空间直角坐标系的建立的常见方法.doc

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1、第 1 页 共 4 页一、空间直角坐标系的建立的常见方法运用“坐标法”解答空间几何体问题时,往往需要建立空间直角坐标系依据空间几何体的结构特征,充分利用图形中的垂直关系或构造垂直关系建立空间直角坐标系,是解决问题的基础和关键 一、利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 例 1、在正方体 ABCDA BC D中,点 M 是棱 AA的中点,点 O 是对角线 BD的中点.()求证:OM 为异面直线 AA和 BD的公垂线;()求二面角 MBCB的大小;w_w w. k#s5_u.c o*m例 2、如图,在直三棱柱 中,1ABCAB=1, ,ABC=60 .130()证明: ;()求二面角 A B 的大小。w

2、.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1C二、利用线面垂直关系建系例 3、已知三棱锥 PABC 中,PA 面 ABC,ABAC,PA=AC= AB,N 为 AB 上一点,AB=4AN,12M,S 分别为 PB,BC 的中点.()证明:CMSN ;()求 SN 与平面 CMN 所成角的大小.DABCMOACBAC1B1A1第 2 页 共 4 页例 4、如图,正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直,CEAC,EFAC,AB= 2,CE=EF=1.()求证: AF平面 BDE;()求证: CF平面 BDE;()求二面角 A-BE-D 的大小。例 5、如图,在三棱锥 中, ,PABC

3、2, , 90ACB()求证: ;()求二面角 的大小;()求点 到平面 的距离例 6、 如图 2,在三棱柱 ABCA 1B1C1 中,AB侧面 BB1C1C,E 为棱 CC1 上异于 C、C 1 的一点,EAEB1已知 ,BB 12,BC1,BCC 1 B3求二面角 AEB 1A 1 的平面角的正切值ACBPzxy第 3 页 共 4 页三、利用面面垂直关系建系例 7、如图 3,在四棱锥 VABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD(1)证明 AB平面 VAD;(2)求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的余弦值例 8、在直三棱柱 中,1AB

4、CABBC,D、E 分别为 的中点,(1)证明:ED 为异面直线 与 的公垂线;1(2)设 ,求二面角 的大小12ACB11ADC例 9、四棱锥 SABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,侧面 SBC底面 ABCD。已知ABC45,AB2,BC= ,SASB 。23()证明:SABC;()求直线 SD 与平面 SAB 所成角的大小;例 10、如图,直三棱柱 1ABC中,ACB, 1, D为 的中点, E为 1AB上的一点,3E()证明: E为异面直线 1与 C的公垂线;()设异面直线 1AB与 D的夹角为 45,求二面角11AC的大小DBCASOyxz第 4 页 共 4 页bana四、利用

5、正棱锥的中心与高所在直线构建直角坐标系例 11 已知正四棱锥 VABCD 中,E 为 VC 中点,正四棱锥底面边长为 2a,高为 h(1)求DEB 的余弦值;(2)若 BEVC,求 DEB 的余弦值二、求平面的法向量法向量的定义:如果向量 平面 ,那么向量 叫做平面 的法向量。平面的法向量aa共有两大类(从方向上分),且有无数条。方法:1、 找现成的面的垂线;2、 不定方程组法:设平面 的法向量为 , 是平面 内的 2 个相交向量,(,)nxyz12(,)(,)axyzbxyz和 由可得一个含 的不定方程组,然后在 中任取一个好算的值(一般不能取0nab,z,z0)即可得一个法向量 。n3、 矢量积法:= =1122ijknabxyz111222,zxy2121221(,)zyxzyx注意: 与 都垂直,并且按 , , 这个顺序构成右手系。,b

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