1、 全全 国国 第第 二二 届届 部部 分分 高高 校校 研研 究究 生生 数数 模模 竞竞 赛赛 题 目 仓库容量有限条件下的随机存储管理 模型 摘 要： 本题是一个以仓库管理为背景 ,在库存容量有限、到货时间随机等现实条件下的，集存储量分配、最佳订货点选择于一体的数学建模问题。问题 1 提出了一个针对单商品仓库的最佳订货点选择问题，我们以最小化单个“到货 -订货”周期的日平均损失为优化目标，分别建立了一个离散型数学模型和一个连续型数学模型，并比较分析了二者的适用范围。问题 2 提出了一个实际求解问题，根据问题域规模 ，我们选择了问题 1 所建立的离散模型进行求解，得到三种商品的最佳订货点：康
2、师傅碗面 * 24,36)L ，心相印手帕纸 * 30,45)L ，中汇香米 * 20,40L 。问题 3 在问题 1 的基础上进一步引入了多商品共存和有限仓库体积两个条件，要求 确定各商品的 存储 分配和最佳统一订货点， 根据各参数之间的潜在关系，我们提出了两种存储量分配方案，并据此在问题 1 所建两个模型的基础上 建立了相应的离散型和连续型两个数学模型。在问题 4 中 ，利用问题 3 建立的离散模型结合“可变步长搜索”策略进行了具体求解，结果如下： 1Q 2.9 01Q 2.2 *L 7.88,10 2Q 1.2 02Q 0 3Q 5.9 03Q 3.8 问题 5 加入了销售随机和订货情况
3、可变两个复杂现实条件，我们在前述模型的基础上进行了相应调整并作了简要讨论。 参赛队号 1543 参赛密码 （由组委会填写） 1 仓库容量有限条件下的随机存储管理 模型 1 问题重 述 仓库是物流系统中企业储存原料 、 半成品及成品的场所 。 一方面， 将 商品 储存在仓库中意味着中止或中断 商品 的流动 ， 必然 会导致企业运营 成本 的增加 。 另一方面，为了降低 企业 因缺货而导致的销售损失， 必须保证一定的 商品库存量 ，当实际存储量低于这一阀值时， 需向供应链上游订货。 由于实际到货日期存在一定的波动性，如何选择 仓库 最佳订货点 以保证 总 损失 费用 最小 即构成了本题的第一二问。
4、第三四问则是 针对 多商品共存和有限仓库容量这些实际存储 条件 而提出的 各商品存储比例 和 仓库 最佳订货点 的 最优 化定值 问题 。 本题最后一问则 需综合考虑 仓库 实际存储 条件 ， 构建一个通用的决策模型。 2 问题分析 -问题 1： 题中 以 参数的形式 定义 了 一个日 提货量 固定、 单商品 双仓库 系统 （一个本地仓库，一个租用 仓库），要求 建立一个寻求最优 订货点 *L 使得系统总损失费用 最小 的数学模型。 根据系统日提货量固定 这一 特点，可用一个递归定义的分段函数表示系统日损失量，进而得出表示系统总损失的单目标优化函数 。 -问题 2： 将 题中给出 的 实际 数
5、据 代入 问题 1 得到的 优化 模型进行 求解，得到 各商品的最优订货点 *L 。 -问题 3： 在问题 1 定义的仓库 系统 基础上， 提出多商品共存和有限仓库容量两个条件，并以体积 代替 数量，要求建立一个寻求最优 总 订货点 *L 以及两个仓库中 各商品最优 存储比例 使得系统总损失费用 最小 的数学模型。 根据 商品 各参数与 其 存储比例的潜 在 关系， 提出两种 0iQ 分配方案 ，然后利用问题 1 求得的模型， 得到本题的目标优化函数。 -问题 4： 将题中给出的实际数据 代入 问题 3 得到的优化模型 求解，具体 可采用“可变步长遍历搜索”策略 ，得到总最优 订货点 *L 和
6、两个仓库中各商品 的 最优存储 量 。 2 -问题 5： 在问题 3 的基础上，进一步引入随机销售和可变订货两个现实因素，要求 为此 建立 数学模型并加 以讨论。 由于问题 1、问题 3 所建模型都是基于 常量提货（销售）速率，故需要对前述 模型进行一定的修正。 3 模型 假设 1) 假设提货先从租用仓库中提 取 ，直至租用仓库被提空再从本地仓库中 提取 。 2) 假设 每日库存量检查及订货发生在提货前， 而所订货物到 库发生在提货后 。 基于该假设 ， 问题 1、 2 的 订货条件 可表述为 ： *rL查 库 时 库 存 量 ；问题 3、4 的订货条件可表述为： *L查 库 时 总 体 积
7、当 日 销 售 体 积。 图 - 1 仓库管理日程 3) 假设 * 0, )LQ ，即去除 *LQ 一值。 该假设 是为了 保证 表 - 2 自定义 符号 表 中 Lt 的非负性。 对各模型最终求解结果并无影响，因为若 *LQ ，即表示每日都需订货，结合假设 1，可知这种情况已包含于 * , )L Q r Q ，但最终求解结果中需补上这一值 。 订货 提货 到货 库存检查 3 4 符号 说明 符号 含义 r， ir 某 商品的销售速率（件 /日）； iv 某商品的单件体积（立方米 /件）； 1c 订货费 （元 /次） ，为一常数； 2c ， 2ic 某商品的本地仓 库存储费（元 /件日）； 3
8、c ， 3ic 某商品的租用仓库存储费（元 /件日）； 4c ， 4ic 某商品的缺货损失费（元 /件日） ； Q， iQ 本地仓库和租用仓库的总库存量； 0Q ， 0iQ 本地仓库的库存量； *L 最优订货点； 表 - 1 预定义符号表 符号 含义 1t 1 /t Q r，表示全部库存被提完所需天数； 0t 00( - ) /t Q Q r ，表示租用库存被提完所需天数； Lt ( - ) / 1Lt Q L r，表示“满仓”至“订货”所需天数； 1n 11*Q m r n，即 %Qr； 0n 0 0 0*Q m r n，即 0%Qr； ()qt 存储时间函数 ； iP 各商品的存储优先级；
9、 iS 各商品在总库存体积中所占比例 ， /iiS Q Q ； 表 - 2 自定义 符号 表 4 5 模型建立与求解 -问题 1 为论述方便，可将仓库“满仓”日 sD （即 上一个 “到货”日）至下一 个 “到货”日 eD 定义为一个周期 T，即 )seT D D ， 。 图 - 2 周期示意图 1 模型 A 离散型 结合题中给定参数， 可递归分段 定义 T 中单日损失函数 ()ft 如下： 0 3 0 2030 1 01 3 1 20 1 02012111 2 1 41144( ) * * 0( - 1 ) *1 & & ( - 1 ) * ( ) *1 & & ( - 1 ) *( ) 1
10、( - 1 ) *1 & & 0( - 1 ) * ( ) *1 & & *Q Q c Q c tttf t r ct t n nf t n c r n ct t n nf t r cftt t tf t r ct t nf t n c r n ct t nrcrc 101tt 1 ()ft 即表示 T 中第 t 天的损失费用 ， 其中参数 t 的分段含义 如下表： 1 根据 T 的定义： )seT D D ， ， T 所含天数至少为 1，故图中时间轴从 1 开始。 1 1 LtX 1 Lt X ：满仓日 存储量 Q ：订货日 提货后存储量 =L ：到货日 提货后 存储量 ( )*LQ t X
11、 r：到货日 存储量为 Lt （ 天数 ） 5 分段区间 含义 0t “满仓”当日的损失； 0tt 租用仓库被提完前的日损失； 0 1 01 & & t t n n 租用仓库剩余量不足日提取量 r 时的日损失， 0( )% 0Q Q r； 0 1 01 & & t t n n 租用仓库剩余量为 0 时的日损失， 0( )% 0Q Q r； 011t t t 本地仓库被提完前的日损失； 111 & & 0t t n 本地仓库剩余量不足日提取量 r 时的日损失， %0Qr 111 & & 0t t n 本地仓库剩余量为 0 时的日损失， %0Qr 1 1tt 缺货时的日损失； 表 - 3 日损失函
12、数 f(t)的分段 区间 说明 根据题意，交货时间 X 随机 分布 （概率分布函数为 ()pX ） 。 定义 函数 10( ) ( )LtXtF X f t c 2 表示 订货 时间 为 Lt ，交货时间为 X 的情况下 T 的总损失。 由此可得 ， 对于任一选定 Lt ， T 的总损失函数为 ( ) ( ( ) * ( ) )L XD t p X F X 3 考虑到 ()ft 的非负性， 可知 ()FX为 Lt 的增函数，从而 ()DL 也是 Lt 的 增函数。若将 ()DL 作为模型的目标优化函数，则欲使仓库总损失最小就要取 Lt 的最小值0，也即 优化函数有固定解 * , L Q r Q
13、 ，这显然是不符合题意的。 故模型的 目标优化函数 应取 T 的日 平均 损失函数 ： ()( ) ( ( ) * )1LX LFXD t p X tX 4 6 将 2 式 代入 4 式 ，得到 模型 A 的 最终目标优化函数 ： Min 10 ()( ) ( ( ) * )1LtXtLX Lf t cD t p X tX s.t. 10, Ltt 2 5 再根据 表 - 2 自定义 符号 表 中 Lt 的定 义， 确定 最优订货点 *L ： * * ( 1 ) , * )LLL Q r t Q r t 6 模型 B 连续型 观察 5 式，含两个求和操作，求解不方便。故考 虑将此离散模型连续化
14、。 模型 B 假设 1： 假设时间 t、存储量 Q 和 0Q 都可连续变化。 模型 B 假设 2： 假设提货过程在时间上是连续的，即 ( ) Q *q t r t 。 基于上述两个假设， 根据 X 的取值范围， 分段重构 2 式。 图 - 3 图 - 4 图 - 5 图 - 6 1) 10 LX t t （表示“到货”日仓库尚未 缺货 ） 2 根据 表 - 2 自定义 符号 表 中Lt 定义及假设 2。 7 a) 00 LX t t （ 如 图 -3， 表示租用仓库尚未被提空） 2 3 2 100( ) * ( ) ( ) * ( )LLt X t XF X c q t d t c c q t
15、 d t c 7 b) 01LLt t X t t （ 如 图 -4、 图 -5， 表示租用仓库已被提空，本地仓库尚未 缺货 ） 02 3 2 100( ) * ( ) ( ) * ( )L ttXF X c q t dt c c q t dt c 8 综合 7 式 、 8 式 可得： 0m in( , )2 3 2 100( ) * ( ) ( ) * ( )LL t X ttXF X c q t d t c c q t d t c 9 2) 1 LX t t （ 如 图 -6， 表示“到货”日仓库已缺货） 0112 3 2 400( ) * ( ) ( ) * ( ) * | ( ) |L
16、tt t XtF X c q t d t c c q t d t c q t d t 10 将 ( ) *qt r t 代入 9 式 、 10式 ，化去积分符号后可得模型 B 的 ()FX 3的最终形式： 22 12 2 3 2 0 3 2 0 12 2 22 1 3 2 0 3 2 0 4 1 1 111 0Q ( ) ( ) ( ) Q m in( , ) ( ) ( m in( , ) )22( ) 1 1 1( ) ( ) ( ) 2 2 2LL L L LL LX t tc t X c r t X c c t X t c c r t X t cFXc rt c c Q t c c r
17、t c r t X t c X t t 11 类似模型 A， 可 得到模型 B 的 最终目标函数 和 最优订货点 *L 表达式 ： Min ()( ) ( ( ) * )1L X L FXD t p X tX s.t. 10, Ltt 12 * * ( 1 ) , * )LLL Q r t Q r t 13 两种模型的 分析 模型 A 3 表示订货时间为Lt ，交货时间为 X 的情况下 T 的总损失。 8 观察 5 式可知， 当 X 分布较广（即 X 可取值较多）或者 Lt 的取值范围较 大（即Q 值 较 大）时 4， 5 式 求解困难 。因此，此模型 适用 于问题域规模较小的情况，具体求解可
18、采取 某种 遍历搜索策略。 模型 B 图 - 7 模型 AB 对照图 由上图可知，模型 B 其实是对模型 A 的近似逼近 ，带有一定的误差量，但优化函数形式较好，求解方便 。因此，模型 B 可与模型 A 互补， 适用 于那些 问题域 较大的情况， 微分 求解即可。 4 对应 5 式中两个求和操作。 9 -问题 2 由于题中给 出的各商品实际数据 规模较小，根据问题 1 的结论，宜采用模型A（离散型） 结合 遍历 解空间（ 10, Ltt ） 策略 求解。其中， ()pX 可用实际交货时间序列中各天数的出现频率表示 。 将 各 商品 的 实际 参数 值 分别代入 1 、 5 ， 遍历 搜索 解空间后 找到 各自 的 最优订货时间 Lt 如下表： 商品 r 1c 2c 3c 4c 0Q Q Lt 碗面 12 10 0.01 0.02 0.95 40 60 2 手帕纸 15 0.03 0.04 1.50 40 60 1 香米 20 0.06 0.08 1.25 20 40 0 表 - 4 问题 2中各商品最优订货时间 解 将上表各商品的最优订货时间 Lt 代入 6 ， 可 求得各商品的 最 优订货点 *L ： -康师傅精装巧碗香菇炖鸡面： * 24,36)L -心相印手帕纸 10 小包装 ： * 30,45)L -中汇香米 5KG 装 ： * 20,40L
