1、（1）实数与向量的运算法则：设 、 为实数，则有：1）结合律： 。a)(2）分配律： ， 。ba)(（2）向量的数量积运算法则：1） 。ab2） 。)()()( ba3） 。cc（3）平面向量的基本定理。是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量 ，有且仅有21,e a一对实数 ，满足 。,21ea（4） 与 的数量积的计算公式及几何意义： ，数量积 等于 的b cos|ba ba长度 与 在 的方向上的投影 的乘积。|acos|b（5）平面向量的运算法则。1）设 ， ，则 + 。1(,)xy2(,)xya122(,)xy2）设 ， ，则 - 。 a,b,b,3）设点 A ，B
2、 ，则 。1(,)xy2(,)y211(,)ABOxy4）设 ，则 。a,Ra(,)xy5）设 ， ，则 。1(,)xyb2(,)b12()xy（6）两向量的夹角公式：（ ， ） 。122cosxya1(,)xy2(,)xy（7）平面两点间的距离公式： （A ，B ） 。,ABd|AB2211()()xy1(,)xy2(,)y（8）向量的平行与垂直：设 ， ，且 0，则有：a,b2,b1） | 。ab1210xy2） （ 0） 0 。ab210xy（9）线段的定比分公式：设 ， ， 是线段 的分点， 是实数，且 ，则1(,)Pxy2(,)xy(,)Px12P12P（ ） 。12y12O12()
3、tOtt（10）三角形的重心公式：ABC 三个顶点的坐标分别为 、 、 ，则ABC 的重心的坐1(,)Axy2(,)By3(,)Cxy标为 。123123(,)xyG（11）平移公式：。 xhxhykyk OP（12）关于向量平移的结论。1）点 按向量 平移后得到点 。(,)Pxa(,)h(,)xhyk2）函数 的图像 按向量 平移后得到图像 : 。yfCa,)kC()yfxhk3）图像 按向量 平移后得到图像 : ，则 为 。 a(,)hk()yfxf4）曲线 : 按向量 平移后得到图像 : 。(,)0fxy(,)k ,)0fhyk设 a=（ x， y） ， b=(x， y)。1、 向 量
4、的 加 法向 量 的 加 法 满 足 平 行 四 边 形 法 则 和 三 角 形 法 则 。 向 量 的 加 法OB+OA=OC。a+b=(x+x， y+y)。a+0=0+a=a。向 量 加 法 的 运 算 律 ：交 换 律 ： a+b=b+a；结 合 律 ： (a+b)+c=a+(b+c)。 12、 向 量 的 减 法如 果 a、 b 是 互 为 相 反 的 向 量 ， 那 么 a=-b， b=-a， a+b=0. 0 的 反 向 量 为 0AB-AC=CB. 即 “共 同 起 点 ， 指 向 被 向 量 的 减 法减 ”a=(x,y)b=(x,y) 则 a-b=(x-x,y-y).如 图
5、： c=a-b 以 b 的 结 束 为 起 点 ， a 的 结 束 为 终 点 。3、 向 量 的 数 乘实 数 和 向 量 a 的 乘 积 是 一 个 向 量 ， 记 作 a， 且 a = a 。当 0 时 ， a 与 a 同 方 向当 1 时 ， 表 示 向 量 a 的 有 向 线 段 在 原 方 向 （ 0） 或 反 方 向 （ 0） 或 反 方 向（ 0） 上 缩 短 为 原 来 的 倍 。数 与 向 量 的 乘 法 满 足 下 面 的 运 算 律结 合 律 ： ( a)b= (ab)=(a b)。向 量 对 于 数 的 分 配 律 （ 第 一 分 配 律 ） ： ( + )a= a+
6、 a.数 对 于 向 量 的 分 配 律 （ 第 二 分 配 律 ） ： (a+b)= a+ b.数 乘 向 量 的 消 去 律 ： 如 果 实 数 0 且 a= b， 那 么 a=b。 如 果a 0 且 a= a， 那 么 = 。 24、 向 量 的 数 量 积定 义 ： 已 知 两 个 非 零 向 量 a,b。 作 OA=a,OB=b,则 角 AOB 称 作 向 量 a 和 向 量b 的 夹 角 ， 记 作 a,b 并 规 定 0 a,b 定 义 ： 两 个 向 量 的 数 量 积 （ 内 积 、 点 积 ） 是 一 个 数 量 （ 没 有 方 向 ） ， 记 作ab。 若 a、 b 不
7、共 线 ， 则 ab=|a|b|cos a， b （ 依 定 义 有 ：cos a， b =ab / |a|b|） ； 若 a、 b 共 线 ， 则 ab= a b 。向 量 的 数 量 积 的 坐 标 表 示 ： ab=xx+yy。向 量 的 数 量 积 的 运 算 律ab=ba（ 交 换 律 ）( a)b= (ab)(关 于 数 乘 法 的 结 合 律 )（ a+b)c=ac+bc（ 分 配 律 ）向 量 的 数 量 积 的 性 质aa=|a|的 平 方 。a b = ab=0。|ab| |a|b|。 （ 该 公 式 证 明 如 下 ： |ab|=|a|b|cos | 因 为0 |cos
8、| 1， 所 以 |ab| |a|b|）向 量 的 数 量 积 与 实 数 运 算 的 主 要 不 同 点1 向 量 的 数 量 积 不 满 足 结 合 律 ， 即 ： (ab)c a(bc)； 例 如 ：(ab)2 a2b2。2 向 量 的 数 量 积 不 满 足 消 去 律 ， 即 ： 由 ab=ac (a 0)， 推 不 出 b=c。3 |ab|与 |a|b|不 等 价4 由 |a|=|b| ， 推 不 出 a=b 或 a=-b。5、 向 量 的 向 量 积定 义 ： 两 个 向 量 a 和 b 的 向 量 积 向 量 的 几 何 表 示（ 外 积 、 叉 积 ） 是 一 个 向 量 ，
9、 记 作 ab（ 这 里 “”并 不 是 乘 号 ， 只 是 一种 表 示 方 法 ， 与 “”不 同 ， 也 可 记 做 “ ”） 。 若 a、 b 不 共 线 ， 则ab 的 模 是 ： ab =|a|b|sin a， b ； ab 的 方 向 是 ： 垂 直 于a 和 b， 且 a、 b 和 ab 按 这 个 次 序 构 成 右 手 系 。 若 a、 b 垂 直 ， 则ab=0。向 量 的 向 量 积 性 质 ： ab 是 以 a 和 b 为 边 的 平 行 四 边 形 面 积 。aa=0。a 垂 直 b = ab=0向 量 的 向 量 积 运 算 律ab=-ba（ a） b= （ ab
10、） =a（ b）a（ b+c） =ab+ac.注 ： 向 量 没 有 除 法 ， “向 量 AB/向 量 CD”是 没 有 意 义 的 。6、 三 向 量 的 混 合 积定 义 ： 给 定 空 间 三 向 量 a、 b、 c， 向 量 a、 b 的 向 量 积 ab， 再 和 向 量 c 作数 量 积 (ab)c， 向 量 的 混 合 积所 得 的 数 叫 做 三 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 ， 记 作 (a,b,c)或 (abc)， 即 (abc)=(a,b,c)=(ab)c混 合 积 具 有 下 列 性 质 ：1 三 个 不 共 面 向 量 a、 b、 c 的 混 合 积 的
11、绝 对 值 等 于 以 a、 b、 c 为 棱 的 平 行六 面 体 的 体 积 V， 并 且 当 a、 b、 c 构 成 右 手 系 时 混 合 积 是 正 数 ； 当a、 b、 c 构 成 左 手 系 时 ， 混 合 积 是 负 数 ， 即 (abc)= V（ 当 a、 b、 c 构 成 右手 系 时 =1； 当 a、 b、 c 构 成 左 手 系 时 =-1）2 上 性 质 的 推 论 ： 三 向 量 a、 b、 c 共 面 的 充 要 条 件 是 (abc)=03 (abc)=(bca)=(cab)=-(bac)=-(cba)=-(acb)4 (ab)c=a(bc) 7.例 题正 方
12、形 ABCD,EFGA,CHIK 首 尾 相 连 ， L 是 EH 中 点 ， 求 证 LB GK？设 AE=a 向 量 , AG=a, AD=c, AB=c, CH=b,CK=b有 aa=bb=cc=0, a2=a2, b2=b2 ,c2=c2,ab=ab,ac=-ac,ac=ac, bc=bc. bc=-bc * FH=-a+c+c+b LB=FH/2-b-c= -a-c+c-b /2, GK=-a+c+c+b从 * ： -a-c+c-b -a+c+c+b =0. LB GK8、 三 向 量 二 重 向 量 积由 于 二 重 向 量 叉 乘 的 计 算 较 为 复 杂 ， 于 是 直 接 给 出 了 下 列 化 简 公 式 以 及 证 明过 程 ：二 重 向 量 叉 乘 化 简 公 式 及 证 明
