1、1专题四：曲线运动 万有引力与航天一、曲线运动：（一）曲线运动的条件：F 与 v0 不在同一直线上。（二）曲线运动的特点：v 沿切线、F 指向凹侧；1、力与轨迹：合力指向轨迹的凹侧；2、力与速度：切向分力改变 v 的大小；径向分力改变 v 的方向；(具体阐 述平抛、斜向上抛、匀速 圆周运 动、水流星等运 动中力与 v 的关系，并引出一个观点：物体在某一方向上的运 动只取决于此方向的受力和初速度。)3、轨迹与速度：轨迹的切线代表 v 的方向，而不是 v 大小，注意与 x-t 图象的区别。例一：如图所示,点电荷的静电场中电场线用实线表示,但其方向未标明,虚线是某一带电粒子通过该电场区域时的运动轨迹
2、.a、b 是轨迹上的两点.若带电粒子在运动中只受到电场力的作用,根据此图可作出正确判断的是 (CD )A. 带电粒子所带电荷的性质B. a、b 两点电场强度方向C. 带电粒子 a、b 两点处的受力方向D. 带电粒子在 a、b 两点的速度何处较大例二：一质点在 xOy 平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是( A )A若在 x 方向始终匀速运动，则在 y 方向先减速后加速运动B若在 x 方向始终匀速运动，则在 y 方向先加速后减速运动C若在 y 方向始终匀速运动，则在 x 方向一直加速运动D若在 y 方向始终匀速运动，则在 x 方向一直减速运动例三：一带正电的小钢球 m 以初速度 v0 在光
3、滑水平面上运动，后受到另一正电荷的排斥作用力而做曲线运动，从 M 点运动到 N 点，如图所示过轨迹上 M、N 两点的切线MM和 NN将轨迹 MN 上方的空间划分为四个区域，由此可知，该正电荷可能处在哪个区域( )A区 B区C或区 D均不可能（三）曲线运动的分解首先让学生回答什么是运动的合成和分解1、定则：平行四边形（x、v、a 均为矢量）2、性质：独立性、等时性、等效性（前一个性质是保障，后两个性质可列方程求解）3、思想：将曲线运动分解为直线运动或熟悉的运动模型。例一：一半径为 r 光滑圆筒高 h，如右图所示，现将一小球以速度 v 从 a 点水平切入圆筒，结果刚好从其正下方的 b 点射出。试说
4、明小球在圆筒内作何运动，速度 v 应满足什么条件？4、原则：分解实际运动2（四）曲线运动的模型：1、速度关联：例一：如图所示，轮船以恒定的水平速度 v0 沿水面向远离河岸方向运动，通过跨越滑轮的钢丝绳拉动岸上水平轨道上的重物，当钢丝绳与水平面夹角为 的瞬间，岸上重物移动的速度多大？ v0cos例二：如图所示，一个带滑轮的物体放在水平面上，一根轻绳固定在 C 处，通过滑轮 B 和 D 牵引物体，BC 水平，以水平恒速 v 拉绳上自由端时，物体沿水平面前进求当跨过 B 的两绳夹角为 时，物体的运动速度为多少？法一：设经 t 时间物体由 B 运 动到 B ，如图，使 DE=DB，则 D 端绳子运动的
5、距离 s 为，sE当 t0，可以认为 BEBD，则，co1cos又 ， ，可得0limtsv0litBv物，1c物所以物体的运动速度为 cosv物法二：关联速度法（1）设只有一根水平绳子拉动物体：（2）设只有一根倾斜绳子拉动物体：3（3）把两种情况合在一起：2、小船过河：例一：一条宽为 L 的河，水流速度为 v1，船在静水中的速度为 v2，那么：(1)怎样渡河时间最短？最短时间是多少？(2)若 v1v2，怎样渡河船漂下的距离最短？最短距离为多大?身不由己、尽力而 为例二：A 船从港口 P 出发，拦截正以速度 v0 沿直线 MN 航行的 B 船，P 与 B 船所在航线的垂直距离为 a， 船起航时
6、，B 船与 P 点的距离为 b，且ba，如图所示。 如果略去 A 船起动时的加速过程，认为它一起航就作匀速运动，求 A 船能拦到 B 船所需的最小速率。法一：设两船相遇于 点， 与 间的夹角为，则：HvN船的位移AcosaA船的位移Btan2bB因时间相等，故有 0vsA整理化简以上各式后有其中sinicos020baabvvA barcos可见当 rcr即当 船速度方向与 垂直时有最小值MPavA0min法二：以 B 船为参考系，A 船已 经具有水平向右的分速度 v0，再有一自身的分速度 vA 后，合4速度必须朝向 B 船方能实施拦 截。由 图，显然，满足这样条件的最小 。bavvA00si
7、n3、平抛运动：(1)类型：任意的初速度+ 只受重力；轨迹有直线和抛物线两种。 （轨 迹得出的方法：建立 y 与 x 的函数关系，如平抛运动有 ，其斜率 ，此 处速度 ，进一步201gtyvxxvgk02 kgvgtv20220)(证明轨迹的斜率不是速度，只是速度的方向。 ）例一：、在光滑的水平面内，一质量 m=1 kg 的质点以速度 v0=10 m/s 沿 x 轴正方向运动，经过原点后受一竖直向上的恒力 F=15 N 作用，从此开始，物体离开水平面而在竖直平面内运动。直线 OA 与 x 轴成 37角，如图所示，曲线为质点的轨迹图，求( g 取 10 m/s2)：写出质点的运动轨迹方程；轨迹与
8、直线 OA 的交点坐标；质点经过 P 点时的速度。y=1/40 x 2 P (30 m,22.5 m) m/s,与 x 轴正方向成 arctan1.5 角斜向上 135(2)方法：运动的分解与合成平抛运动中的两个矢量三角形tan =2tan速度矢量三角形： 020 tan, vgtvgtvyxyx 位移矢量三角形： 0220 1t,1, tstt 此结论也可表述为平抛运动的物体在任一位置的瞬时速度的反向延长线过水平位移的中点。例二：如图所示，光滑斜面长为 b，宽为 a，倾角为 ，一物块沿斜面左上方顶点 P 水平射入，而从右下方顶点 Q离开斜面，求入射初速度。 ga2/sin例三：如图所示，墙壁
9、上落着两只飞镖，它们是从同一位置水平射出的，飞镖 A 与竖直墙壁成 530，飞镖 B 与竖直墙壁成 370，两者相 距为 d假设飞镖的运动是平抛运动，求射出点离墙壁的水平距5离 （sin37 0=0.6，cos37 0=0.8）解析：首先清楚飞镖与墙壁的夹角为速度与墙壁所成的角，做出如图所示的轨迹图，设水平距离为 x，将两只 飞镖的速度反向延 长与初速度的延长线交于一点 C， ， ，2D037cotCB， 解得 053cotADdAd4例四：如图所示，从倾角为 的斜面顶端水平抛出一钢球，落到斜面底端，已知抛出点到落点间斜边长为 L。(1)求抛出的初速度。(2)抛出后经多长时间物体离斜面最远？并
10、求最远距离。(1) (2) cosin2gLg2sin4cosin法一：速度反向延长线过水平位移的中点。法二：类斜向上抛运动。（四）曲线运动的类型：1、从力的角度分类：恒力：平衡状态静止或匀速直线运动匀变速直线运动匀加速、匀减速直 线运动匀变速曲线运动抛体运动变力：变速曲线运动匀速圆周运动单摆（角度范围、受力特征）变速直线运动弹簧振子例一：若以固定点为起点画出若干矢量，分别代表质点在不同时刻的速度。则这些矢量的末端所形成的轨迹被定义为“速矢端迹”，则以下说法中不正确 的是( A )A匀速直线运动的速矢端迹是线段； B匀加速直线运动的速矢端迹是射线；C匀速圆周运动的速矢端迹是圆； D平抛运动的速
11、矢端迹是竖直方向的射线。2、从运动的角度分类：（1）两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。如：蜡块的运动、小船 过河问题等。例一：如图所示，一块橡皮用细线悬挂于 O 点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度（A ）（A）大小和方向均不变（B）大小不变，方向改变（C）大小改变，方向不变（D）大小和方向均改变 变形：例二：如图所示，水平面上固定一个与水平面夹角为 的斜杆 A，另一竖直杆 B 以速度 v水平向左做匀速直线运动，则从两杆开始相交到最后分离的过程中，两杆交点 P 的速度方6向和大小分别为( C )A水平向左，大小为 vB竖直向上，大小为 vt
12、an C沿 A 杆斜向上，大小为vcos D沿 A 杆斜向上，大小为 vcos 解析：两杆的交点 P 参与了两个分运动：与 B 杆一起以速度 v 水平向左的匀速直线运动和沿 B 杆竖直向上的匀速运动，交点 P 的实际运动方向沿 A 杆斜向上，如图所示， 则交点 P 的速度大小为 vP ，故 C 正确vcos （2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动，当二者共线时为匀变速直线运动（如竖直上抛、下抛运 动），不共线时为匀变速曲线运动 （如斜抛、平抛）。讲解：斜向上抛运动原始：匀速 v+自由落体 1一般：水平vcos 匀速 2竖直vsin 匀减速特殊：沿着 v 方向初速度为
13、 v，以 gcos匀减速 3垂直 v 方向初速度为零，以 gsin匀加速可见，运动的分解与力的分解相似，并不唯一。例一：在 2009 年秋季运动会上，高一 3 班的运动员小李参与掷 5铅球项目的比赛，他以 8m/s 的速度，且与水平方向成 30O 角的速度斜向上抛出（为了简便，不考虑运动员的身高） ，如图所示。取重力加速度 g10m s 2，不计空气阻力。求：（1）铅球在空中飞行时间为 ；0.8st（2）铅球在空中达到的最大高度为 H ；0.8m（2）铅球的水平射程 S。 5.54m思考：运动员掷铅球要想射程最大， 掷铅球的仰角应是多大？由 知 =45O。20sinvg例二：（匀速+匀变速）如
14、图所示的塔吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车 A，小车下装有吊着物体 B 的吊钩。在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体 B 向上吊起。A 、B 之间的距离以 d=H-2t2（SI） （SI 表示国际单位制，式中 H 为吊臂离地面的高度）规律变化。则物体做 ( B、C)速度大小不变的曲线运动速度大小增加的曲线运动加速度大小方向均不变的曲线运动7加速度大小方向均变化的曲线运动例三：在节日里，礼花弹爆炸后在空中形成五彩缤纷的焰火四散开来，此模型可简化为有 8 个小球从同一点以大小相同的初速度，分别作斜抛运动，如图所示，则任一时刻，小球在空中的排列的形状形成什
15、么图案？它将做什么运动？答案：观察节日焰火，经常可以看到五彩 缤纷的焰火呈球形。一般说来，焰火升空后突然爆炸成 许许多多小块（看作发光质 点），各发光质点抛出速度 v0 大小相等，方向不同，所以各 质点有的向上做减速运动，有的向下做加速运 动，有的做平抛运 动，有的做斜抛运动，这些发光质点会形成一个不断扩大的球面（“礼花”越开越大）！解析一：用抛体运动的知识解释设某一发光质点的抛出速度为 v0，与水平方向夹角为 ，将 v0 沿水平方向（x 轴）和 竖直方向（y 轴，向上 为正方向）正交分解。由抛体运动的研究可知 质点的位置坐标为：水平 xv 0 cos t；竖直 yv 0 sin t gt21
16、2联立以上两式得： x 2( y gt2)2 (v 0t)2。12这是一个以 C（0， gt2）为圆心、以 v0t 为半径的圆的方程式。可见，只要初速度 v0 相同，12无论初速度方向怎样，各发光 质点均落在一个圆上（在空间 形成一个球面，其球心在不断下降， “礼花”球一面扩大，一面下落），如图所示。解析二：用运动合成和分解的知识解释礼花炮爆炸后，每个发光质点的抛出速度 v0 大小相同，方向各异，都可以分解为沿原速度方向的匀速直线运动和只在重力作用下的自由落体运动（各个发光质点质量都较小，空气阻力的影响也很小）。很明显，前一分运动使各发光质点时刻构成一个 圆，后一个分运动都相同，所以观察者看到
17、的是一个五彩缤纷的“礼花”球一面扩大、一面下落。(3)两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。(4)两个匀变速直线运动的合运动仍然是匀变速运动；若合初速度与合加速度在同一直线上，8则合运动为匀变速直线运动，如图(甲) 所示，不共线时为匀变速曲线运动。如图 (乙)所示。二、圆周运动：（一）基本关系与方法1、圆周运动 222)(fmrTrvFratwvn向合 证 明 过 程 2、非匀速圆周运动向心力公式 F=mv2/R=m 2R，既适用于匀速圆周运动，又适用于变速圆周运动，对于变速圆周运动来说，式中的 v 和 是做圆周运动的物体在那一时刻的瞬时线速度和瞬时角速度。对于任何圆周运
18、动的物体来说，将物体所受到的所有外力沿半径方向和垂直于半径方向分解后，所有在半径方向上的合力就是向心力：（如单摆、水流星）切向合 沿 切 向 的 分 力沿 半 径 的 分 力 maFFyx（二）基本模型1、同轴传动：相同；2、皮带传动：v 相同；例 1、 无级变速是在变速范围内任意连续地变换速度，性能优于传统的档位变速器。很多种高档汽车都应用了无级变速。如图所示是截锥式无级变速模型示意图，两个锥轮中间有一个滚轮，主动轮、滚轮、从动轮之间靠着彼此之间的摩擦力带动。当位于主动轮与从动轮之间的滚轮从左向右移动时从动轮转速降低，滚轮从右向左移动时从动轮转速增加。当滚轮位于主动轮直径 D1，从动轮直径
19、D2 的位置上时，则主动轮转速 n1，从动轮转速 n2 之间的关系是（ B ）A B 122n212n9C D212n212n解析：v 1=v2，即 ，可见 ，故21Rn21D212n例 2、如图所示，两个用相同材料制成的靠摩擦转动的轮 A 和 B水平放置，两轮半径 RA=2RB当主动轮 A 匀速转动时，在 A 轮边缘上放置的小木块恰能相对静止在 A 轮边缘上若将小木块放在 B 轮上，欲使木块相对 B 轮也静止，则木块距 B 轮转轴的最大距离为( C ) AR B/4 BR B/3 C R B/2 DR B 3、圆锥摆模型运动特点物体做匀速圆周运动，物体做圆周运动的圆心在水平面内；受力特点物体
20、所受的重力与弹力(拉力或支持力) 的合力充当向心力，合力的方向是水平指向圆心的。例 1、如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和 H，筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为 m 的小物块。求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小； 、2mg2RHg(2)当物块在 A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度。例 2、如图所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一质量为 m 的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的
21、夹角为 。下列说法中正确的是( ) A小球受重力、绳的拉力和向心力作用B小球只受重力和绳的拉力作用C 越大，小球运动的速度越大D 越大，小球运动的周期越大讲点：（1）题中选项虽然容易得出，但是 应该予以定量、 严谨 的计算。（2）计算使圆锥摆摆动的最小线速度 ，而最小角速度 ：0minv0mincossinta in22vgLLvmgLg min2t 10（3）周期的计算： ghLT2cos2摆线确定，周期由 确定；高度确定，周期确定，与 无关。,lm例 3、在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供。若轨道水平，转弯时所需向心力应由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏。车速大时，容易出事故。设车轨间距为 L，两轨高度差为 h，车转弯半径为 R，质量为 M 的火车运行时应当有多大的速度？ Lgv/情况 v 车 (ghR/L)1/2 v 车(ghR/L) 1/2合力 F 与 F 向 的关系 FF 向不利影响 火车挤压外轨 火车挤压内轨结果 外轨对车轮的弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消合力4、竖直面内的圆周运动（1）运动特点：绳模型 最低点： 做完整的圆周运动，最高点 临界速度 最小速度 ；5gRv gR运动至圆心等高位置以上后做斜向上抛运动；2在与圆心等高位置以下，来回摆动。v杆模型
