1、賽制中的機率問題,王美娟 副教授台北市立教育大學數學資訊教育學系 margarettmue.edu.tw校內分機： 1901,賽制中的機率問題,1 棒球篇-北京奧運 2 棒球篇-美國大聯盟 3 籃球篇-美國NBA 4 圍棋篇-瑞士制 5 機率發展簡史 6 幾個有趣的機率問題,1 棒球篇-北京奧運,1 棒球篇-北京奧運,北京奧運棒球突破僵局制的說明：為避免比賽無限制的延長，當比賽延長至第十一局時，進攻方可以先安排兩球員（例如第一、二棒），分別上到二壘及一壘，然後由接下來的棒次打擊（第三棒），如此一來可以增加得分的機會，讓比賽的結果儘快的產生。,1 棒球篇-北京奧運,為了突破雙方僵持不下的特殊賽制
2、往往靠實力取勝的成份會下降靠運氣氣死強敵的機率會上升 是表面上公平，但比較不利於強隊足球賽場上也很常見的（弱隊拼命只守不攻，希望能逼和進入PK大戰,1 棒球篇-北京奧運,從1992年棒球變成奧運正式項目以來，一共128場比賽裡，只出現了5場的延長賽，其中超過10局的只有一場，延長賽發生的機率只有3.9%,1 棒球篇-北京奧運,從1984年以來在奧運殿堂上，中華隊共遇到4場延長賽，機率高達16.7%，而且對手不是日本（3次），就是韓國（1次）,1 棒球篇-北京奧運,日本隊因為在歷屆奧運棒球賽全勤，所以遇到延長賽的場次也為各國之冠（六場）。,1 棒球篇-北京奧運,根據統計，進入延長賽時，沒有強弱隊
3、之分，也沒有先後攻之別，贏球的機率都是一半一半（約50%）。,1 棒球篇-北京奧運,日本的六場延長比賽剛好贏三場，但值得注意的是，這三場都是讓中華隊飲恨。,2 棒球篇-美國大聯盟,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝大聯盟一季打了 162 場，結果在第一輪的季後賽採五戰三勝的賽事，讓爆冷門的機會大增。跟五戰三勝的賽事相比，七戰四勝制到底對強隊多了多少保障？,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝以七戰四勝來說，先贏四場的機會，可假設七場都打了，贏得四場以上的機會。因此，可依據 Bernoulli 分佈去計算機率。,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝橫軸是單場
4、比賽獲勝的機率，縱軸是贏得系列比賽的機率。藍線是七戰四勝的結果，紅線則是五戰三勝的。,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝若某隊在單場對戰有六成的勝率，在七戰四勝中脫穎而出的機率是 85.97%，而在五戰三勝中是 79.78%。,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝若單場有五成五的勝率，七戰四勝下獲勝的機率是 72.74%，五戰三勝下是 67.51%。,2 棒球篇-美國大聯盟,七戰四勝 vs 五戰三勝在所有不同單場勝率下，兩者差最多是在單場勝率為 59% 時，差距為 6.21%。也就是說，七戰四勝制最多只比五戰三戰制為強隊提供 6.21% 的獲勝機會。,3 籃球篇-美國
5、NBA,3 籃球篇-美國NBA,以美國國家職業籃球賽(NBA)為例，以其例行賽時的戰績推論其季後賽時彼此之間的勝負情形。,3 籃球篇-美國NBA,NBA的季後賽為七戰四勝由八隊作單淘汰賽制的比賽，其勝負關係是否與例行賽中的勝率有極緊密的關係？又是否可由例行賽中的戰績來推論季後賽時的勝負關係？,3 籃球篇-美國NBA,以機率的觀點來看，設A隊在例行賽時的勝率為a，B隊在例行賽時的勝率為b，則當此二隊相遇時：A隊的勝率為a /（ a b ）B隊的勝率為b /（ a b ）。,3 籃球篇-美國NBA,計算各隊在相遇時彼此的勝負情形，與季後賽實況的結果對照。例：19961997年球季，音速隊的勝率為0
6、.695，太陽隊的勝率為0.488 。當兩隊在相遇時，音速隊的勝率0.695/(0.695+0.488)=0.587太陽隊的勝率0.488/(0.695+0.488)=0.413乘上比賽次數5，分別得到2.94與2.06，和實際結果3與2 極為接近。,3 籃球篇-美國NBA,以19961997年球季的NBA西區的比賽作更詳細的統計。例行賽戰績：,3 籃球篇-美國NBA,3 籃球篇-美國NBA,凡是勝隊的勝利場數都與推測的非常接近，但是敗隊的勝利場數都與推測的差距較大。 這應該是因為NBA季後賽的規則，是當兩隊中其中的一隊獲得過半的勝利後即晉級，不一定會打到七(或五)場。 而敗隊的勝率本來就較弱
7、，獲得勝利的機率偏低。所以敗隊多在獲得較多勝利前即已遭淘汰。,4 圍棋篇-瑞士制,4 圍棋篇-瑞士制,瑞士制第一輪比賽，可隨機配隊，而得到一半的勝者，一半的負者，第二輪則是勝者與勝者；負者與負者對下，就是由每位選手積分(勝算2分，負算0分)相同，作為下一輪對下的對手。,如果比完，若有人全勝，當然就是第一名了，若有多人的積分相同時，則看各人的所對弈的對手之積分合計作為輔分，按輔分的高低來區分名次，若又有同分，則並列、抽籤或參考其他方法來區分。,4 圍棋篇-瑞士制,這種賽制，若比賽人數為 N 個人，要找出第一名，因為全部選手都比完一場，可剩下一半的勝者，所以第一名要比賽的場次是M=int(log2
8、(N-1)or int(log2(N-1)+1,4 圍棋篇-瑞士制,第一輪:1號 對 5號, 1號 勝2號 對 6號, 2號 勝3號 對 7號, 3號 勝4號 對 8號, 4號 勝,4 圍棋篇-瑞士制,第二輪:1號 對 3號, 1號 勝2號 對 4號, 2號 勝5號 對 7號, 5號 勝6號 對 8號, 6號 勝,4 圍棋篇-瑞士制,兩輪後總排名為：1號 2-02號 2-03號 1-14號 1-15號 1-16號 1-17號 0-28號 0-2,4 圍棋篇-瑞士制,第三輪:1號 對 6號, 1號 勝2號 對 5號, 2號 勝3號 對 8號, 3號 勝4號 對 7號, 7號 勝,4 圍棋篇-瑞士
9、制,三輪後總排名為：1號 3-02號 3-03號 2-14號 1-25號 1-26號 1-27號 1-28號 0-3,4 圍棋篇-瑞士制,瑞士制優點：快速找出較強的前幾名;所需回合數很少就能決定出冠軍缺點：冠軍不一定是最強的(跟淘汰制相似);而且即使最強的人勝出了,中間的排名也是很粗略,4 圍棋篇-瑞士制,5 機率發展簡史,機率之產生源於：賭博問題之解決、統計資料之處理名稱：Game Theory Probability Theory Measure Theory,5 機率發展簡史,西元前5000年 希臘，丟擲四種動物的踝骨，觀察朝上的部位。,5 機率發展簡史,西元前3500年 古埃及，丟擲獵
10、犬和豺狼二種動物的踝骨，觀察朝上的部位，依出現的結果，再依某些規則下棋。,5 機率發展簡史,西元前1150年左右 中國人曾討論類似丟擲 二個或三個銅板出現正反面排列組合的問題。,5 機率發展簡史,賭博遊戲已存在六千年的歷史，但機率理論在十七世紀之前並沒有太大的進展。,5 機率發展簡史,14世紀義大利和荷蘭首先成立海運保險公司，計算過去發生海難事件的機率，風險愈大的，保險費也愈高。,5 機率發展簡史,1416世紀文藝復興 引起知識運動，強調觀測和實驗的重要性。這些觀測值的處理方法和觀測過程中所發生的誤差估計都刺激了機率論的發展。,5 機率發展簡史,西元1713年 瑞士數學家Jacob Berno
11、ulli在他的著作中指出：以賭博為例只是一種方便。,5 機率發展簡史,西元1812年法國數學家Laplace寫了Analytic Theory of Probability 一書後，機率就開始脫離了賭博的範疇了。,5 機率發展簡史,如今，機率論已廣泛地應用於 保險 生物醫學 社會科學 ,5 機率發展簡史,【機率定義】一、古典機率：西元1800年左右，Laplace提出假設每一個樣本點出現的機會均等，則 。,5 機率發展簡史,【機率定義】二、經驗機率： 西元1900年左右，英國統計學家Karl Pearson紀錄丟擲 一個銅板24000次，出現正面的次數共12012次，機率約0.5。,5 機率發
12、展簡史,【機率定義】 定義， 為事件A在n次重覆試驗的相對次數比。,5 機率發展簡史,【機率定義】 Bernoulli提出 大數法則理論：當n夠大時， 將會穩定且趨於某一定數。,5 機率發展簡史,【機率定義】三、主觀機率： 若隨機試驗不能重覆進行，則定義事件A發生的機率為個人對事件A會發生的相信程度。例：沒比賽過的球隊的勝負機率,5 機率發展簡史,【機率定義】 四、機率公設：西元1913年，俄，Kolmorgorov提出機率論也應像幾何學一樣，從公設出發假設一隨機試驗之樣本空間S的每一事件E都存在一個機率值P(E)滿足下列三個公設,5 機率發展簡史,【機率定義】1). P(E)02). P(S
13、)=13). 若Ei Ej= , i j， 則 P( Ei)= P(Ei),5 機率發展簡史,6 幾個有趣的機率問題,6 幾個有趣的機率問題,Simpsons Paradox,6 幾個有趣的機率問題,下棋順序的策略小安是個愛好象棋的中學生，他請求父親送他一套新出版的象棋譜。父親：好，但是有條件，我和你母親輪流與你比賽三局，若你能連勝二局，我便答應你的要求。,6 幾個有趣的機率問題,下棋順序的策略小安知道父親是象棋好手，但母親的棋術並不高明，他應選擇選擇哪一種下棋順序，對他比較有利？(1)父母父(2)母父母,6 幾個有趣的機率問題,一個死囚的故事 一個犯人被判了死刑。仁慈的國王決定給他一個可以免死的機會：給他50個白球，50個黑球，命令他將這100個球任意地放入二個不透明的容器內。然後從其中一個容器抽出一球，若為白球即可免死。他應該如何將這100個球放進這二個容器內，可以提高免死的機率？,?W?B,?W?B,謝謝聆聽,
