1、第6章 傅立叶变换,6.1 傅立叶积分6.2 傅立叶变换 6.3 函数及其傅立叶变换6.4 傅立叶变换的性质,6.1 傅立叶积分,6.1.1主值意义下的广义积分定义1 设函数 在实轴的任何有限区间上都可积.若极限 存在,则称在主值意义下 在区间 上的广义积分收敛,记为,例1 计算 为实常数）解我们可以证明 为实数) 令 则,例2 设计算积分解,上式(1)称为函数 的复指数形式的傅里叶积分公式,而等号右端的积分式称为 的傅里叶积分(简称傅氏积分).,从例2可以看出,函数 存在如下关系,若函数 在任何有限区间上满足狄氏条件（即函数在任何有限区间上满足：(1）连续或只有有限个第一类间断点(2)至多有
2、有限个极值点）,并且在 上绝对可积则有：,6.1.2 傅氏积分存在定理,为连续点,为间断点,也叫做 的傅氏积分表达式,6.2.1 傅立叶变换的概念,6.2 傅立叶变换,叫做,的傅氏变换,象函数,可记做,= ,叫做,的傅氏逆变换,象原函数,=,例3 求函数 的傅氏变换,解,例4 求函数 的傅氏变换和傅氏积分表达式.,解,若 上式右端为,于是,6.2.2 傅氏变换的物理意义频谱,称为,的频谱函数,其模,称为,的振幅频谱,可以证明,频谱为偶函数,即,6.3 函数及其傅立叶变换,在物理和工程技术中,除了用到指数衰减函数外,还常常会碰到单位脉冲函数.因为在许多物理现象中,除了有连续分布的物理量外,还会有
3、集中在一点的量（点源）,或者具有脉冲性质的量.例如瞬间作用的冲击力,电脉冲等.在电学中,我们要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后所产生的电流；在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究这类问题就会产生我们要介绍的脉冲函数.有了这种函数,对于许多集中在一点或一瞬间的量,例如点电荷、点热源、集中于一点的质量以及脉冲技术中的非常狭窄的脉冲等,就能够像处理连续分布的量那样,用统一的方式来加以解决.,6.3.1 函数的定义,（1）看作矩形脉冲的极限（2） 函数的数学定义（3）物理学家狄拉克给出的定义满足下列两个条件的函数称为 函数：,1,函数用一个长度等于1的有向线段来表示,如下图,o
4、,1,如下图,o,定义为满足下列条件的函数,6.3.2 函数的性质,（1）对任意的连续函数,都有,（2）,函数为偶函数,即,（3）,其中,称为单位阶跃函数.反之,有,.,6.3.3 函数的傅立叶变换,由于,=,可见, ,=1, -11=,.,与常数1构成了一个傅氏变换对,即,与 也构成了一个傅氏变换对,即,6.3.4 一些常见函数的傅氏变换和一些傅氏变换对,例5 可以证明单位阶跃函数,的傅氏变换为,的积分表达式为,例6 证明,的傅氏变换为,证明,=,所以,例7 求正弦函数,的傅氏变换,可以证明,6.4 傅立叶变换的性质,6.4.1 线性性质,=,设,为常数则,=,6.4.2 对称性质,则以,为
5、自变量的函数,的象函数为,即 ,6.4.3 相似性质,=,若,则,6.4.4 平移性质（1）象原函数的平移性质,为实常数,则,例8 求,解 因为,所以,（2）象函数的平移性质,为实常数,则,例9 已知,求,解,显然,一般地,且 则,6.4.5 微分性质（1）象原函数的微分性质,一般地,若,则,例10 证明,证明 因为,所以,一般地,（2）象函数的微分性质,若,=,则,或,例11 已知,求,解,6.4.6 积分性质,若,=,则,在这里 必须满足傅氏积分存在定理的条件,若不满足,则这个广义积分应改为,6.4.7 傅氏变换的卷积与卷积定理,1,上的卷积定义,若给定两个函数,则积分,称为函数,的卷积,记为,卷积满足下列性质,例12 对函数,计算卷积,解,所以,2傅氏变换的卷积定理,=,=,(1)若,则,=,=,(2)频谱卷积定理,则,若,
