1、学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 专题五 数列不等式专题【命题趋向】在历年高考中，往往把数列当作重要的内容来考查在以考查等差数列和等比数列的定义、数列的通项公式、数列求和等基础知识为主的试题中，关注概念辨析以及等差、等比数列的“基本量法”；在考查数列的综合问题时，对能力有较高的要求，试题有一定的难度和综合性，常与单调性、最值、不等式、导数、数学归纳法等知识交织在一起，涉及化归与转化、分类与整合等数学思想在考查相关知识内容的基础上，高考把对数列的考查重点放在对数学思想方法、推理论证能力以及应用意识和创新意识的考查上使用选择题、填空题形
2、式考查数列的试题，往往突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般、有限与无限等数学思想方法使用解答题形式考查数列的试题，其内容往往是一般数列的内容，其方法是研究数列通项及前 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列n知识，而是与其他内容相结合，体现对解决综合问题的考查力度数列综合题有一定的难度，对能力有较高的要求，对合理区分出较高能力的考生起到重要作用在高考试卷中一般有一个小题有针对性地考查数列的知识和方法，有一道综合解答题重点对数列、数列和函数导数、不等式进行综合考查考查由于新课标的考试大纲在必考部分删除了不等式的证明方法，分式不等式、带绝对值的不等式的解法，绝对值三角不等式等内容，高考对不等式
3、的考查主要体现在其和其他知识的交汇考查上，重点是不等式和导数的结合、不等式和数列的结合、不等式和实际问题的结合，不等式与线性规划高考试卷中一般有 1-2 个小题考查基本不等式的运用、简单的线性规划，在解答题中与其他知识交汇考查【考点透析】数列的主要考点有：数列的概念及其表示，等差数列、等比数列的概念、通项公式和前 项和公式，数列的简单应用等不等式的主要考点有：不等关系与不等n式，一元二次不等式的解法，简单的线性规划，基本不等式及其应用【例题解析】题型 1 数列的一般问题例 1(2009 江苏泰州期末 6)若数列 的前 项和 ，则数na210(3)nS， ， ，列 中数值最小的项是第 项na分析
4、：根据数列中 与 的关系求出 后解决nSn解析：当 时， ；当 时，119a2可以统一为 ，20()0(1)nnaS21na故 ，该关于 的二次函数的对称轴是 ，考虑到 为正整数，且n14n对称轴离 较近，故数列 中数值最小的项是第 项答案 3a3学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 点评：数列问题中其通项公式、前 项和公式都是关于正整数 的函数，要善于从函数nn的观点认识和理解数列问题数列的一般问题中通项 与前 项和 的关系是重点，aS要注意把 和 分开讨论，再看能不能统一1n2例 2 （江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期
5、期未调研测试第 13 题）数列 的前na项和是 ，若数列 的各项按如下规则排列：nSna，112312341, , , , , , 234556若存在整数 ，使 ， ，则 k0k1kSka分析：数列的构成规律是分母为 的一项，分母为 的两项，分母为 的三项等，故这4个数列的和可以分段求解解析： ， ， ，12S32361234， ，下面的和为045165S，这样 ，而7230，故 答案 215317S7ka5点评：本题中数列的前 的和是可以求出来的，但本题的目的不是这个本题12n主要的考查目的就是观察、归纳和运算求解，在其中找到一项恰好满足某个限制条件，是一个设计很优秀的题目题型 2 等差数列
6、与等比数列的基本问题例 3（2008 高考四川理 16）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，nanS4510,S则 的最大值为_ 4a分析：根据已知的不等关系，可以建立关于 的不等式组，通过这个不等式组探究1,d解决的方法解析：等差数列 的前 项和为 ，且 ， nanS450,S学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 ， 即 ， 4153025Sad 1235ad，4113322dada ， ， ， 故 的最45325614314ad4a大值为 点评：本题考查等差数列的通项公式、前 项和公式的灵活运用，解题的关键是基本量n思想，即在不等式
7、组 中，通过不等式建立起 的关于 的不等关系，再123ad4ad通过这个不等关系求出 的范围使问题获得解决的 例 4 （中山市高三级 20082009 学年度第一学期期末统一考试理科第 4 题）已知在等差数列 中, 若 ，则 的最小值为na,4,120d)2(naSA B C D606707分析：根据 和 的关系， ，根据求和公式列出不等式解nS1()nn决解析：根据分析 ，即212046140n n，即 ，即 答案 B2630n66n点评：本题把等差数列的求和与一元二次不等式交汇，体现了在知识网络的交汇处设计试题的原则题型 3 等差数列、等比数列综合题例 5 （中山市高三级 20082009
8、 学年度第一学期期末统一考试理科第 16 题）已知数列 是首项为 ，公比 的等比数列，设 ，数列na14a14q *1423log()nnbaN满足 ncnnb（1）求数列 的通项公式；（2）求数列 的前 项和 ncnS学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 分析：（1）直接计算：（2）根据等比数列的性质数列 为等差数列，这样数列nb就是一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的数列，用“错位相减法”nc解决【解析】 （1）由题意知， ，又 ，*1()4naN143log2nnba故 *32()nbN（2）由（1）知， ， *1,32(
9、)4nab *)()(cn,)41(23()415(732 nnS 于是 ，14)1)(4)1(4 n 两式相减，得 132 )(23()(3 nnnS .)4(23(1n *14nN点评：“错位相减法”是最重要的数列求和方法之一，要熟练掌握例 6（江苏扬州市 2008-2009 学年度第一学期期未调研测试第 20 题）已知等差数列的首项为 ，公差为 ，等比数列 的首项为 ，公比为 (其中 均为正整naabnba,b数) (1) 若 ，求数列 、 的通项公式；12,na(2)在(1)的条件下，若 成等比数列，123,kn ，12(3)kn 求数列 的通项公式；kn(3) 若 ，且至少存在三个不
10、同的 值使得等式123abab成立，试求 、 的值mnatbN学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 分析：（1）根据基本量方法，列出方程求出 的值；（2）就是在一个等差数列中挑,ab出一个等比数列的子数列，根据数列中的项既是等差数列中的项又是等比数列中的项列方程解决；（3）根据给出的不等式和 的条件采用不等式限制的方法确定*,N应满足的条件，根据这些条件探究问题的答案,ab解析：（1）由 得： ，12,abab解得： 或 ，0， ，从而 *,bN2,nn(2)由(1)得 ， 构成以 为首项， 为公比的等132,6a123,knaa ，2
11、3比数列，即： ，又 ，故 ， 1kknkn13k1kn() 由 得： ，123bbb由 得： ；由 得： ，a1a2a12a而 ，即： ，从而得：*,N，1241bb，当 时， 不合题意，故舍去，2,3a所以满足条件的 又 ， ，故 ，(1)mb12nb12nbmt即： 12nt若 ，则 ，不合题意； 02N若 ，则 ，由于 可取到一切整数值，且1n1ntbm12n，故要至少存在三个 使得 成立，必须整数 至少有三个3bnatb2t学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 大于或等于 的不等的因数，故满足条件的最小整数为 ，所以 的最小值
12、为 ，此3 12t10时 或 或 b412点评：本题的难点在第三问，解答这个问题的基本思想是根据不等关系确定相等关系，即从不等式入手，根据 为正整数且 首先确定了 的值（这是解答这个题目的,ababa关键） ，然后采取分离的方法把 用正整数 和自然数 表达出来，再结合问题的要,mnt求确定问题的答案题型 3 递推数列例 7 （2008 高考陕西文 20）已知数列 的首项 ，na123， 12nna1,3（1）证明：数列 是等比数列；na（2）求数列 的前 项和 nnS分析：（1）根据递推式和等比数列的定义；（2）结合通项的具体特点和数列求和的常用方法，采用适当的方法解决解析：（1） ， ， 1
13、2nna112nnaa，又 ， ， 数列 是以为 首项， 为1()2nna131n2公比的等比数列（2）由（）知 ，即 ， 112nna 12na2na设 ， 23nTn则 ，112由 得学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 ，21nT111()22nn n又 1nn3()数列 的前 项和 na 22142nn nnS点评：本题主要考查等比数列的概念和“错位相减”求和法解题的关键是求出数列的通项公式，由于有第一问为引导，这个问题对大多数考生困难不大本题容易n把 看成数列 的首项求错数列 的通项公式， “错位相减”求和时“漏项”1a1n
14、na或“添项” ，计算出错等题型 4 数列的应用例 8 （北京卷理 14）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点 处，其中 ， ，当 时，k()kkPxy， 1x1y2k11255kkxTky，表示非负实数 的整数部分，例如 ， ()Taa(2.6)T(0.2)按此方案，第 棵树种植点的坐标应为 ；第 棵树种植点的坐标应为 6 8分析：通过简单计算就知道 个项组成一个周期为 的数列，数列15k5和 也是有规律的，归纳的方法解决 nxy解析：(1,2) (3, 402) T 组成的数列为 1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,1, 521k0,0,0,
15、0,1(k=1,2,3,4)一一带入计算得：数列 为nx学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5；数列 为ny1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4因此，第 6 棵树种在 (1,2)，第 2008 棵树种在(3, 402)点评：对于新定义型的试题，首先要把握好新定义的含义，这是解决问题的前提，把新定义弄清楚了，问题就是常规的了，在递推数列问题中，往往数列的前几项能给我带来归纳问题一般结论的启示，所以在解答这类问题时，要小心计算数列的前面几项，
16、千万不要出错，不然数列的一般规律就被个别的错误数字所掩盖了题型 5 数列与其他知识的交汇性的综合性解答题1数列与不等式的交汇例 9 （安徽省皖南八校 2009 届高三第二次联考理科数学第 20 题）已知等差数列的前 项和为 ，公差 ，且 成等比数列nanS10,da127,a（1）求数列 的前 项和公式 ； nS（2）设 ，数列 的前 项和为 ，求证：21nbbnT16498()(9)nnT分析：（1）利用基本量方法，通过方程求出等差数列 的公差；（2）数列 满nanb足 ，这是一个等差数列的前 项和与一个关于 的一次函数之比，数列2nSbn极可能也是一个等差数列，求出其和后，根据不等式的有关
17、知识解决n解析：（1） 成等比数列， ，即127,a217a211()(6)add又 ，,04d1() .nSnn（2） 是首项为 ，公差为 的等差数列，()221nbb2()nT21988(1)nn（当且仅当 时取“ ”）2 263(644n4n 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 21646464644.9(9)()(1)010nbnn当且仅当 即 时取“ ” 3又中等号不可能同时取到， 1164298().(9)nnbTb点评：本题以等差数列与等比数列的基础知识入手设计，除了考查数列的基础知识外，重在考查对不等式的理解深度、证明
18、不等式的基本方法，解题的不同思维走向决定了解题的“简繁”程度，如本题要是选择证明 ，不进行仔226463109nn细分析，走证明 的路子，问题虽然也能解决，但221631094n复杂程度可想而知2数列与函数、不等式的交汇例 10 （广东省潮州市 20082009 学年度第一学期高三级期末质量检测理科第题） 已知是 的图象上任意两点，设点 ，12(,)(,)AxyB21(logxfx1(,)2Mb且 ，若 ，其中 ，且 OM1()niSfnN（1）求 的值； b（2）求 ；nS（3）数列 中 ，当 时， ，设数列 的前 项na123n1()nnaSna和为 ，nT求 的取值范围使 对一切 都成立
19、1()nSN分析：（1）向量试说明 是 的中点，根据中点坐标公式求解 的值；（2）根据MABb经验和第一问的结果，这是一个倒序相加求和的问题；（3）解析：（1）由 ，得点 是 的中点，()2O1(,)2bAB则 ， 故 ， ， 21()x12x1x学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 学而思教育学习改变命运 思考成就未来！ 高考网 所以 12122()(loglog)fxfxxb121221 1(logl)(l)(0)xx（2）由（1）知当 时， 21212)(ffy又 ， 1()(ni nSffff ，21)nfffn1212()()()(n nnSffffff1个（ ，且 ） 2nN2n（3） ，41112na n故当 时243451nT ，故由 得 ，1243n 1()nTS2n即 ，只要 ， ，2n2max4()n244()82n故当 时， ；1当 是 ， ，由 得 ，而 n123TS234912
