1、1复变函数 小结第一章一、复数基本概念及其运算1. 复数： ， zxyi1.（2）共轭复数： ，记作： 。iz性质： ； ；“ ”可以是：“ ”z1212,； ，22ReImzxyRezxzIm2yz（3）复数的模、主辐角 、辐角arg(, 2zxyarctn0,rgt,20,xyzyxy一 四 象 限二 象 限三 象 限正 虚 轴负 虚 轴raAzk2. 复数的表示代数表示：复数 向量 点 ；zxiy1 (,)xy1 z三角表示： cosnrcosinr指数表示： .(i)zie注： 是 的模， 是 的任意一个辐角。rz3. 复数的运算四则运算：设有 ， 两个复数：11zxiy22zxiy；
2、 ； ；121212()zi1212121()()ixy12z乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）2设有复数 ，则 ;izre()ninizre（ ）21kinkw0,12nNote： ； ；1212|zz12Arg()rgAzz ； ；2|122三、复变函数及其运算1. 复变函数： 。()wfz几何意义：把 平面上的一个点集 平面的一个点集。 映 射 w与实变函数的关系：设 ， ，则 可以写成：zxiyuiv()fz()wuvf,xyiv第二章 一、复变函数的导数与微分1. 定义： ， = ； 或记作 .()wfz0)flimzw00()(lizfzf0zdw2求导法则：四则运算、 复合函数
3、求导、反函数求导与一元函数相同；3. 微分： ；d()fz二、解析函数1.定义：如果函数 在 点以及 点的邻域内处处可导 ，则称 在 点解析；()fz00z()fz02.判别解析函数的方法（1）定义： =()fz0limwz0()(lifzfz（2）Cauchy-Riemann 方程：函数 在点 处可导 (),)(,)wfzuxyivzxiy， 在点 处可微，且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann )方程：,xyv3，uvxyvx注：解析函数求导公式： ；()xfzi（3）解析函数的性质：在区域 D 内 解析，则 在区域 D 内(),fzg ()0(),(),gzffzgfz也解析；复
4、合函数 在 D 内解析；()wfg 的反函数 在值域内解析，且 。()fzz()1()zwf3. 解析函数的构造问题：已知实部函数 ，求虚部 (或者已知虚部 v，求实部 u )，(,)uxy,)vxy使得 解析，且满足指定的条件。),fzi方法 1：偏积分 xyvu=(,)d()xy由 = ，,yvxu方法 2：第二类曲线积分 ：xydvd,xyxvu由 (,) 曲 线 积 分全 微 分 0(,)(,xyxvy0,d(,)dyuuc其中， 或 ；0C12二、初等函数41. 指数函数： (cosin)zxiywey注：整个复平面解析； zze2. 对数函数： Lnl|arg2iik主 值 lnz
5、注：各分支在除去原点及负实轴的复平面内连续、解析； dlnz13. 幂函数：规定 Lnzwe注： ，处处解析； ， （除原点）处处解析z有理数+无理数，除去原点及负实轴的复平面内解析、多值；4. 三角函数： ；cos2iziesin2izie注：整个复平面解析；导数公式与实变一样；第三章一、复变函数的积分的基本概念、性质1.定义 =()dCfz01lim()nkfz注： 表示沿闭曲线 C 的正方向（逆时针）积分；fA2.复积分的性质；()d()d()dCCCfzgzfzgz；()Cf；12()()CCfzzfz二、复积分的计算1. 在 内不一定解析：设曲线 ， ，则()fzD:()()ztxi
6、yt:ab，其中，d()ddbbCaazfttf ()ztxiyt5注：重要的结论： ， （曲线 包含 ） ；021dnCizAC0z2. 在单连通域 内解析：()fzD（1）C 为 D 内的任意一条简单闭曲线，则 ()d0.CfzA（2）C 为 D 内的任意一条简单曲线，则 100()zGz（3） 在单连通域 D 内解析，D 内闭曲线 C 包含 ，则()fz， 00d()2CfziA()010()2d!nnfzifzA3. 在多连通域 内解析：()fz12d()d()d()d.nCCCCfzfzfz注： 为逆时针方向；,i第四章 一、复数项级数 （其余的概念及性质类似）1.复数列： ，其中
7、；1,2n nnaibNote： 收敛 ，0na 0 2. 敛散性的判别： （1）实部 、虚部 都收敛；0n1n1nb（2） ，则 发散；lim0n0n（3）若 收敛，则称 绝对收敛。 （模）1n1n（4）若 发散， 收敛，则称 条件收敛。1n1n1n二、复变函数项级数 （其余的概念及性质类似）1.收敛域：标准型 收敛圆半径：0ncz 1|limncR6一般型 000ntzncz ncz2.和函数：借助基本展式 ，通过变形（求导、积分、拆项）求和。01nz三、将函数展成泰勒、洛朗级数（1）根据奇点的个数，将复平面分为几个解析环；（2）根据所借助解析环的范围，将函数变形 （拆项、逐项求导、逐项求
8、积） ，借助1z， 展开。23011nzz |第五章 留数一、孤立奇点 10100() ()()mccfz czzz 本 性 奇 点 可 去 奇 点 阶 极 点可去奇点： ； 0li)zf阶极点： ； note：该条件只能判断是极点；m0(z（有限值） ，则 为 的 阶极点00li)mzfzc0z()fm本性奇点： 不存在，且不为 ；0(z二、留数1. 留数：设 为函数 的孤立奇点，将 在 的去心邻域内展成洛朗级数：0z()fz()fz00nnfc1010()cz 称 在 的留数。记作： ，1c()fz0 01Res(),fc()d2CfziA其中，C 是 的去心邻域内绕 的一条简单闭曲线。
9、00z7注： 1()d2CfzicA2. 留数的计算方法（1）若 为 的可去奇点，则 ；0z()f 10C（2）若 为 的 1 阶极点， 0Res(),lim()(zffz若 为 的 阶极点，则0z()fm011 0li()!mmzdczfz；（第三章）1 10()d22nCCgfiizA（3）由洛朗展式取 。 （本性奇点）1c我们在计算的时候要灵活选择方法，不要拘泥于一种方法。三、留数在实定积分计算中的应用1. 形如 的积分 20(cos,in)dR方法：（1）令 ，则izecsindidzdzi，cos2iie12z21sinzi0,:izeC （2）原式=2211,zRdziA|1()d
10、fzAes(),.kkif2. 形如 ， 的积分dx()d(0)iaxe8说明：（1） ， 为多项式；()PxRQ,()x（2）分母 的次数比分子 的次数至少高二次（高一次） ； ()（3）分母 无实根。 x方法： ()dR()2Res(),kCkzizA注： ：包含 所有上半复平面内的奇点的闭曲线， 是 在上半平面内的k()Rz孤立奇点。方法： ()diaxRe2Res(),.iazkki AiB其中， 是 在上半平面内的孤立奇点。 kzNote： +()diaxe()cosdxa()sind.Rxai第七章 Fourier 变换1.定义： Fourier 正变换： F ()()editFf
11、()ftFourier 逆变换： F 12itft12.性质： F F 12()aftbft12()()aFb1()d()tftFi F F 0ft0ite 2tf F F ()()fti 1()fata F tfi3. 函数； ； ；()d(0)tftf ()tt()d(0)tftfF ； F ； F ；1202ite9F ； F ；002()ite1()()uti第八章 Laplace 变换1.定义：Laplace 变换： L 0()()edstFsf()ft2.性质： L L 12()aftbft12()asb01()d()tfFs L L ()ftu()seF()sft L L ()(0ftsf 1()fatFa L tfF3. 常用的 Laplace 变换L ； L ； L ；1()uts()1t1ktesL ； L ； L 1!m2sin2coskt
