1、 题 目： 幂指函数极限的计算学 院： 数学与信息科学学院姓 名： 何晓岭指导教师： 魏喜凤毕 业 论 文I幂指函数极限的计算【摘要】函数极限是数学分析中的一个重点知识,也是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学好数学分析的关键. 而在函数极限的计算中，有关幂指函数极限计算的题目类型多、难度大且灵活多变.为此，首先给出了幂指函数的定义，其次讨论幂指函数确定式( 型)和不确定式（ 型、BA0型、 型）的极限问题，最后整理总结了幂指函数极限的计算方法,并通过10实例说明这些方法的实用性.【关键词】幂指函数；极限；确定式；不确定式；计算方法IIThe Calculation of the
2、 Power Exponent Function Limit【Abstract】The limit function is a key knowledge of mathematical analysis, and calculus based, therefore, it is important for the learning of mathematical analysis to master the methods of solving the limit of function .But in the calculation of the function limit, the s
3、ubjects of calculation about power exponent function are various,difficult and flexible. so, we first give the definition of the exponential function, followed by a discussion of limit problem of power exponent function to determine the type and uncertain type, finally summarize the methods of power
4、 exponential function limit, and explain the practicability of these methods by actual examples.【Key Words】power exponent function; limit; determine type; uncertain type; methods to solve problemIII目 录1 引言 .12 幂指函数的定义 .12.1 指数函数 .12.2 幂函数 .12.3 幂指函数 .13 幂指函数的极限 .13.1 确定式 .33.2 不确定式 .34 幂指函数极限的计算方法 .
5、34.1 直接法 .34.2 重要极限 .44.3 对数解法 .54.4 等价无穷小代换 .8 5 结论 .9参考文献 .9致谢 .11幂指函数极限的计算01 引言函数极限问题是数学分析中的一个重点知识，是微积分学的基础，因此，掌握好函数极限的求解方法是学习中的关键一环，使许多问题得以解决.其中，幂指函数极限的计算是难点，因为幂指函数的运算题目类型多，而且技巧性强、灵活多变，对于幂指函数求极限问题,许多学生不能对各种题型加以区分从而找不到快速正确的解题方法，影响做题的正确性.分析发现，这一问题的原因是许多学生对幂指函数的概念和定理理解不深刻，把幂指函数与幂函数、指数函数混为一谈，对题目中出现的
6、题型及解题方法没有整理总结找到其中的解题技巧.因此，对幂指函数极限的计算问题，有必要给出幂指函数的定义、讨论幂指函数极限的类型并对解题方法进行整理总结，让更多的学习者很好地认识幂指函数，增强对求极限的多种技能技巧的理解和合理运用求极限技巧的能力，从而提高解题的正确性及效率，提高分析问题的能力和解决问题的能力.2 幂指函数的定义2.1 指数函数一般地，形如函数 叫作指数函数，其中 是自变量，(0,1)xya=x定义域为 .R2.2 幂函数一般地，形如函数 叫作幂函数，其中 是自变量，定义域为()yxRx.(0,)+2.3 幂指函数设 、 是定义在区域 D 上的两个函数，形如 的函数()uxv (
7、)vxyu叫作区域 D 上的幂指函数，其中 .()0ux以上给出指数函数、幂函数以及幂指函数的定义，目的是更好地理解幂指函数，不能将幂指函数与指数函数、幂函数混为一谈，幂指函数具有幂函数和指数函数的两重特性.3 幂指函数的极限对自变量 情形下的幂指函数 的极限问题进行探讨：0,x()vxyu求幂指函数的极限时，因为 ，可以把它改写为指数函数()ux石家庄学院毕业论文1，再由指数函数的连续性即知幂指函数的极限()()lnvxuxyue,其中假设所写出的极限存在.这样，就把000lim()ln()()llimlixvuxvxxe求幂指函数的极限 转化为求极限 .所以，很自然地考0()vx 0li(
8、)ln(xvux察 和 ，而对于极限 和 ，若至少有一个不存在0li()xu0li()x 0li)xu0（不包括极限为无穷的情况），则幂指函数 的极限问题极为复杂，()vxy且在实际问题中几乎不出现，没有其研究意义.因此，假设 , 0lim()xuA(包括 A、B 为无穷的情形).下面，将给出讨论：0lim)xv（1） ; 则 .1,0()limvxBxuA(2) ; 则 .,0(),liBvxx A（3） ; 则 .1,AB0()li1vBxu（4） 时， 是不确定式.0()mx（5） ; 则 .,0()livBxA（6） ; 则 .1,AB0(),liBvxx Au（7） 时, 是不确定式
9、.00()limvx（8） 时 , .0()xBxu时, .,AB0()livA(9) ; 则 .0()xBx(10) ; 则 .,0()limvu（11) 时， .0AB0()xBxA时， .,0()liv（12） ; 则 .0()0xBxu幂指函数极限的计算2（13） ; 则 .0,AB0()limvxBxuA（14） 时， 是不确定式 .0()上述情况（4）记作 型、（7）记作 型 、（14）记作 型， 型、1001型、 型三种形式为幂指函数极限问题的不确定式，其余情况为幂指函数00极限问题的确定式.自变量 时，幂指函数的极限类型与 的极限类型有相同的情x 0x况，就不再列出.注 1 若
10、 为小于 1 的非负数，而 为无穷时，则极限 并不是不AB0()limvxxu确定式. 其中包括易误认为是不定式的 型，因为，当指数趋于无穷大时有0，而当指数趋于负无穷大时有 .0注 2 对于幂指函数 的不确定式极限问题，它的底数部分 与()vxyu ()ux指数部分 的极限过程是同步进行的，也就是说，它是一个整体的极限，而()vx不能简单地理解为其底函数部分与指数函数部分分别单独求极限，更不能有求极限的先后次序.4 幂指函数极限的计算方法4.1 直接法直接法求极限主要用于幂指函数极限的确定式类型.当幂指函数的底数部分和指数部分二者的极限都存在，且底函数 的极限大于零时，即当()ux， （B
11、为正常极限）时，则利用指数函数的连续性0lim()xuA0lim()xv得 .00li()xvxxxuA有一道求极限的问题 ，如果对底数部分和指数部分分别求极12li()3xx限 ，则由 1 的任何次幂都等于 1 得11lim,li32xx的解法是错误的.错误之一在于对幂指函数底数和指数部分2li()x石家庄学院毕业论文3分别求极限，不理解只有当 ， （B 为正常极限）时，0lim()xuA0li()xv才可以用直接法求极限，错误之二在于认为不管幂的值 为多少都有 ，其1实，1 的任何次幂都等于 1 指的是 1 的有限次幂.下面结合实例理解直接法求幂指函数的极限：例 4.1.1 求极限 .10
12、lim()2xx解 因为 ， 为正常极限 , 01lix0li1x所以用直接法就得到极限 .10li()2xx例 4.1.2 求极限 .11lim()xx解 因为 ， 为正常极限,12li03x11lilim2xx所以用直接法就得到极限 .112lim()23xx4.2 重要极限利用重要极限求极限主要针对幂指函数极限问题的不确定式 型. 1（1） 1lim()xxe（4.2.1） 等价于同时成立以下两个极限：1li()xxem（2）将（4.2.1）可变型为：10li()xxe（4.2.2）（3）在（4.2.1）的基础上可以用下列方法解决许多 型的不确定式问题，1幂指函数极限的计算4就是对于 的
13、情况，有lim()0,li()xaxafg=1lim()() ()()li(1li(xafgfxgxaxaf e+=（4.2.3） 于是只要计算 即可.lim()xafg例 4.2.1 求极限 .10li()xx解 这是一个 型不确定式极限，可用重要极限求解,将 化为 ，则指数部分需出现 ，1()fx2()1fx12x所以利用重要极限得 .1200limli()xxx e例 4.2.2 求极限 .21li()xx解法 1 将括号内的分子分母同时除以 后即可利用（ 4.2.1）如下求极限：2.2 2122lim()li()x xx e解法 2 这是一个 型不确定式极限，用（4.2.3）的方法就得
14、到1.22lim11li()li()xxx e4.3 对数解法对幂指函数 ，等式两边可以同时取对数，便得到 ()0)vxyu,通过求 的极限 ，()lnlnvxyulny00limnli()ln(xxyvux便可以得到幂指函数的极限 .00li()limivxxe对数解法解决幂指函数极限的不确定式 型、 型、 型，这三种不确定10式极限一般经过对数变换后，均可化为 型或 型的不定式极限，我们在题目石家庄学院毕业论文5中解决不定式极限 型、 型用到更多的方法是洛必达法则. 0我们在转化为 型或 型不定式极限后利用洛必达法则求极限时，应注意以下几点内容：定理 4.3.1【1】 若函数 和 满足:(
15、)fxg（） ;00lim()lixxf（） 和 在 的某空心邻域 内可导，且 ; g0()Ux ()0gx（） ( 可为实数，也可为 )0()lixfA则 00()limli(xxffg定理 4.3.2【1】 若函数 和 满足：)f(gx（） 00li()lixxf（） 和 在 的右邻域 内可导，且g0()Ux ()0gx（） (A 可为实数，也可为 )0()limxfA,则 00()()lilixxffg以上以导数为工具研究不定式极限的方法称为洛必达法则.注 1 在定理 4.3.1 中，如果 仍是 型不定式极限，只要有可能，0()limxfg0我们可再次利用洛必达法则，即考察极限 是否存在，这时 和0()lixf ()fx在 的某邻域须满足相应的条件 【1】 .定理 4.3.2 中，若有可能，也可再()gx0次利用洛必达法则.注 2 由洛必达法则条件的充分性可得，若极限 不存在，并不能0()limxfg
