形） 。特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意 这个特殊性：；（2）求解三角形中含有边角混合,si()si,ns关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如（1） 中，A、B 的对边分别是 ，且 ，那么满足条件的 A、 有一个解 ab、=60 4,a,b CB、有两个解 C、无解 D、不能确定（答： C） ；（2）在 中，AB 是成立的_条件（答：充要） ；（3）在 中， sinAi AB，则 _（答： ） ；(4)在 中，12(t)(tnB)2
26、logsin1分别是角 A、B、C 所对的边，若 ，则a,bc(abc)(sin3sin)asi_（答： ） ；（5）在 中，若其面积 ，则60ABC224abcS=_（答： ） ；（6）在 中， ，这个三角形的面积为 ，360 1,则 外接圆的直径是_（答： ） ；（7） 在ABC 中，a、b、c 是角AB239A、B 、 C 的对边， = ， 的最大值为1,cos,csaA则 2（答： ） ；（8）在ABC 中 AB=1，BC=2，则角 C 的取值范围是 （答：1932;） ；（9）设 O 是锐角三角形 ABC 的外心，若 ，且06 75的面积满足关系式 ，求 （答： ） ,ABCA 3A
27、OBCOASS4519.反三角函数：（1）反三角函数的定义（以反正弦函数为例）： 表示一个arcsin角，这个角的正弦值为 ,且这个角在 内 。(2)反正弦 、反余a,2(1)ax弦 、反正切 的取值范围分别是 .arcosxrctnx 2,(,0在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线的倾斜角、 到 的角、 与 的夹角以及两向量的夹角时，你是否注意到了它们的范围？1l21l2， ， (0,0,)0,20、求角的方法：先确定角的范围，再求出关于此角的某一个三角函数（要注意选择，其标准有二：一是此三角函数在角的范围内具有单调性；二是根据条件易求出此三角函数值） 。如（1）若 ，且 、 是方程 的两根，则求,(,)tant2560x的值_（答： ） ；（2） 中，34ABC，则 _ （答： ） ；（3）若3sin4cos6,icos1AB且 ， ，求 的00nin0coscos书利华教育网 【www.ShuLiH】您的教学资源库值（答： ）.23
