1、1概率论与数理统计一、填空题1已知 则 （ 0.25 ）,5.0,4.,3.0BAPAPBA2已知在 10 只产品中有 2 只次品，在其中任取一只，作不放回抽样，则两只都是正品的概率为（ 28/45 ）3理论上，泊松分布是作为二项分布的极限引入的。即当 n 0，p ，且np （常数 ）时，有关系式 = 成立。 limnCpmnqe!4三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 1/5,1/3,1/4,则三人中至少有一人能将此密码译出的概率是（ 0.6 ）5若事件 A,B 为任意事件,则 P(A+B)=P(A)+P(B)-P( AB ). 6写出随机变量 X 服从参数为 （正常数）的泊
2、松分布的概率公式（ ）kXP!ke7当随机变量 R.V. N（ , ）时，有 Pa0=0.6 。 （ ）7、 设样本的频数分布为 X 0 1 2 3 4频数 1 3 2 1 2则样本方差为 1。 （ ）8、 D(X+1)=D(X) ( )9、 甲乙两人各自考上大学的概率分别是 70%，80%，则甲乙两人同时考上大学的概率是 56%。 （ ）10、 如果密度函数连续，那么密度函数是分布函数的导数。 （ ）三、单项选择题1设随机事件 A 与 B 互不相容，且 P（A）P（B）0，则 ( ) A P(A)=1-P(B) BP(AB)=P(A)P(B) B CP(AB)=1 DP(AB)= p(A)+
3、P(B)2已知随机变量的分布列 R.V. ,则 k 值是( ).4.0321A0.3 B0.5C0.6 D0.73设 A，B 为随机事件，P（B）0，P（A|B）=1,则必有 ( ) A P(AB)P（A） BP(AB)P（B）C P（A）P（B） DP（AB）P（A）4、若事件 A 发生必将导致事件 B 发生，则称（ ）AA 包含 B BA 包含于 BCB 包含于 A DA 与 B 相等5将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为 ( ) 3A0.25 B 0.35 C 0.6 D 0.7 6某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为 3/4，他连续射击直到命中为止，则射击
4、次数为 3 的概率是( ) A2/3 B3/4 C3/64 D4/5 7下列分布中，不是连续型分布的是（ ）A二项分布 B正态分布C指数分布 D 分布8已知随机变量 X 的概率密度为 f(x)=1/2，令 Y2X，则 Y 的概率密度为 ( ) A -3 B-4 C+1 D-1 9、在相同条件下进行的 n 次重复试验，如果每次试验只有 2 个可能结果，而且它们在各次试验中发生的概率不变，则称这样的试验为 n 重（ ）An 重古典试验 Bn 重统计试验Cn 重泊松试验 Dn 重伯努利试验10如果函数 f(x)=1/3,是某连续随机变量 X 的概率密度，则区间a,b可以是 ( )A0,1 B0.2
5、C0,3 D1,2 11. 甲乙二人射击，每枪中靶的概率分别为 0.7, 0.8,则二人各打一枪同时中靶的概率为 ( ) A. 0.6 B. 0.7 C. 0.56 D. 1.5 12. 一次抛掷十枚硬币，恰好两枚正面向上的概率为 ( ) A. 52(-10) B.452(-10) C. 542(-10) D. 42(-10)13、已知 A，B 是样本空间中的两事件，且 =1，2，3，4，5，6，7，8，A=2，4，6，8，B=2，3，4，5，6，7，则 是（ ）ABA2，4，6 B2，4，6，8C1，3，5，7，8 D1，3，5，714 .已知随机变量 X 和 Y 相互独立，且它们分别在区间
6、-1,3和2,4上服从均匀分布，则 E（XY）（ ）4A 3 B6 C10 D1215设 （x）为标准正态分布函数，且 P(A)=0.8，X1，X2，X100 相互独立。令 ，则由中心极限定理知 Y 的分布函数 F（y）近似于 （ ）A（y） B (X) C0.8 D1 四、简答题。1叙述伯努利大数定理。答：设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数。 是事件 在每次AnApA试验中发生的概率，则对于任意正数 ，有01limpnPAn或 0An215 名新生随机地平均分配到三个班级中去，这 15 名新生中有 3 名是优秀生。问（1）每个班级各分配到 1 名优秀生的概率是多少？（2）3 名优秀生分
7、配在同一班级的概率是多少？（本题是课本 17 页例 7）答案：15 名新生平均分配到三个班级中去的分法总数为。每一种分配法为一基本事件，且由对称性易知每个基本事!51051件发生的可能性相同。（1） 将 3 名优秀生分配到三个班级每班一个的分法共 3！种，其余 12 名新生平均分配到三个班级中的分法共有 种。因此，每一个班级各有)!4/(12一名优秀生的分法共有 种。于是所求的概率为!/)!3(.9125!4!13p3叙述棣莫弗拉普拉斯中心极限定理。答：设随机变量 服从参数为 的二项分布，则对于任),(n)10(,pn意 ，有x5xtnn xdepP)(21)1( 2/lim五、计算题。1设随
8、机变量 的分布律为X-1 2 3kp41141求 的分布函数，并求 ， ， 。X2XP253X3XP答： 仅在 三点处其概率不为 0，而 的值是 的累,1x )(xFx积概率值，即为小于或等于 的 处的 之和，则有kxkp3,12,0)(xxXPxF即 3,124,0)(xF，)2(1XP，2143)(53F。432)3(2 XPXP2设随机变量 具有概率密度其 它.0,43,xkxf6确定常数 ； 求 的分布函数 ； 求 。1k2XxF3271XP答： 由 ，得1dxf解得 。30432kxd61k的分布函数为2X.41,326,0303xddxxF， ，即 .41,3,2,02xxF，。3
9、817FXP3已知随机变量 有分布密度P(x)=其 他,031xba又知 P2 3=2P1 2，试求待定系数 a，b.解： （1）3221()()axbdaxbd又 （2）解之得： 5324a+2b=1136ab74设随机变量 服从指数分布，其概率密度为X其中 ，.0,1)(/xef0求 )(XE， 。)(D答： 0/1)(dxedxf，0/exex0/222 1)()( dxdfXE，02/2eexx于是 .222)() XEXD5设随机变量 具有概率密度其 它 ，,0,48xxfX求随机变量 的概率密度。2Y答：分别记 的分布函数为 ，, yFxYX,则 。 282882yPyPyF XY
10、将 关于 求导数，得 的概率密度为Y28yfyfXY,40,128其 它 ,168,.03y其 它86某人独立射击 400 次，命中率为 0.015。试求此人至少命中 2 次的概率。解：因为是独立射击，所以服从二项分布此人在 400 次独立射击中至少命中 2 次的概率=1-此人在 400 次独立射击中只击中 1 次的概率-此人在 400 次独立射击中只击中 0 次的概率。所以有P(此人在 400 次独立射击中只击中 1 次)= = ()p401140()PpCP(此人在 400 次独立射击中只击中 0 次)= = 1- -p(1)()p=1-0.00240467267584-0.0023686
11、0258570=0.995226724738467设随机变量 具有概率密度),(YX.,0,1123),(其 它 xyxyf求数学期望 ， .)(YE)X答： 13213 113134lnln ln2,(dxxdx dxyyyfx.135),()( yyfXYEx8设总体 在 上服从均匀分布， 未知. 是来自 的样本，ba, ba, nX,21求 的矩估计量.ba,答： ,2/)()1baXE.4/)(12/)( 222 baD即 .)(1,21ab解得9.)(3,)(3211211 ba分别以 代替 得到 的矩估计量分别为：2,A2a,1211 )()(niiX.233iiXb9.设总体 的
12、均值 及方差 都存在，且 但 ， 均未知.又设X2.022是来自 的样本. 求 ， 的矩估计量.n,21 答：由 .)()(,22221 XEDE解得 .,212分别以 代替 得到 ， 的矩估计量分别为：21,A,22,X.)(12 2212niinii XX10有一批糖果.现从中随机地取 16 袋，称得重量（以克计）如下：506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布，求总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间。答：由于 ,135.2)(,15,02./,95.0102.tn
13、由数据得 6,7.3sx则得均值 的一个置信水平为 0.95 的置信区间为（503.75 ）,15.260.10即 （500.4，507.1）11为研究某一化学反应过程中，温度 （）对产品得率 （）的影响，xY测得数据如下.温度 （）x100 110 120 130 140得率（）Y40 50 55 60 65这里自变量 是普通变量， 是随机变量，求 关于 的线性回归方程。xYYx答：列表如下; y2x2yxy100 40 10000 1600 4000110 50 12100 2500 5500120 55 14400 3025 6600130 60 16900 3600 7800140 65 19600 4225 9100600 270 73000 14950 33000,10657301222 ninixxS，60711niiniixy y则得 ，6.0xySb186.051271 banini x故回归直线方程为.xy6018
